Tiro parabólico

Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad

Salto de esquí en Innsbruck (Austria), 1-08-2017

Para resolver un problema de tiro parabólico es necesario seguir los pasos:

  1. Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y los ejes horizontal X, y vertical Y
  2. Determinar el valor y el signo de la aceleración vertical
  3. Las componentes de la velocidad inicial (incluido el signo)
  4. La posición inicial
  5. Escribir las ecuaciones del movimiento
  6. A partir de los datos, hallar las incógnitas

En la figura, tenemos un proyectil que se ha disparado con una velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ  con la horizontal, las componentes de la velocidad inicial son

v 0x = v 0 cosθ v 0y = v 0 sinθ

Las ecuaciones del movimiento de un proyectil bajo la aceleración constante de la gravedad son:

{ a x =0 a y =g { v x = v 0 cosθ v y = v 0 sinθgt { x= v 0 cosθt y= y 0 +v 0 sinθt 1 2 g t 2

Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y, obtenemos la ecuación de la trayectoria, que tiene la forma y=ax2 +bx +c, lo que representa una parábola.

Obtenemos la altura máxima, cuando la componente vertical de la velocidad vy es cero; el alcance horizontal x cuando el cuerpo retorna al suelo y=0.

Ejercicio

Un proyectil es disparado con una velocidad de 600 m/s, haciendo un ángulo de 60º con la horizontal. Tomar g=10 m/s2. Calcular:

{ a x =0 a y =10 { v x =600·cos60 v y =600·sin60+(10)t { x=300·t y=300 3 t+ 1 2 (10) t 2

Alcance, y=0

t=60 3 sx=18000 3 m

Altura máxima vy=0

t=30 3 sx=13500m

>> syms t;
>> tf=solve(300*sqrt(sym('3'))*t-5*t^2)
tf =          0
 60*3^(1/2)
>> x=300*tf(2)
x =18000*3^(1/2)    

Actividades

Resolver numéricamente los siguientes problemas y comprobar la solución con el programa interactivo

  1. Un avión en vuelo horizontal a una altura de 300 m y con una velocidad de 60 m/s, deja caer una bomba. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo y el desplazamiento horizontal de la bomba.

  2. Se lanza un cuerpo desde el origen con velocidad horizontal de 40 m/s y con una velocidad vertical hacia arriba de 60 m/s. Calcular la máxima altura y el alcance horizontal.
  3. Resolver el ejercicio anterior, tomando como lugar de lanzamiento la cima de una colina de 50 m de altura.

  4. Se lanza un proyectil desde una colina de 300 m de altura, con una velocidad horizontal de 50 m/s y una velocidad vertical de -10 m/s (hacia abajo). Calcular el alcance horizontal y la velocidad con que llega al suelo.

  5. Un cañón dispara una bala desde lo alto de un acantilado de 200 m de altura con una velocidad de 46 m/s haciendo un ángulo de 30º por encima de la horizontal. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo, y las componentes de la velocidad de la bala al nivel del mar. Hallar también la altura máxima. (Hallar primero, las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial).


Se introduce en los controles de edición

Se pulsa el botón titulado Nuevo. Se observa el movimiento de de la partícula y la trayectoria que describe. En la parte superior se muestran los valores de su posición x, e, y de su velocidad vx y vy, según va transcurriendo el tiempo t.

Se detiene || la animación cuando se está próximo a alcanzar la máxima altura. Se avanza paso a paso >| hasta alcanzarla vy≈0 y se anota la posición x,y. Se reanuda la animación pulsando . Cuando se está próximo a llegar al suelo, se pulsa el botón pausa ||, y se avanza paso a paso >| hasta alcanzar y≈0, se anota el valor del vector velocidad vx, vy y el tiempo t


Saltos de esquí

Consideremos un esquiador que baja por una pista y despega con velocidad v0 haciendo una ángulo θ con la horizontal. El esquiador describe una trayectoria parabólica hasta que aterriza en la pista inclinada cuya ecuación es y=mx

Establecemos el origen al final de la pista y los ejes X e Y (hacia abajo) tal como se muestra en la figura. La ecuación de la trayectoria será

{ a x =0 a y =g { v x = v 0 cosθ v y = v 0 sinθ+gt { x= v 0 cosθ·t y= v 0 sinθ·t+ 1 2 g t 2

Eliminando el tiempo en las ecuaciones de x e y, obtenemos la ecuación de la trayectoria, una parábola

y=xtanθ+ g 2 v 0 2 cos 2 θ x 2

El aterrizaje del esquiador es el punto de intersección entre la recta y=mx y la parábola

mx=xtanθ+ g 2 v 0 2 x 2 cos 2 θ x= 2 v 0 2 g (m+tanθ) cos 2 θ

Representamos x en función de θ entre -20 y 80°, tomando como velocidad inicial v0=25 m/s

v0=25; %velocidad inicial
m=1; %pendiente de la pista, 45ยบ
f=@(x) 2*v0^2*(m+tan(x*pi/180))*cos(x*pi/180)^2/9.8;
fplot(f,[-20,80])
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('x')
title('saltos de esquí')

El valor del ángulo θ para el cual x es máximo se obtiene derivando e igualando a cero

dx dθ = 2 v 0 2 g ( cos2θmsin2θ ) dx dθ =0tan2θ= 1 m

Con m=1, el ángulo para el cual el alcance es máximo, θ=22.5°

Referencias

Krzystof Rebilas. Optimal Ski Jump. The Physics Teacher. Vol. 51, February 2013, 108-109