Separador de semillas

El propósito de este problema es el cálculo de la desviación D de las semillas indeseables (que han recibido carga eléctrica) al llegar al suelo.

La semilla normal sigue un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hasta que llega al suelo.

Sin embargo, la semilla que no es adecuada adquiere una carga eléctrica, describe un movimiento rectilíneo hasta que entra en la región en la que hay un campo eléctrico que la desvía y al salir, continúa con un movimiento parabólico, ya que tiene componente horizontal de la velocidad.

Describiremos las tres etapas del movimiento de la semilla, desde que sale de la posición inicial y=h₀ hasta que llega al suelo y=0.

Movimiento de caída de la semilla en el aire

La semilla desciende desde la altura inicial h₀ a la altura h₁ antes de entrar en el campo eléctrico del condensador.

$\begin{array}{l} v_{y} = - g t \\ y = h_{0} - \frac{1}{2} g t^{2} \end{array}$

En la posición y=h₁, su velocidad es

$v_{y 1} = \sqrt{2 g (h_{0} - h_{1})}$

El tiempo t₁ que tarda en llegar a la posición y=h₁

$t_{1} = \sqrt{\frac{2 (h_{0} - h_{1})}{g}}$

Movimiento entre las placas del condensador

El campo eléctrico E existente entre las placas del condensador ejerce una fuerza horizontal F_x=qE. Si suponemos que el campo eléctrico es constante, su valor es E=V/d. Donde V es la diferencia de potencial entre las placas y d es la separación entre las placas.

Las ecuaciones del movimiento de la semilla entre las placas del condensador serán la composición de dos movimientos uniformemente acelerados:

$\begin{array}{l} a_{x} = \frac{q E}{m} v_{x} = a_{x} (t - t_{1}) x = \frac{1}{2} a_{x} {(t - t_{1})}^{2} \\ a_{y} = - g v_{y} = - v_{y 1} - g (t - t_{1}) y = h_{1} - v_{y 1} (t - t_{1}) - \frac{1}{2} g {(t - t_{1})}^{2} \end{array}$

La semilla sale de las placas del condensador y=h₂ en el instante t₂, las componentes de su velocidad son v_x2 y v_y2, y la desviación x₂ a la salida de las placas del condensador.

$\begin{array}{l} h_{2} = h_{1} - v_{y 1} (t_{2} - t_{1}) - \frac{1}{2} g {(t_{2} - t_{1})}^{2} \\ v_{x 2} = a_{x} (t_{2} - t_{1}) v_{y 2} = - v_{y 1} - g (t_{2} - t_{1}) \\ x_{2} = \frac{1}{2} a_{x} {(t_{2} - t_{1})}^{2} \end{array}$

Movimiento hasta llegar al suelo.

Las ecuaciones del movimiento hasta llegar al suelo, serán las de un tiro parabólico. Movimiento uniforme a lo largo del eje X y movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y.

$\begin{array}{l} a_{x} = 0 v_{x} = v_{2 x} x = x_{2} + v_{x} (t - t_{2}) \\ a_{y} = - g v_{y} = - v_{y 2} - g (t - t_{2}) y = h_{2} - v_{y 2} (t - t_{2}) - \frac{1}{2} g {(t - t_{2})}^{2} \end{array}$

A partir de estas ecuaciones, calculamos el instante t₃ que llega al suelo, y=0, y la desviación D=x..

$\begin{array}{l} 0 = h_{2} - v_{y 2} (t_{3} - t_{2}) - \frac{1}{2} g {(t_{3} - t_{2})}^{2} \\ D = x_{2} + v_{x 2} (t_{3} - t_{2}) \end{array}$

Actividades

Con el puntero del ratón,

arrastramos la flecha de color rojo para establecer .
arrastramos la flecha de color azul para establecer las dimensiones del condensador a=h₁-h₂.

Se introduce

la diferencia de potencial entre las placas desviadoras, en el control titulado Diferencia de potencial
la posición del extremo superior de las placas del condensador, h₁ en el control titulado Posición
la longitud de las placas del condensador, a en el control titulado Longitud

Se pulsa el botón titulado Nuevo,

Las semillas comienzan a caer desde una altura de 80 cm. Las semillas de color negro pasan sin desviarse, pero las semillas de color azul claro, son detectadas por la célula fotoeléctrica como no apropiadas y un mecanismo les proporciona una pequeña carga eléctrica (color azul) negativa justo antes de entrar en el espacio entre las placas del condensador. Las semillas se separan de su trayectoria rectilínea, medimos su desviación con la regla situada en el suelo (eje X).

Datos:

Separación entre las placas del condensador d=10 cm
Carga que adquieren las semillas q=-1.5·10^-9 C
Masa de las semillas m=2.38 10^-4 kg;
Aceleración de la gravedad g=9.8 m/s²

Ejemplo:

La posición inicial de partida, h₀=80 cm, está fijada en el programa interactivo. Cambiamos la posición y longitud del condensador, por ejemplo h₁=60 cm y h₂=20 cm. Es decir, la longitud del condensador es a=40 cm. Si la diferencia de potencial entre las placas deflectoras es de 25000 V. Determinar la desviación D de la semilla cuando llega al suelo resolviendo las ecuaciones del movimiento.

La velocidad de las semillas en el momento en que llegan a las placas del condensador y=h₁=0.6 m es: v_x1=1.98 m/s
El campo entre las placas es E=25000/0.1=250000 N/C, y la fuerza horizontal sobre la semilla F_x=qE=3.75·10^-4 N
Las componentes de la velocidad de las semillas cuando han salido de las placas y=h₂=0.2 m son: v_x2=0.233 m/s, v_y2=-3.43 m/s, y su desviación es x₂=0.017 m = 1.7 cm
El resultado final, es la desviación de la semilla cuando llega al suelo D=0.03 m ó 3 cm

Posición: Longitud:
Diferencia de potencial:

Referencias

Lorrain P., Corson D. Campos y Ondas Electromagnéticas. Selecciones Científicas (1972), problema 2.42, pág. 95.