Componentes tangencial y normal de la aceleración. Radio de curvatura

En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en el instante t. Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t, la dirección del vector velocidad v +d v en el instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t, y el centro de curvatura C es el radio de curvatura ρ.

En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la dirección del vector velocidad cambia un ángulo , que es el ángulo entre las tangentes o entre las normales. El móvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=ρ·dθ,  tal como se aprecia en la figura.

Escribimos el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que tenga su misma dirección y sentido u ^ t = v /v . La derivada de un producto se compone de la suma de dos términos

a = d v dt = d(v u ^ t ) dt = dv dt u ^ t +v d u ^ t dt

El primer término, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario u ^ t , es la componente tangencial de la aceleración

El segundo término, vamos a demostrar que tiene la dirección normal u ^ n . Como vemos en la figura las componentes del vector unitario u ^ t son

u ^ t =cosθ i ^ +sinθ j ^

Su derivada es

d u ^ t dt =( sinθ i ^ +cosθ j ^ ) dθ dt = dθ dt u ^ n = 1 ρ ds dt u ^ n = v ρ u ^ n

El vector aceleración es

a = d v dt = dv dt u ^ t + v 2 ρ u ^ n

Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente

a t = dv dt a n = v 2 ρ

Obtendremos esta última fórmula de una forma más simple para una partícula que describe un movimiento circular uniforme.

Radio de curvatura

En el lenguaje ordinario, decimos que un trozo de carretera Δs tiene más curvatura que otro cuando el cambio de dirección Δθ es mayor a igualdad de camino recorrido en ambos. Compárese la figura de la izquierda con la de la derecha

El radio ρ de curvatura medio e instantáneo se definen, respectivamente,

<ρ>= Δs Δθ ρ= lim Δs0 Δs Δθ  = ds dθ

El radio de curvatura ρ y el centro C de curvatura se determinan del siguiente modo: Se traza la tangente a un punto de la trayectoria y a continuación, se traza la normal. Se toma un punto muy próximo al anterior, se traza la tangente y la normal en dicho punto.

Las normales se cortan en un punto denominado centro de curvatura C, y la distancia de C a uno u otro punto de la trayectoria, infinitamente próximos entre sí, se denomina radio de curvatura ρ.

Si el ángulo comprendido entre las dos tangentes es , este es el ángulo que forman las dos normales. La longitud del arco entre los dos puntos considerados es ds=ρ·dθ .

Dada la función y=f(x), vamos a determinar la fórmula que nos permite calcular el radio de curvatura ρ de la curva en la posición de abscisa x.

Como vemos en la figura, en el triángulo rectángulo de base dx, altura dy e hipotenusa ds, establecemos las siguientes relaciones

tanθ= dy dx ds= d x 2 +d y 2 = 1+ ( dy dx ) 2 dx

La fórmula del radio de curvatura es

ρ= ds dθ = 1+ ( dy dx ) 2 dx darctan dy dx = 1+ ( dy dx ) 2 dx d 2 y d x 2 dx / ( 1+ ( dy dx ) 2 ) = ( 1+ ( dy dx ) 2 ) 3/2 d 2 y d x 2

El radio de curvatura es una cantidad positiva

Ejemplo

Al final de la página anterior hemos calculado las componentes tangencial y normal de la aceleración de un movimiento curvilíneo en el instante t=1.5 s. Conociendo la aceleración normal an=6.86 m/s2 y el módulo de la velocidad v2=32+52=34, obtenemos el radio de curvatura

ρ= v 2 a n = 34 6.86 =4.96m

Vamos a calcular el radio ρ y el centro C de curvatura en el instante t=1.5 s o en la posición x1=2.25 m, y1=68.75 m

La ecuación de la trayectoria del movimiento curvilíneo y=f(x), la derivada primera dy/dx y la derivada segunda d2x/dx2 son

y=50+20 x 5x dy dx = 10 x 5 d 2 y d x 2 = 5 x x

Calculamos sus valores en la posición x1=2.25 m y las introducimos en la fórmula del radio de curvatura, obteniendo ρ=4.96 m

La derivada primera, nos da la pendiente m1=1.67 de la recta tangente a la trayectoria en x1=2.25 m. La pendiente de la recta normal m2=-1/m1=-0.6 (véase 'Rectas perpendiculares', al final de esta página)

La dirección normal contiene el punto (x1, y1) y al centro de curvatura de coordenadas (xc, yc), por tanto,

y c y 1 = m 2 ( x c x 1 )

Por otra parte, la distancia entre el centro de curvatura (xc, yc) y el punto (x1, y1) es igual al radio de curvatura ρ

ρ 2 = ( x c x 1 ) 2 + ( y c y 1 ) 2

Despejamos xc e yc

x c = x 1 ± ρ m 2 2 +1 y c = y 1 + m 2 ( x c x 1 )

Las coordenadas del centro de curvatura son: xc=6.50 m, yc=66.20 m

f=@(x) 50+20*sqrt(x)-5*x;
hold on
fplot(f,[0,10])

%punto
x1=2.25;
y1=f(x1);
%radio de curvatura
r=(26*x1-100*sqrt(x1)+100)^(3/2)/5; %radio de curvatura
m2=-1/(10/sqrt(x1)-5); %pendiente de la recta normal
%centro de curvatura
xc=x1+r/sqrt(m2^2+1);
yc=y1+m2*(xc-x1);
line([xc,x1],[yc,y1],'Color','k');

%arco de circunferencia
ang=atan2((y1-yc),(x1-xc))*180/pi;
x2=zeros(0,90);
y2=zeros(0,90);
k=1;
for a=ang-45:ang+45
    x2(k)=xc+r*cosd(a);
    y2(k)=yc+r*sind(a);
    k=k+1;
end
plot(x2,y2,'r')
hold off
ylim([62,72]);
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Radio de curvatura')
>> r
r =    4.9563
>> m2
m2 =   -0.6000
>> xc
xc =    6.5000
>> yc
yc =   66.2000

El segmento de color negro es el radio de curvatura ρ de la trayectoria seguida por el proyectil en el instante t=1.5 s, en el punto x1=2.25 m, y1=68.75 m, su extremo es el centro de curvatura de coordenadas xc=6.50 m, yc=66.20 m. En color rojo, el arco de circunferencia de radio ρ centrado en dicho punto

Rectas perpendiculares

Consideremos dos rectas perpenduculares de pendientes m1=tanθ1 y m2=tanθ2. Trazamos un vector u entre dos puntos de la primera recta y un vector v en la segunda

u =ucos θ 1 i ^ +usin θ 1 j ^ v =vcos θ 2 i ^ +vsin θ 2 j ^

El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero y como consecuencia, la relación entre sus pendientes es m1·m2=-1

u · v =0 ucos θ 1 ·vcos θ 2 +usin θ 1 ·vsin θ 2 =0 sin θ 1 cos θ 1 = cos θ 2 sin θ 2 m 1 = 1 m 2

Referencia

Puig Adam P. Cálculo Integral Aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática, 1972, pág. 286-287