El problema de los dos condensadores

Consideremos el siguiente circuito formado por dos condensadores de capacidades C1 y C2, una resistencia R y una autoinducción L.

El condensador de capacidad C1 está cargado con una carga Q y el condensador de capacidad C2 está inicialmente descargado. En el instante t=0, se cierra el circuito. El condensador de capacidad C1 se descarga y carga al condensador de capacidad C2.

En un instante dado t, tendremos que

Medimos las diferencias de potencial entre los puntos a y b, b y c, c y d, d y a.

En un circuito cerrado se cumple

Vab+Vbc+Vcd+ Vda =0

La ecuación del circuito es

q 1 C 1 +iR+ q 2 C 2 +L di dt =0

Con q1+q2=Q. Si inicialmente el condensador C2 está descargado q2=0, la carga q1 disminuye con el tiempo y la carga q2 aumenta con el tiempo, la intensidad i (carga por unidad de tiempo) valdrá

i= d q 1 dt = d q 2 dt  

La ecuación del circuito se escribe en términos de q2

d 2 q 2 d t 2 + R L d q 2 dt +( 1 C 1 + 1 C 2 ) q 2 L = Q L C 1

o bien,

d 2 q 2 d t 2 +2γ d q 2 dt + ω 0 2 q 2 = Q L C 1 ω 0 2 = 1 L C 1 + C 2 C 1 C 2 γ= R 2L

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

q 2 = y 1 +exp(γt)(A·sinωt+B·cosωt) ω 2 = ω 0 2 γ 2

La constante y1 es la solución particular y la segunda, la solución general que ya encontramos en el estudio de las oscilaciones amortiguadas.

Introduciendo la solución particular y1 en la ecuación diferencial tenemos que y1=QC2/(C1+C2)

Las condiciones iniciales q2=0, y dq2/dt=0 determinan los valores de A yB.

q 2 = Q C 2 C 1 + C 2 ( 1exp(γt)( γ ω sinωt+cosωt ) ) i= d q 2 dt = Q L C 1 exp(γt) sinωt ω

Comprobamos que en el instantet=0, q2=0 e i=0. Después de un tiempo muy grande, t→∞, i→0 y

q 2 Q C 2 C 1 + C 2

Deducción alternativa

Derivamos la ecuación del circuito respecto del tiempo

1 C 1 d q 1 dt +R di dt + 1 C 2 d q 2 dt +L d 2 i d t 2 =0 

Quedando la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas

   d 2 i d t 2 +2γ di dt + ω 0 2 i=0γ= R 2L ω 0 2 = 1 L C 1 + C 2 C 1 C 2

Para integrar la ecuación diferencial necesitamos conocer la intensidad i en el instante t=0, y el valor de la derivada primera di/dt de la intensidad en dicho instante.

Las condiciones iniciales son por tanto, en el instante t=0, la intensidad i=0. El condensador de capacidad C2 se encuentra descargado q2=0, el condensador de capacidad C1 tiene una carga inicial q1=Q. La ecuación del circuito se escribe para t=0

Q C 1 +L di dt =0

Soluciones de la ecuación diferencial

La solución de la ecuación diferencial es la siguiente:

Oscilaciones amortiguadas(γ<ω0)

i=Aexp(γt)·sin(ωt+φ) ω 2 = ω 0 2 γ 2 di dt =Aexp(γt)( γ·sin(ωt+φ)+ω·cos(ωt+φ) )

Las condiciones iniciales determinan la amplitud A y la fase inicial φ.

0=Asinφ Q L C 1 =A(γsinφ+ωcosφ)

La ecuación de la oscilación amortiguada es

i= Q L C 1 exp(γt) sin(ωt) ω  

Oscilación crítica (γ=ω0)

La solución de la ecuación diferencial es

i=(At+B)·exp(γt) di dt =Aexp(γt)γ(At+B)·exp(γt)

Las condiciones iniciales determinan las constantes A y B

0=B Q L C 1 =AγB

La variación de la intensidad i en función del tiempo t es

i= Q L C 1 exp(γt)·t

Oscilación sobreamortiguada (γ>ω0)

La solución de la ecuación diferencial es

i=( Aexp(βt)+B·exp(βt) )exp(γt) di dt =β( Aexp(βt)+B·exp(βt) )exp(γt)γ( Aexp(βt)+ B·exp(βt) )exp(γt)

Las condiciones iniciales determinan las constantes A y B

0=A+B Q L C 1 =β(A+B)γ(A+B)

La variación de la intensidad i en función del tiempo t es

i= Q L C 1 exp(γt) sinh(βt) β

Carga final de los condensadores

Calculamos las cargas de cada condensador en función del tiempo con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la carga del condensador C1 es q1=Q y la carga del condensador C2 es q2=0.

i= d q 2 dt q 2 = 0 t i·dt i= d q 1 dt q 1 =Q q 2

Después de un tiempo teóricamente infinito, se establece una situación de equilibrio. Para obtener la carga final de los condensadores no es necesario proceder a la integración en cada uno de los tres casos, ya que después de un tiempo teóricamente infinito la intensidad i tiende cero y la derivada di/dt tiende también a cero. La ecuación del circuito queda

q 1 C 1 + q 2 C 2 =0

Por la conservación de la carga

q 1 + q 2 =Q q 1 = Q C 1 C 1 + C 2 q 2 = Q C 2 C 1 + C 2

Estudio energético

La energía inicial almacenada en el condensador de capacidad C1 es

U i = 1 2 Q 2 C 1

La energía almacenada en los condensadores después de un tiempo teóricamente infinito es

U f = 1 2 q 1 2 C 1 + 1 2 q 2 2 C 1 = 1 2 Q 2 C 1 + C 2

La diferencia de energías Uf-Ui es la que se disipa en la resistencia R hasta que se establece la situación de equilibrio es

ΔU= U f U i = 1 2 Q 2 C 1 C 2 C 1 + C 2

El lector puede ejercitarse en el cálculo de integrales para demostrar que la energía disipada en la resistencia en los tres casos es

U R = 0 i 2 R·dt = 1 2 Q 2 C 1 C 2 C 1 + C 2

Comportamiento de un circuito real

El comportamiento de la intensidad por tanto depende de los valores de R, L y C.

Supongamos un hipotético circuito de 5 cm de radio, cuyos elementos están conectados mediante cables de cobre de 0.5 mm de radio.

La resistencia de los cables es

R=ρ l A =2· 10 8 2π0.05 π (0.0005) 2 =0.008Ω

La autoinducción se calcula mediante la siguiente fórmula

L= μ 0 D 2 ( ln 8D d 7 4 )=4π· 10 7 2·0.05 2 ( ln 8·2·0.05 0.0005 7 4 )=3.5· 10 7 H

D es diámetro del circuito y d es el diámetro del cable.

Si los dos condensadores son iguales y su capacidad es del orden C1=C2=100μF, Tendremos que la frecuencia angular propia o natural es

ω 0 = 2 CL = 2 100· 10 6 ·3.5· 10 7 =2.4· 10 5 rad/s

El factor de amortiguamiento es

γ= R 2L = 0.008 2·3.5· 10 7 =1.1· 10 4 s -1

Tenemos claramente que γ/ω0<<1. Estamos en una situación de oscilaciones amortiguadas, tal como fue nuestra suposición en base a la analogía de los vasos comunicantes.

Para dos condensadores iguales C1=C2=C, teniendo en cuenta que, γ<<ω0 y por tanto, la frecuencia de la oscilación amortiguada es igual a frecuencia propia ω≈ω0

i= Q ω 0 2 exp( R 2L t)sin( ω 0 t) ω 0 2 = 1 LC

Para obtener esta imagen, en la página de las oscilaciones amortiguadas, se introduce en los controles:

Esta solución, se puede comparar con la que se obtiene sin tener en cuenta la autoinducción del circuito

i= Q RC exp( t RC )

que afirma que la intensidad i disminuye exponencialmente con el tiempo.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa como la carga fluye de un condensador al otro, de forma análoga a como la carga fluye entre los vasos comunicantes. El flujo de cargas (la intensidad de la corriente) está representado por el movimiento de puntos de color rojo.

Si la resistencia R no es nula, la carga en cada uno de los condensadores tiende hacia un valor límite.

En la gráfica se representa, en el eje vertical la carga q1/Q y q2/Q y en el eje horizontal el tiempo t, medido en μs.

Ejemplo:

Se introduce

Calculamos

Ambas frecuencias son prácticamente iguales

En el instante t=100·10-6 s calculamos la carga

q 2 = Q C 2 C 1 + C 2 ( 1exp(γt)( γ ω sinωt+cosωt ) )

Siendo Q, la carga inicial en el instante t=0.

Después de un tiempo muy grande las cargas en cada uno de los condensadores tiende hacia



Referencias

Powell R. A.Two-capacitor problem: A more realistic view. Am. J. Phys. 47 (5) May 1979, pp. 460-462