El problema de los dos condensadores

Consideremos el siguiente circuito formado por dos condensadores de capacidades C1 y C2, una resistencia R y una autoinducción L.

El condensador de capacidad C1 está cargado con una carga Q y el condensador de capacidad C2 está inicialmente descargado. En el instante t=0, se cierra el circuito. El condensador de capacidad C1 se descarga y carga al condensador de capacidad C2.

En un instante dado t, tendremos que

La ecuación del circuito es

V L q 2 C 2 + q 1 C 1 =iR ( L di dt ) q 2 C 2 + q 1 C 1 =iR,i= d q 2 dt ,i= d q 1 dt q 1 + q 2 =Q

La corriente i extrae carga de la placa positiva del condensador C1, por lo que i=-dq1/dt y añade carga a la placa positiva del condensador C2, por lo que i=dq2/dt. La conservación de la carga implica q1+q2=Q

La ecuación del circuito se escribe en términos de q2

d 2 q 2 d t 2 + R L d q 2 dt +( 1 C 1 + 1 C 2 ) q 2 L = Q L C 1

o bien,

d 2 q 2 d t 2 +2γ d q 2 dt + ω 0 2 q 2 = Q L C 1 ω 0 2 = 1 L C 1 + C 2 C 1 C 2 γ= R 2L

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

q 2 = y 1 +exp(γt)(A·sinωt+B·cosωt) ω 2 = ω 0 2 γ 2

La constante y1 es la solución particular. El segundo término, es la solución de la ecuación diferencial homogénea que ya encontramos en el estudio de las oscilaciones amortiguadas.

Introduciendo la solución particular y1 en la ecuación diferencial tenemos que y1=QC2/(C1+C2)

Las condiciones iniciales q2=0, y dq2/dt=0 determinan los valores de A y B.

q 2 = Q C 2 C 1 + C 2 ( 1exp(γt)( γ ω sinωt+cosωt ) ) i= d q 2 dt = Q L C 1 exp(γt) sinωt ω

Comprobamos que en el instante t=0, q2=0 e i=0. Después de un tiempo muy grande, t→∞, i→0 y

q 2 Q C 2 C 1 + C 2

Deducción alternativa

Derivamos la ecuación del circuito respecto del tiempo

1 C 1 d q 1 dt +R di dt + 1 C 2 d q 2 dt +L d 2 i d t 2 =0 

Quedando la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas

   d 2 i d t 2 +2γ di dt + ω 0 2 i=0γ= R 2L ω 0 2 = 1 L C 1 + C 2 C 1 C 2

Para integrar la ecuación diferencial necesitamos conocer la intensidad i en el instante t=0, y el valor de la derivada primera di/dt de la intensidad en dicho instante.

Las condiciones iniciales son por tanto, en el instante t=0, la intensidad i=0. El condensador de capacidad C2 se encuentra descargado q2=0, el condensador de capacidad C1 tiene una carga inicial q1=Q. La ecuación del circuito se escribe para t=0

Q C 1 +L di dt =0

Soluciones de la ecuación diferencial

La solución de la ecuación diferencial es la siguiente:

Oscilaciones amortiguadas(γ<ω0)

i=Aexp(γt)·sin(ωt+φ) ω 2 = ω 0 2 γ 2 di dt =Aexp(γt)( γ·sin(ωt+φ)+ω·cos(ωt+φ) )

Las condiciones iniciales determinan la amplitud A y la fase inicial φ.

0=Asinφ Q L C 1 =A(γsinφ+ωcosφ)

La ecuación de la oscilación amortiguada es

i= Q L C 1 exp(γt) sin(ωt) ω  

Oscilación crítica (γ=ω0)

La solución de la ecuación diferencial es

i=(At+B)·exp(γt) di dt =Aexp(γt)γ(At+B)·exp(γt)

Las condiciones iniciales determinan las constantes A y B

0=B Q L C 1 =AγB

La variación de la intensidad i en función del tiempo t es

i= Q L C 1 exp(γt)·t

Oscilación sobreamortiguada (γ>ω0)

La solución de la ecuación diferencial es

i=( Aexp(βt)+B·exp(βt) )exp(γt) di dt =β( Aexp(βt)+B·exp(βt) )exp(γt)γ( Aexp(βt)+ B·exp(βt) )exp(γt)

Las condiciones iniciales determinan las constantes A y B

0=A+B Q L C 1 =β(A+B)γ(A+B)

La variación de la intensidad i en función del tiempo t es

i= Q L C 1 exp(γt) sinh(βt) β

Carga final de los condensadores

Calculamos las cargas de cada condensador en función del tiempo con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la carga del condensador C1 es q1=Q y la carga del condensador C2 es q2=0.

i= d q 2 dt q 2 = 0 t i·dt i= d q 1 dt q 1 =Q q 2

Después de un tiempo teóricamente infinito, se establece una situación de equilibrio. Para obtener la carga final de los condensadores no es necesario proceder a la integración en cada uno de los tres casos, ya que después de un tiempo teóricamente infinito la intensidad i tiende cero y la derivada di/dt tiende también a cero. La ecuación del circuito queda

q 1 C 1 + q 2 C 2 =0

Por la conservación de la carga

q 1 + q 2 =Q q 1 = Q C 1 C 1 + C 2 q 2 = Q C 2 C 1 + C 2

Estudio energético

La energía inicial almacenada en el condensador de capacidad C1 es

U i = 1 2 Q 2 C 1

La energía almacenada en los condensadores después de un tiempo teóricamente infinito es

U f = 1 2 q 1 2 C 1 + 1 2 q 2 2 C 1 = 1 2 Q 2 C 1 + C 2

La diferencia de energías Uf-Ui es la que se disipa en la resistencia R hasta que se establece la situación de equilibrio es

ΔU= U f U i = 1 2 Q 2 C 1 C 2 C 1 + C 2

El lector puede ejercitarse en el cálculo de integrales para demostrar que la energía disipada en la resistencia en los tres casos es

U R = 0 i 2 R·dt = 1 2 Q 2 C 1 C 2 C 1 + C 2

Comportamiento de un circuito real

El comportamiento de la intensidad por tanto depende de los valores de R, L y C.

Supongamos un hipotético circuito de 5 cm de radio, cuyos elementos están conectados mediante cables de cobre de 0.5 mm de radio.

La resistencia de los cables es

R=ρ l A =2· 10 8 2π0.05 π (0.0005) 2 =0.008Ω

La autoinducción se calcula mediante la siguiente fórmula

L= μ 0 D 2 ( ln 8D d 7 4 )=4π· 10 7 2·0.05 2 ( ln 8·2·0.05 0.0005 7 4 )=3.5· 10 7 H

D es diámetro del circuito y d es el diámetro del cable.

Si los dos condensadores son iguales y su capacidad es del orden C1=C2=100μF, Tendremos que la frecuencia angular propia o natural es

ω 0 = 2 CL = 2 100· 10 6 ·3.5· 10 7 =2.4· 10 5 rad/s

El factor de amortiguamiento es

γ= R 2L = 0.008 2·3.5· 10 7 =1.1· 10 4 s -1

Tenemos claramente que γ/ω0<<1. Estamos en una situación de oscilaciones amortiguadas, tal como fue nuestra suposición en base a la analogía de los vasos comunicantes.

Para dos condensadores iguales C1=C2=C, teniendo en cuenta que, γ<<ω0 y por tanto, la frecuencia de la oscilación amortiguada es igual a frecuencia propia ω≈ω0

i= Q ω 0 2 exp( R 2L t)sin( ω 0 t) ω 0 2 = 1 LC

Para obtener esta imagen, en la página de las oscilaciones amortiguadas, se introduce en los controles:

Esta solución, se puede comparar con la que se obtiene sin tener en cuenta la autoinducción del circuito

i= Q RC exp( t RC )

que afirma que la intensidad i disminuye exponencialmente con el tiempo.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa como la carga fluye de un condensador al otro, de forma análoga a como la carga fluye entre los vasos comunicantes. El flujo de cargas (la intensidad de la corriente) está representado por el movimiento de puntos de color rojo.

Si la resistencia R no es nula, la carga en cada uno de los condensadores tiende hacia un valor límite.

En la gráfica se representa, en el eje vertical la carga q1/Q y q2/Q y en el eje horizontal el tiempo t, medido en μs.

Ejemplo:

Se introduce

Calculamos

Ambas frecuencias son prácticamente iguales

En el instante t=100·10-6 s calculamos la carga

q 2 = Q C 2 C 1 + C 2 ( 1exp(γt)( γ ω sinωt+cosωt ) )

Siendo Q, la carga inicial en el instante t=0.

Después de un tiempo muy grande las cargas en cada uno de los condensadores tiende hacia



Referencias

Powell R. A.Two-capacitor problem: A more realistic view. Am. J. Phys. 47 (5) May 1979, pp. 460-462