Movimiento de una partícula a lo largo del eje de un anillo cargado
Eje horizontal, partícula con carga negativa

Sea un anillo de radio a cargado con carga positiva +q. Situamos una partícula de masa m y carga -Q en la posición z0 y la soltamos. Vamos a determinar el movimiento de la carga
La fuerza sobre la carga -Q es el producto del campo Ez por dicha carga. La segunda ley de Newton se escribe
La ecuación diferencial del movimiento es
Cuando la posición inicial z0 de la carga -Q es próxima al origen y el radio a del anillo es grande, se cumple que z<<a o z/a<<1, la ecuación se puede aproximar a
Se trata de la ecuación de un Movimiento Armónico Simple de frecuencia angular
La posición de la carga -Q, en función del tiempo t es z=z0cos(ωt), sabiendo que parte del reposo desde la pisción inicial z0
En el caso general, resolvemos la ecuación diferencial empleando el procedimiento numérico
w=2*pi; %frecuencia nagular a=1; %radio del anillo hold on for z0=[0.1,0.5]*a fg=@(t,x) [x(2);-w^2*x(1)/(1+(x(1)/a)^2)^(3/2)]; [t,x]=ode45(fg,[0,3*2*pi/w],[z0,0]); plot(t,x(:,1)) end hold off grid on xlabel('t') ylabel('z'); title('Anillo cargado')
La energía potencial es
Representamos la energía potencial Ep(z/a) y su aproximación para z/a<<1 (línea a trazos)
>> syms x; >> taylor(-1/sqrt(1+x^2),x) ans =- (3*x^4)/8 + x^2/2 - 1
f=@(z) -1./sqrt(1+z.^2); hold on fplot(f,[-2,2]) fplot(@(x) -1+x.^2/2,[-1,1],'lineStyle','--') hold off xlabel('z/a') ylabel('e_p(z/a)') grid on title('Energía potencial')
Sabiendo que la energía potencial de un oscilador armónico es
obtenemos la frecuencia angular ω del oscilador
Eje vertical, partícula con carga positiva

Una partícula de masa m y carga Q se puede mover a la largo del eje vertical Z de un anillo cargado con carga q del mismo signo y de radio a. Las fuerzas sobre la partícula cargada son:
El peso, mg
La fuerza de resulsión, Fe
La fuerza de repulsión eléctrica alcanza su valor máximo para zm tal que, la derivada es nula
Para esta posición zm la fuerza de repulsión Fevale
Para que se equilibren, la fuerza de repulsión y el peso, la masa de la partícula cargada deberá ser inferior a la máxima posible M tal que
La energía potencial de una partícula de masa m<M y carga Q es
Dividiendo entre Mga
Representamos ep(z/a) en función de x=z/a para k=0.3
k=0.3; f=@(z) (sqrt(27)/2)./sqrt(1+z.^2)+k*z; fplot(f,[-2,5]) raiz=raices_3([1,3,3*(1-9/(4*k^2)),1]); r1=sqrt(raiz(2)); line([r1,r1],[0,f(r1)],'lineStyle','--') r2=sqrt(raiz(3)); line([r2,r2],[0,f(r2)],'lineStyle','--') xlabel('z/a') ylabel('e_p(z/a)') grid on title('Energía potencial')
Vemos que para k<1 tiene un máximo y un mínimo.
Obtenemos las raíces de la ecuación cúbica en x2 mediante la función
La ecuación cúbica tiene tres raíces reales, una de las cuales es negativa, la raíz cuadrada de las otras dos, señalan las posiciones de máximo y del mínimo de energía potencial tal como se aprecia en la figura
Como en el apartado anterior, la partícula puede oscilar alrededor de la posición de equilibrio estable
Referencias
Physics Challenge for Teachers and Students. A ring on a string. The Physics Teacher. Vol. 54, May 2016. pp. 188