Elementos de un circuito de corriente alterna

Una fem alterna se produce mediante la rotación de una bobina con velocidad angular constante dentro de un campo magnético uniforme producido entre los polos de un imán.

v=V 0sin(ωt)

Para analizar los circuitos de corriente alterna, se emplean dos procedimientos, uno geométrico mediante vectores rotatorios y otro, que utiliza los números complejos.

Un ejemplo del primer procedimiento, es la interpretación geométrica del Movimiento Armónico Simple como proyección sobre el eje X de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud y que gira con una velocidad angular igual a la frecuencia angular.

Mediante las representaciones vectoriales, la longitud del vector representa la amplitud y su proyección sobre el eje vertical representa el valor instantáneo de dicha cantidad. Los vectores se hacen girar en sentido contrario al las agujas del reloj.

Elementos de un circuito de corriente alterna

Los elementos que se conectan a una fem alterna son: la resistencia, capacidad y autoinducción

Resistencia

La ecuación de este circuito simple es (intensidad por resistencia igual a la fem)

iR=V0sin(ωt)

i R = V 0 R sin(ωt)

La diferencia de potencial en los extremos de la resistencia es

vR= V0sin(ω t)

En una resistencia, la intensidad iR y la diferencia de potencial vR están en fase. La relación entre sus amplitudes es

I R = V R R

con VR=V0, la amplitud de la fem alterna

Como vemos en la representación vectorial de la figura, al cabo de un cierto tiempo t, los vectores rotatorios que representan a la intensidad en la resistencia y a la diferencia de potencial entre sus extremos, ha girado un ángulo ωt. Sus proyecciones sobre el eje vertical marcados por los segmentos de color azul y rojo son respectivamente, los valores en el instante t de la intensidad que circula por la resistencia y de la diferencia de potencial entre sus extremos.

Como VR=R·IR, definimos la impedancia ZR de la resistencia

Z R = V R I R =R

Condensador

En un condensador la carga q, la capacidad C y diferencia de potencial v entre sus placas están relacionadas entre sí

q=C·v

Si se conecta las placas del condensador a un generador de corriente alterna

q=C·V0·sin(ω t)

La intensidad se obtiene derivando la carga respecto del tiempo, i=dq/dt

i C =Cω V 0 cos(ωt)=Cω V 0 sin( ωt+ π 2 )

Para un condensador, la intensidad iC está adelantada 90º respecto a la diferencia de potencial vC. La relación ente sus amplitudes es

I C =Cω V C

con VC=V0, la amplitud de la fem alterna

Como VC=-i·IC/(ωC), definimos la impedancia ZC de la capacidad

Z C = V C I C =i 1 ωC

Autoinducción

El script que ha servido para dibujar las tres gráficas es el siguiente. Basta modificar la fase de la intensidad (segunda línea) y el título de la gráfica.

wt=linspace(0,2*pi,200);
i=sin(wt-pi/2);
v=0.75*sin(wt);
plot(wt,i,'r',wt,v,'b');
set(gca,'XTick',0:pi/2:2*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi'})
axis([0,2*pi,-1.1,1.1])
legend('intensidad','fem')
xlabel('\omega·t')
ylabel('i,v')
title('Autoinducción')
grid on

Ya hemos estudiado la autoinducción y las corrientes autoinducidas que se producen en una bobina cuando circula por ella una corriente i variable con el tiempo.

La ecuación del circuito es (suma de fem igual a intensidad por resistencia), como que la resistencia es nula

L di dt + V 0 sin(ωt)=0

Integrando esta ecuación obtenemos i en función del tiempo

i L = V 0 ωL cos(ωt)= V 0 ωL sin( ωt π 2 )

La intensidad iL de la en la bobina está retrasada 90º respecto de la diferencia de potencial entre sus extremos vL. La relación entre sus amplitudes es

I L = V L ωL

con VL=V0, la amplitud de la fem alterna

Como VL=iωL·IL, definimos la impedancia ZL de la autoinducción

Z L = V L I L =iωL

Circuito LCR

Se ha estudiado el comportamiento de una bobina, un condensador y una resistencia cuando se conectan por separado a un generador de corriente alterna.

Estudiaremos el comportamiento de un sistema formado por los tres elementos dispuestos en serie y conectados a un generador de corriente alterna de amplitud V0 y frecuencia angular ω .

v=V0 sin(ωt)

Dibujamos el diagrama de vectores teniendo en cuenta:

  1. que la intensidad que pasa por todos los elementos es la misma,
  2. que la suma (vectorial) de las diferencias de potencial entre los extremos de los tres elementos nos da la diferencia de potencial en el generador de corriente alterna.

El vector resultante de la suma de los tres vectores es

V 0 = V R 2 + ( V L V C ) 2 = I 0 R 2 + ( ωL 1 ωC ) 2

Se denomina impedancia del circuito al término

Z= R 2 + ( ωL 1 ωC ) 2

de modo que se cumpla una relación análoga a la de los circuitos de corriente continua

V0=I0·Z.

El ángulo que forma el vector resultante de longitud V0 con el vector que representa la intensidad I0 es

tanφ= V L V C V R = ωL 1 ωC R

Las expresiones de la fem y de la intensidad del circuito son

v= V 0 sin(ωt) i= I 0 sin(ωtφ)

La intensidad de la corriente en el circuito está desfasada un ángulo φ respecto de la fem que suministra el generador.

Ejemplo:

La frecuencia propia del circuito es

ω 0 = 1 5· 10 3 ·4· 10 6 =7071rad/s

La frecuencia del generador es ω=1.01·ω0=7142 rad/s

La impedancia vale

Z= 1.5 2 + ( 7142·5· 10 3 1 7142·4· 10 6 ) 2 =1.65 Ω

El desfase es

tanφ= 7142·5· 10 3 1 7142·4· 10 6 1.5 φ=0.44rad=25.2º

Resonancia en un circuito LCR en serie

Estudiamos la condición de resonancia en las oscilaciones forzadas de una masa unida a un muelle elástico.

La potencia suministrada por el generador de corriente alterna es

P=i·v=V0·I0sin(ωt)·sin(ωt-φ)

P=V0·I0sin(ωt)·(sin(ωt)·cos φ-cos(ωt)·sinφ)=V0·I0(sin2(ωt)·cos φ-sin(ωt)·cos(ωt)·sinφ)

Esta magnitud es una función complicada del tiempo que no es útil desde el punto de vista práctico. Lo que tiene interés es el promedio de la potencia en un periodo 2π/ω.

<P>=V0·I0(<sin2(ωt)cos φ-<sin(ωt)·cos(ωt)sinφ)

Se define como valor medio <f(t)> de una función periódica f(t) de periodo T a la integral

<f(t)>= 1 T 0 T f(t)·dt

El periodo de la función f(t)=sin2(ωt) es T=π/ω, su valor medio es

<sin2(ωt)>=1/2

El área de color rojo es igual al área de color azul.

El periodo de la función f(t)=sin(ωt)·cos(ωt)=sin(2ωt)/2 es T=π/ω, su valor medio es

<sin(ωt)·cos(ωt)>=0

>> syms t T;
>> int('sin(2*pi*t/T)^2',0,T)/T
ans =1/2
>> int('sin(2*pi*t/T)*cos(2*pi*t/T)',0,T)/T
ans =0

Teniendo en cuenta estos resultados, el valor medio de la energía por unidad de tiempo, o potencia suministrada por el generador es

<P>= 1 2 I 0 V 0 cosφ

El último término, cosφ se denomina factor de potencia.

El valor de <P> es máximo cuando el ángulo de desfase φ es cero, para ello se tiene que cumplir que

ωL= 1 ωC

es decir, la frecuencia ω del generador de corriente alterna debe coincidir con la frecuencia natural o propia ω0 del circuito oscilante.

Cuando ω 0 se cumple que