Tiro parabólico

Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad

Salto de esquí en Innsbruck (Austria), 1-08-2017

Para resolver un problema de tiro parabólico es necesario seguir los pasos:

  1. Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y los ejes horizontal X, y vertical Y
  2. Determinar el valor y el signo de la aceleración vertical
  3. Las componentes de la velocidad inicial (incluido el signo)
  4. La posición inicial
  5. Escribir las ecuaciones del movimiento
  6. A partir de los datos, hallar las incógnitas

En la figura, tenemos un proyectil que se ha disparado con una velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ  con la horizontal, las componentes de la velocidad inicial son

v 0x = v 0 cosθ v 0y = v 0 sinθ

Las ecuaciones del movimiento de un proyectil bajo la aceleración constante de la gravedad son:

{ a x =0 a y =g { v x = v 0 cosθ v y = v 0 sinθgt { x= v 0 cosθt y= y 0 +v 0 sinθt 1 2 g t 2

Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y, obtenemos la ecuación de la trayectoria, que tiene la forma y=ax2 +bx +c, lo que representa una parábola.

Obtenemos la altura máxima, cuando la componente vertical de la velocidad vy es cero; el alcance horizontal x cuando el cuerpo retorna al suelo y=0.

Ejercicio

Un proyectil es disparado con una velocidad de 600 m/s, haciendo un ángulo de 60º con la horizontal. Tomar g=10 m/s2. Calcular:

{ a x =0 a y =10 { v x =600·cos60 v y =600·sin60+(10)t { x=300·t y=300 3 t+ 1 2 (10) t 2

Alcance, y=0

t=60 3 sx=18000 3 m

Altura máxima vy=0

t=30 3 sx=13500m

>> syms t;
>> tf=solve(300*sqrt(sym('3'))*t-5*t^2)
tf =          0
 60*3^(1/2)
>> x=300*tf(2)
x =18000*3^(1/2)    

Actividades

Resolver numéricamente los siguientes problemas y comprobar la solución con el programa interactivo

  1. Un avión en vuelo horizontal a una altura de 300 m y con una velocidad de 60 m/s, deja caer una bomba. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo y el desplazamiento horizontal de la bomba.

  2. Se lanza un cuerpo desde el origen con velocidad horizontal de 40 m/s y con una velocidad vertical hacia arriba de 60 m/s. Calcular la máxima altura y el alcance horizontal.
  3. Resolver el ejercicio anterior, tomando como lugar de lanzamiento la cima de una colina de 50 m de altura.

  4. Se lanza un proyectil desde una colina de 300 m de altura, con una velocidad horizontal de 50 m/s y una velocidad vertical de -10 m/s (hacia abajo). Calcular el alcance horizontal y la velocidad con que llega al suelo.

  5. Un cañón dispara una bala desde lo alto de un acantilado de 200 m de altura con una velocidad de 46 m/s haciendo un ángulo de 30º por encima de la horizontal. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo, y las componentes de la velocidad de la bala al nivel del mar. Hallar también la altura máxima. (Hallar primero, las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial).


Se introduce en los controles de edición

Se pulsa el botón titulado Nuevo. Se observa el movimiento de de la partícula y la trayectoria que describe. En la parte superior se muestran los valores de su posición x, e, y de su velocidad vx y vy, según va transcurriendo el tiempo t.

Se detiene || la animación cuando se está próximo a alcanzar la máxima altura. Se avanza paso a paso >| hasta alcanzarla vy≈0 y se anota la posición x,y. Se reanuda la animación pulsando . Cuando se está próximo a llegar al suelo, se pulsa el botón pausa ||, y se avanza paso a paso >| hasta alcanzar y≈0, se anota el valor del vector velocidad vx, vy y el tiempo t


Saltos de esquí

Consideremos un esquiador que baja por una pista y despega con velocidad v0 haciendo una ángulo θ con la horizontal. El esquiador describe una trayectoria parabólica hasta que aterriza en la pista inclinada cuya ecuación es y=mx

Establecemos el origen al final de la pista y los ejes X e Y (hacia abajo) tal como se muestra en la figura. La ecuación de la trayectoria será

{ a x =0 a y =g { v x = v 0 cosθ v y = v 0 sinθ+gt { x= v 0 cosθ·t y= v 0 sinθ·t+ 1 2 g t 2

Eliminando el tiempo en las ecuaciones de x e y, obtenemos la ecuación de la trayectoria, una parábola

y=xtanθ+ g 2 v 0 2 cos 2 θ x 2

El aterrizaje del esquiador es el punto de intersección entre la recta y=mx y la parábola

mx=xtanθ+ g 2 v 0 2 x 2 cos 2 θ x= 2 v 0 2 g (m+tanθ) cos 2 θ

Representamos x en función de θ entre -20 y 80°, tomando como velocidad inicial v0=25 m/s

v0=25; %velocidad inicial
m=1; %pendiente de la pista, 45°
f=@(x) 2*v0^2*(m+tan(x*pi/180))*cos(x*pi/180)^2/9.8;
fplot(f,[-20,80])
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('x')
title('saltos de esquí')

El valor del ángulo θ para el cual x es máximo se obtiene derivando e igualando a cero

dx dθ = 2 v 0 2 g ( cos2θmsin2θ ) dx dθ =0tan2θ= 1 m

Con m=1, el ángulo para el cual el alcance es máximo, θ=22.5°

Referencias

Krzystof Rebilas. Optimal Ski Jump. The Physics Teacher. Vol. 51, February 2013, 108-109

Desliza sobre el tejado y cae al suelo

En este problema, el ángulo de tiro está por debajo de la horizontal, el alcance también presenta un máximo como en el ejercicio anterior

Un objeto de masa m baja deslizando por un tejado inclinado un ángulo θ, recorriendo una distancia d hasta que cae con velocidad v0. Vamos a determinar la distancia L al punto de impacto del objeto en la calle. El coeficiente de rozamiento entre el tejado y el cuerpo es μ.

Cuando el objeto está en el tejado, las fuerzas que actúan son

La ecuación del movimiento del objeto a lo largo del tejado se escribe, ma=mgsinθ-μmgcosθ

El cuerpo empieza a deslizar (a=0) cuando el tejado tiene una inclinación tal que tanθ=μ

La velocidad v0 del objeto cuando llega al alero es

d= 1 2 a t 2 v 0 =at } v 0 = 2ad = 2g( sinθμcosθ )d

Las ecuaciones del movimiento del objeto en el aire son

a { a x =0 a y =g v { v x = v 0 cosθ v y = v 0 sinθgt r { x= v 0 cosθ y=H v 0 sinθt 1 2 g t 2

El alcance L se calcula cuando llega al suelo, y=0

t= v 0 sinθ+ ( v 0 sinθ ) 2 +2gH g L= v 0 cosθ·t= 2cosθ ( sinθμcosθ )d{ ( sinθμcosθ )d sin 2 θ+H } ( sinθμcosθ )sin(2θ)d

mu=0.2;
aCritico=atan(mu); %empieza a deslizar
H=10;
d=5;
v0=@(x) sqrt(sin(x)-mu*cos(x));
f=@(x) 2*(v0(x).*cos(x)).*(-v0(x).*sin(x)+sqrt((v0(x).*sin(x)).^2+H));
fplot(f,[aCritico,80*pi/180])
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('L')
title('Alcance')

Referencias

Willem H. van den Berg, Andrea R. Burbank. Sliding off a Roof: How Does the Landing Point Depend on the Steepness?. The Physics Teacher. Vol. 40, February 2002, 84-85