Ley de la refracción

Disponemos de dos planos paralelos cargados, uno en x=0, que se mantiene a potencial -V₀ y otro en x=L que se mantiene a -V₁

Una partícula de masa m y carga q (negativa), parte del reposo y es acelerada por una diferencia de potencial V₀, hasta alcanzar el primer plano en x=0 con velocidad v₀. La conservación de la energía

$q V_{0} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$

Sigue un camino rectilíneo formado un ángulo θ₀ con el eje X hasta que llega a la primera placa en la que impacta a una altura y₀. La velocidad inicial cuando entra en la región entre dos placas es

$x = 0, y = y_{0}, {\begin{cases} v_{x} = v_{0} \cos θ_{0} \\ v_{y} = v_{0} \sin θ_{0} \end{cases}$

La partícula se mueve en la región entre las dos placas. El campo eléctrico entre las placas y las ecuaciones del movimiento son

$\begin{array}{l} E_{1} = \frac{V_{1} - V_{0}}{L} \\ {\begin{cases} a_{x} = \frac{q E_{1}}{m} \\ a_{y} = 0 \end{cases} {\begin{cases} v_{x} = v_{0} \cos θ_{0} + a_{x} t \\ v_{y} = v_{0} \sin θ_{0} \end{cases} {\begin{cases} x = v_{0} \cos θ_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \frac{q E_{1}}{m} t^{2} \\ y = y_{0} + v_{0} \sin θ_{0} \cdot t \end{cases} \end{array}$

Finalmente, en el instante T, sale de la segunda placa x=L a una altura y₁, con velocidad v₁ haciendo un ángulo θ₁

$\begin{array}{l} L = v_{0} \cos θ_{0} \cdot T + \frac{1}{2} \frac{q E_{1}}{m} T^{2} \\ T = \frac{- v_{0} \cos θ_{0} + \sqrt{v_{0}^{2} \cos^{2} θ_{0} + 2 \frac{q E_{1}}{m} L}}{\frac{q E_{1}}{m}} = - \frac{m v_{0}}{q E_{1}} (\cos θ_{0} - \sqrt{\cos^{2} θ_{0} + 2 \frac{q E_{1}}{m v_{0}^{2}} L}) \\ T = - \frac{m v_{0}}{q E_{1}} (\cos θ_{0} - \sqrt{\cos^{2} θ_{0} + \frac{E_{1}}{V_{0}} L}) \end{array}$

Ley de la refracción

Relación entre las velocidades v₀ y v₁

$\begin{array}{l} {\begin{cases} v_{1} \sin θ_{1} = v_{0} \sin θ_{0} \\ v_{1} \cos θ_{1} = v_{0} \cos θ_{0} + \frac{q E_{1}}{m} t = v_{0} \cos θ_{0} - v_{0} \cos θ_{0} + v_{0} \sqrt{\cos^{2} θ_{0} + \frac{E_{1}}{V_{0}} L} = v_{0} \sqrt{\cos^{2} θ_{0} + \frac{E_{1}}{V_{0}} L} \end{cases} \\ v_{1}^{2} = v_{0}^{2} \sin θ_{0} + v_{0}^{2} (\cos^{2} θ_{0} + \frac{E_{1}}{V_{0}} L) = v_{0}^{2} + v_{0}^{2} \frac{V_{1} - V_{0}}{V_{0}} = v_{0}^{2} \frac{V_{1}}{V_{0}} \\ v_{1} = v_{0} \sqrt{\frac{V_{1}}{V_{0}}} \\ v_{1} \sin θ_{1} = v_{0} \sin θ_{0} \\ \sqrt{V_{1}} \sin θ_{1} = \sqrt{V_{0}} \sin θ_{0} \end{array}$

Alternativamente, aplicando la conservación de la energía

$\begin{array}{l} {\begin{cases} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = q V_{0} \\ \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + q (V_{1} - V_{0}) = q V_{0} + q V_{1} - q V_{0} = q V_{1} \end{cases} \\ \frac{v_{1}^{2}}{v_{0}^{2}} = \frac{V_{1}}{V_{0}} \end{array}$

En la práctica, podemos definir un plano de separación entre dos materiales transparentes de distinto indice de refracción. No es fácil establecer dos regiones contiguas con distinto potencial, sin que exista una transición entre ambas. Por otra parte, podemos cambiar los potenciales en un amplio intervalo, sin embargo, los índices de refracción de los materiales transparentes no cambian demasido

Datos

Masa del electrón, m=9.1·10^-31 kg
Carga del electrón, q=1.6·10^-19 C
Punto de partida de la carga x=-4 cm, y=0
Angulo de su velocidad, θ₀=π/12 (15°)
Diferencia de potencial que acelera los electrones, V₀=2000 V
Campo eléctrico entre las dos placas, E₁=15000 N/C
Distancia entre las placas, L=12 cm

m=9.1e-31; %masa del electron
q=1.6e-19; %carga del electrón
V0=2000; %acelera los electrones
th_0=pi/12; %ángulo inicial 
v0=sqrt(2*q*V0/m); %velocidad del haz de electrones

L=0.12; %distancia entre placas
E1=15000; %campo eléctrico que desvía el haz
V1=E1*L+V0; %potencial
x=@(t) v0*cos(th_0)*t+ q*E1*t.^2/(2*m);
y=@(t) 0.04*tan(th_0)+v0*sin(th_0)*t;
T=m*v0*(sqrt(cos(th_0)^2+2*q*E1*0.12/(m*v0^2))-cos(th_0))/(q*E1);
hold on
line([-0.04,0],[0,0.04*tan(th_0)])
line([0,0],[0,0.04],'lineWidth',1.5,'color','b')
fplot(x,y,[0, T],'color','k')
line([L,L],[0,0.04],'lineWidth',1.5,'color','r')
vx=v0*cos(th_0)+q*E1*T/m;
vy=v0*sin(th_0);
th_1=atan(vy/vx); %ángulo final
y1=y(T);
line([0.12,0.14],[y1, y1+0.02*vy/vx])
disp([sqrt(V0)*sin(th_0),sqrt(V1)*sin(th_1)]) %ley refracción
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectoria')

Comprobamos la ley de la refracción

   11.5747   11.5747

Orificio

El haz de partículas cargadas atraviesa una placa a través de un orificio de radio r. Vamos a estudiar el efecto del orificio en el haz. Supondemos que la carga de la partícula es positiva

A la izquierda de la placa, hay un campo E₀ a la derecha, un campo E₁ paralelos al eje X Hay también un campo radial E_r. Tomemos una superficie cilíndrica de radio r igual al del orificio. Aplicamos la ley de Gauss.

El flujo total es igual al flujo de los campos E₀ y E₁ en las bases de la superficie cilíndrica alejadas del orificio, y el flujo del campo eléctrico radial E_r a través de la superficie lateral

$\begin{array}{l} - E_{0} (π r^{2}) + E_{1} (π r^{2}) + 2 π r \int_{a}^{b} E_{r} d x = 0 \\ \int_{a}^{b} E_{r} d x = \frac{r}{2} (E_{0} - E_{1}) \end{array}$

Supondremos que la componente v₀ de la velocidad de la partícula se mantiene constante y v_r cambia debido a la fuerza F que ejerce el campo E_r. El impulso de la fuerza F durante un tiempo Δt que tarda la partícula en moverse de a a b, modifica el momento lineal de la partícula de masa m

$\begin{array}{l} m Δ v_{r} = \int_{0}^{Δ t} F \cdot d t = \frac{q}{v_{0}} \int_{a}^{b} E_{r} d x \\ m Δ v_{r} = \frac{q}{v_{0}} \frac{r}{2} (E_{0} - E_{1}) \\ \frac{Δ v_{r}}{v_{0}} = \frac{q}{m v_{0}^{2}} \frac{r}{2} (E_{0} - E_{1}) \end{array}$

La partícula cargada es acelerada por una diferencia de potencial V₀

$q V_{0} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$

El cambio relativo de la componente radial de la velocidad de la partícula es

$\frac{Δ v_{r}}{v_{0}} = \frac{r}{4 V_{0}} (E_{0} - E_{1})$

Referencias

Eleanor A. Winkler. Applications of undergraduate electricity and magnetism in the MIST-1 and MIST-2 ion sources. Am. J. Phys. 94 (11), November 2026, pp. 966-972