Transformada inversa de Laplace

Las transformadas de Laplace de las funciones que hemos estudiado en esta página se resumen en la tabla siguiente:

f(t) F(s)= 0 e st f(t)dt
c1f1(t)+c2f2(t) c1F1(s)+c2F2(s)
exp(a·t) 1 sa
cos(ωt) s s 2 + ω 2
sin(ωt) ω s 2 + ω 2
tn n! s n+1

exp(atf(t)

exp(at)·cos(ωt)

F(s-a)

sa (sa) 2 + ω 2

u(t-a) exp(-as)/s
u(t-af(t-a) exp(-asF(s)
δ(t-a) exp(-as)
f'(t) (derivada primera) s·F(s)-f(0)
f''(t) (derivada segunda) s2·F(s)-s·f(0)-s·f'(0)
g(t)= 0 t f(τ)dτ (integral) F(s)/s
f(t)=f(t+p), (función periódica) 1 1 e sp 0 p e st f(t)dt
f(at) 1 a F( s a )
tnf(t) ( 1 ) n d n d s n F(s)

Como vimos en la página Fracciones polinómicas, la función residue nos permite descomponer una fracción polinómica en suma de fracciones más simples. Modificaremos cada fracción para buscar en la tabla la función f(t), es decir su correspondiente transformada inversa de Laplace, comprobaremos el resultado hecho a mano con la llamada a la función ilaplace.

1.-Raíces reales distintas

Expresamos la primera fracción en términos de la variable s en vez de x, y sustituímos los decimales periódicos por las fracciones equivalentes.

s2 s 3 s 2 6s = 1 15 1 s3 2 5 1 s+2 + 1 3 1 s

Como vemos en la tabla, la transformada inversa de Laplace se escribe

f(t)=exp(3t)/15-2·exp(-2t)/5+1/3

Obtenemos una expresión similar empleando la función MATLAB ilaplace

>> syms s;
>> fs=(s-2)/(s^3-s^2-6*s);
>> ft=ilaplace(f)
ft =exp(3*t)/15 - 2/(5*exp(2*t)) + 1/3

2.-Raíces complejas distintas

s 2 2s+1 s 3 +3 s 2 +4s+2 = 3s+7 ( s+1 ) 2 +1 + 4 s+1 = 3 s+1 ( s+1 ) 2 + 1 2 4 ( s+1 ) 2 + 1 2 + 4 s+1

Como vemos en la tabla, la transformada inversa de Laplace se escribe

f(t)=-3·exp(-t)·cos(t)-4·exp(-t)sin(t)+4·exp(-t)=(4-3·cos(t)-4·sin(t))·exp(-t)

No es necesario sumar las dos fracciones con las raíces conjugadas para convertirla en una única fracción racional

s 2 2 s + 1 s 3 + 3 s 2 + 4 s + 2 = 1.5 + 2 i s ( 1 + i ) + 1.5 2 i s ( 1 i ) + 4 s + 1

si creamos una nueva entrada en la tabla de las transformadas inversas de Laplace. Sea

F(s)= c+di s(a+bi) + cdi s(abi)

Como vemos en la tabla, la transformada inversa de Laplace se escribe

f(t)=(c+di) e (a+bi)t +(cdi) e (abi)t = e at ( (c+di) e ibt +(cdi) e ibt )= e at ( 2c e ibt + e ibt 2 +2id e ibt e ibt 2 )= 2 e at ( c·cos(bt)d·sin(bt) )

Con c=-1.5, d=2, a=-1, b=1, obtenemos

f(t)=(2·exp(-t))(-1.5·cos(t)-2·sin(t))+4·exp(-t))=(4-3·cos(t)-4·sin(t))·exp(-t)

>> syms s;
>> fs=(s^2-2*s+1)/(s^3+3*s^2+4*s+2);
>> ft=ilaplace(fs)
ft =4/exp(t) - (3*(cos(t) + (4*sin(t))/3))/exp(t)
>> simplify(ft)
ans =-(3*cos(t) + 4*sin(t) - 4)/exp(t)

3.-Raíces repetidas

5s1 s 3 3s2 = 1 s2 + 1 s+1 + 2 (s+1) 2

Como vemos en la tabla, la transformada inversa de Laplace se escribe

f(t)=exp(2t)-exp(-t)+2t·exp(-t)

>> syms s;
>> fs=(5*s-1)/(s^3-3*s-2);
>> ft=ilaplace(fs)
ft =exp(2*t) - 1/exp(t) + (2*t)/exp(t)

4.-Fracciones impropias

s 2 +2s+3 s 2 +s6 =1 6 5 1 s+3 + 11 5 1 s2

Como vemos en la tabla, la transformada inversa de Laplace se escribe

f(t)=δ(t)+-6·exp(-3t)/5+11·exp(2t)/5

>> syms s;
>> fs=(s^2+2*s+3)/(s^2+s-6);
>> ft=ilaplace(fs)
ft =(11*exp(2*t))/5 - 6/(5*exp(3*t)) + dirac(t) 

Ejercicios

Descomponer una fracción en suma de fracciones más simples mediante residue. Determinar las expresiones de las transformadas inversas de Laplace a partir de la tabla y comprobar los resultados con la función ilaplace.

3 s 2 +2s+5 s 3 +12 s 2 +44s+48 s+3 s 3 +5 s 2 +12s+8 s 2 +3s+1 s 5 +7 s 4 +19 s 3 +25 s 2 +16s+4 2 s 4 + s 3 2s s 4 +7 s 3 +18 s 2 +20s+8

Ecuaciones diferenciales lineales

1.-Vamos a utilizar la transformada de Laplace para calcular la solución de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales especificadas.

d 2 x d t 2 + 4 d x d t + 3 x = 0 t = 0 { x = 3 d x d t = 1 ( s 2 F ( s ) s x ( 0 ) x ' ( 0 ) ) + 4 ( s F ( s ) x ( 0 ) ) + 3 F ( s ) = 0 ( s 2 F ( s ) 3 s 1 ) + 4 ( s F ( s ) 3 ) + 3 F ( s ) = 0 s 2 F ( s ) + 4 s F ( s ) 3 s 13 + 3 F ( s ) = 0 F ( s ) = 3 s + 13 s 2 + 4 s + 3

Transformamos la fracción racional F(s) en suma de fracciones más simples, factorizando el denominador y aplicamos la transformada inversa de Laplace

3 s + 13 s 2 + 4 s + 3 = A s + 1 + B s + 3 { A = 5 B = 2 3 s + 13 s 2 + 4 s + 3 = 5 s + 1 2 s + 3 x ( t ) = 5 e t 2 e 3 t

>> syms s;
>> Fs=(3*s+13)/(s^2+4*s+3);
>> x=ilaplace(Fs)
x =5/exp(t) - 2/exp(3*t)

2.-Resolver la ecuación diferencial con las condiciones iniciales especificadas

d 2 x d t 2 + 4 x = g ( t ) { t 0 t π π t > π t = 0 { x = 0 d x d t = 0

g(t)=(u(t-0)-u(t-π))·t+u(t-π)·π=t-(t-π)·u(t-π)

>> g=@(t) t+(pi-t).*heaviside(t-pi);
>> fplot(g,[0,10])

La transformada de Laplace es

( s 2 F ( s ) s · x ( 0 ) x ' ( 0 ) ) + 4 F ( s ) = 1 s 2 e π s s 2 s 2 F ( s ) + 4 F ( s ) = 1 s 2 ( 1 e π s ) F ( s ) = 1 e π s s 2 ( s 2 + 4 )

Expresamos la fracción en suma de fracciones más simples y calculamos la transformada inversa de Laplace

1 s 2 ( s 2 + 4 ) = A s + B s 2 + 4 + C s + D s 2 { A = 0 B = 1 / 4 C = 0 D = 1 / 4 F ( s ) = 1 e π s s 2 ( s 2 + 4 ) = ( 1 e π s ) ( 1 4 s 2 1 4 1 s 2 + 4 ) = 1 4 s 2 1 4 1 s 2 + 4 e π s 4 s 2 + 1 4 e π s s 2 + 4 = 1 4 1 s 2 1 8 2 s 2 + 2 2 1 4 e π s s 2 + e π s 8 2 s 2 + 2 2 f ( t ) = 1 4 t 1 8 sin ( 2 t ) 1 4 u ( t π ) · ( t π ) · + 1 8 u ( t π ) · sin ( 2 ( t π ) )

>> syms s;
>> Fs=(1-exp(-sym('pi')*s))/(s^2*(s^2+4));
>> x=ilaplace(Fs)
x =t/4 - sin(2*t)/8 + heaviside(t - pi)*(pi/4 - t/4 + sin(2*t)/8)

Sistema de dos ecuaciones diferenciales

Sea el sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes que estudiamos en la página Sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales.

{ dx dt +2x+4y=1+4t dy dt +xy= 3 2 t 2 t=0{ x=0 y=1

Aplicamos la transformada de Laplace a cada una de las ecuaciones y tenemos en cuenta las condiciones iniciales, es decir, el valor inicial x(0) e y(0) en el instante t=0

{ sX(s)x(0)+2X(s)+4Y(s)= 1 s + 4 s 2 sY(s)y(0)+X(s)Y(s)= 3 2 2 s 3 { (s+2)X(s)+4Y(s)= 1 s + 4 s 2 X(s)+(s1)Y(s)= 3 s 3 +1 X(s)= 3 s 3 3 s 2 +4s+12 s 3 (s2)(s+3) Y(s)= s 4 +2 s 3 s 2 s+6 s 3 (s2)(s+3)

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, despejando X(s) e Y(s) mediante el operador división por la izquierda. Calculamos la transformada inversa de Laplace mediante la función ilaplace

>> syms s;
>> A=[(s+2),4;1,(s-1)];
>> b=[1/s+4/s^2;1+3/s^3];
>> X=A\b
X =
 -(3*s^3 - 3*s^2 + 4*s + 12)/(s^3*(s^2 + s - 6))
 (s^4 + 2*s^3 - s^2 - s + 6)/(s^3*(s^2 + s - 6))
 >> ilaplace(X)
ans =
 t - (4*exp(2*t))/5 + 4/(5*exp(3*t)) + t^2
   (4*exp(2*t))/5 + 1/(5*exp(3*t)) - t^2/2

Obtenemos el mismo resultado que con la función dsolve.