Sistemas no homogéneos de ecuaciones diferenciales lineales
Consideremos el sistema no homogéno de dos ecuaciones diferenciales de primer orden con coeficientes constantes.
Para resolverlo se siguen los pasos:
- Derivamos la primera ecuación respecto de t
- Despejamos y en la primera ecuación
- Despejamos dy/dt en la segunda ecuación y sustituímos el valor de y, calculado anteriormente
- Obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden
- La solución particular es x1=at2+bt+c, introduciéndola en la ecuación diferencial nos da a=1, b=1,c=0, por lo que x1=t2+t.
- Las raíces de la ecuación característica s2+s-6=0 son s1=-3 y s2=2.
La solución completa es
Dadas las condiciones iniciales x(t0) e y(t0) determinamos las constantes C1 y C2.
Resolvemos este sistema con la función
>> syms x y t; >> eq1='Dx+2*x+4*y=1+4*t'; >> eq2='Dy+x-y=3*t^2/2'; >> [x1 y1]=dsolve(eq1,eq2,'x(0)=0','y(0)=1') x1 =t - (4*exp(2*t))/5 + 4/(5*exp(3*t)) + t^2 y1 =(4*exp(2*t))/5 + 1/(5*exp(3*t)) - t^2/2
Resolución en forma matricial
Escribimos el sistema no homogéno de dos ecuaciones diferenciales lineales en forma matricial
Solución de la homogénea
Estudiamos el sitema homogéneo, para ello modificamos el script de la página anterior cambiando la matriz A y el vector x0 de valores iniciales.
syms t; A=sym('[-2,-4;-1,1]'); [V D]=eig(A); %vectores propios y valores propios x0=sym('[0;1]'); %condiciones inciales C=V\x0; %coeficientes C1 y C2 C=C.*exp(diag(D)*t); %multiplica cada coeficente por la exponencial x=V*C
x = 4/(5*exp(3*t)) - (4*exp(2*t))/5 (4*exp(2*t))/5 + 1/(5*exp(3*t))
Solución particular
Buscamos una solución particular de la forma x=at2+bt+c, donde a, b y c son vectores. Es decir
Introducimos la solución particular en la ecuación diferencial
Obtenemos las siguientes ecuaciones matriciales que resolvemos utilizando el operador división por la izquierda
>> A=[-2,-4;-1,1]; >> a0=[0;1.5]; >> a=A\(-a0) a = 1.0000 -0.5000 >> b0=[4;0]; >> b=A\(2*a-b0) b = 1 0 >> c0=[1;0]; >> c=A\(b-c0) c = 0 0
Así pues, a1=1,b1=1,c1=0. a2=-1/2,b2=0,c2=0.
Solución completa
La solución completa es la suma de la homogénea y particular.