Consideremos el campo eléctrico producido por un dipolo de momento $\overrightarrow{p}$, módulo, Q(2d), a lo largo del eje Y, tal como se muestra en la figura. El dipolo está formado por dos cargas +Q y -Q separadas una distancia 2d. E₊ es el campo eléctrico producido por la carga positiva y E_- el producido por la negativa en el punto P de coordenadas (r, θ). Se señalan las componentes tangencial E_θ y radial E_r del campo resultante.

La energía potencial vale

${\displaystyle \begin{array}{l}V=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right)\\ \begin{array}{l}{r}_1^2=r^2+d^2-2rd\cos \theta \hfill \\ r_2^2=r^2+d^2+2rd\cos \theta \hfill \end{array}\end{array}}$

Despreciando los términos de orden superior a d²/r², obtenemos

${\displaystyle V=-\frac{Qd}{2\pi {\epsilon }_0{r}^2}\cos \theta }$

Las componentes del campo eléctrico $\overrightarrow{E}$ son

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_r=-\frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{4Qd}{r^3}\cos \theta \hfill \\ E_{\theta }=-\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta }=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2Qd}{r^3}\sin \theta \hfill \end{array}}$

La fuerza que ejerce este campo eléctrico sobre una carga positva +q situada en el punto P tiene la misma dirección y sentido que el campo $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$

Analogía con el péndulo simple

Sea un péndulo formado por una masa puntual m unida a un hilo inextensible de longitud r. En la dirección radial, la fuerza sobre la partícula está dirigida hacia el centro y su valor es T-mgcosθ. La fuerza en la dirección tangencial es mgsinθ

Como la partícula de masa m está describiendo un movimiento circular de radio r, la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme es

${\displaystyle m\frac{v^2}{r}=T-mg\cos \theta }$

La velocidad v se calcula aplicando el principio de conservación de la energía a un péndulo que se ha desviado π/2 (90°) y se suelta. Situando el nivel cero de energía potencial en O

${\displaystyle \frac{1}{2}m{v}^2-mgr\cos \theta =0}$

La tensión T=3mgcosθ, y la fuerza en la dirección radial sobre la partícula es F_r=2mgcosθ

En ambos casos (carga en el campo eléctrico producido por un dipolo y péndulo simple) tenemos:

• La fuerza en la dirección radial dirigida hacia el centro vale, 2k·cosθ
• la fuerza en la dirección tangencial vale, k·sinθ

Donde la constante de proporcionalidad, k=mg en el caso del péndulo y $k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2Qqd}{r^3}$, en el caso de la carga

Esta analogía solamente se produce en el caso de que la partícula cargada parta (en reposo) de un punto del eje X situado a una distancia r del origen y el péndulo de longitud r se desvíe un ángulo θ₀=π/2 (90°) y se suelte.

Movimiento de la carga

La carga se mueve en el campo eléctrico producido por el dipolo a lo largo de una semicircunferencia de radio r tal como se muestra en la figura en color negro. Repetiremos aquí los cálculos realizados para el péndulo en el caso particular de que la desviación θ₀=π/2

El principio de conservación de la energía para la carga q de masa m que se mueve en el campo producido por el dipolo es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}m{v}^2+qV=0\\ \frac{1}{2}m{v}^2-q\frac{Qd}{2\pi {\epsilon }_0{r}^2}\cos \theta =0\end{array}}$

Cuando θ=π/2, la energía es cero, como en el caso del péndulo. Como la carga se mueve en una trayectoria circular su velocidad v=r·dθ/dt

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=\frac{1}{r^4}\frac{qQd}{\pi {\epsilon }_{0}m}\cos \theta \\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{\cos \theta }}}=\frac{1}{r^2}\sqrt{\frac{qQd}{\pi {\epsilon }_{0}m}}t\end{array}}$

donde t es un cuarto de periodo. Teniendo en cuenta la relación trigonométrica

${\displaystyle \cos \theta ={\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=1-2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}$

la integral se expresa

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}}}=\frac{1}{r^2}\sqrt{\frac{qQd}{\pi {\epsilon }_{0}m}}t}$

Haciendo el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \phi \hfill \\ \frac{1}{2}\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)d\theta =\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \phi ·d\phi \hfill \end{array}}$

Obtenemos la integral elíptica

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-\frac{1}{2}{\sin }^2\phi }}}=\frac{1}{r^2}\sqrt{\frac{qQd}{2\pi {\epsilon }_{0}m}}t}$

Para el límite θ=π/2, le corresponde el límite a φ=π/2 y t es un cuarto de periodo P. A la izquierda tendremos una integral elíptica completa de primera especie

${\displaystyle P=4r^2\sqrt{\frac{2\pi {\epsilon }_{0}m}{qQd}}K\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$

>> ellipke(1/2)
ans =    1.8541

El movimiento de la carga se describe mediante la función elíptica de Jacobi sn

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-\frac{1}{2}{\sin }^2\phi }}}=4K\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\frac{t}{P}\\ \theta =2\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\text{sn}\left(4K\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\frac{t}{P},\frac{1}{2}\right)\right)\end{array}}$

Representamos la posición angular θ en función del tiempo t/P, para tres periodos P. Supondremos que la carga sale de la posición θ=0, y alcanza la posición θ=π/2 después de un cuarto de periodo, el movimiento se repite como en el péndulo

k=sqrt(2)/2;
x=@(t) 2*asin(k*ellipj(4*ellipke(k^2)*t,k^2));
fplot(x, [0,3]);
xlabel('t/P')
ylabel('\theta')
title('Posición angular en función del tiempo')
grid on

Referencias

George C. McGuire Using computer algebra to investigate the motion of an electric charge in magnetic and electric dipole fields. Am. J. Phys. 71(8), August 2003 pp. 809-812