Sistemas no homogéneos de ecuaciones diferenciales lineales

Consideremos el sistema no homogéno de dos ecuaciones diferenciales de primer orden con coeficientes constantes.

{ d x d t + 2 x + 4 y = 1 + 4 t d y d t + x y = 3 2 t 2

Para resolverlo se siguen los pasos:

  1. Derivamos la primera ecuación respecto de t
  2. d 2 x d t 2 + 2 d x d t + 4 d y d t = 4

  3. Despejamos y en la primera ecuación
  4. y = 1 4 ( 1 + 4 t d x d t 2 sx )

  5. Despejamos dy/dt en la segunda ecuación y sustituímos el valor de y, calculado anteriormente
  6. d y d t = 3 2 t 2 x + 1 4 ( 1 + 4 t d x d t 2 x )

  7. Obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden
  8. d 2 x d t 2 + 2 d x d t + 6 t 2 4 x + 1 + 4 t d x d t 2 x = 4 d 2 x d t 2 + d x d t 6 x = 6 t 2 4 t + 3

    La solución completa es

    x = C 1 e 2 t + C 2 e 3 t + t 2 + t y = 1 4 ( 1 + 4 t d x d t 2 x ) = C 1 e 2 t + C 2 4 e 3 t 1 2 t 2

    Dadas las condiciones iniciales x(t0) e y(t0) determinamos las constantes C1 y C2.

    t=0{ x=0 y=1 x= 4 5 e 2t + 4 5 e 3t + t 2 +t y= 4 5 e 2t + 1 5 e 3t 1 2 t 2

Resolvemos este sistema con la función dsolve de MATLAB

>> syms x y t;
>> eq1='Dx+2*x+4*y=1+4*t';
>> eq2='Dy+x-y=3*t^2/2';
>> [x1 y1]=dsolve(eq1,eq2,'x(0)=0','y(0)=1')
x1 =t - (4*exp(2*t))/5 + 4/(5*exp(3*t)) + t^2
y1 =(4*exp(2*t))/5 + 1/(5*exp(3*t)) - t^2/2

Resolución en forma matricial

Escribimos el sistema no homogéno de dos ecuaciones diferenciales lineales en forma matricial

( dx dt dy dt )=( 2 4 1 1 )( x y )+( 1+4t 3 t 2 /2 )

Solución de la homogénea

Estudiamos el sitema homogéneo, para ello modificamos el script de la página anterior cambiando la matriz A y el vector x0 de valores iniciales.

syms t;
A=sym('[-2,-4;-1,1]');
[V D]=eig(A); %vectores propios y valores propios
x0=sym('[0;1]'); %condiciones inciales
C=V\x0;  %coeficientes C1 y C2
C=C.*exp(diag(D)*t); %multiplica cada coeficente por la exponencial
x=V*C
x =
 4/(5*exp(3*t)) - (4*exp(2*t))/5
 (4*exp(2*t))/5 + 1/(5*exp(3*t))

Solución particular

Buscamos una solución particular de la forma x=at2+bt+c, donde a, b y c son vectores. Es decir

( x 1 x 2 )=( a 1 a 2 ) t 2 +( b 1 b 2 )t+( c 1 c 2 )=( a 1 t 2 + b 1 t+ c 1 a 2 t 2 + b 2 t+ c 2 )

Introducimos la solución particular en la ecuación diferencial

( 2 a 1 t+ b 1 2 a 2 t+ b 2 )=( 2 4 1 1 )( a 1 t 2 + b 1 t+ c 1 a 2 t 2 + b 2 t+ c 2 )+( 1+4t 3 t 2 /2 )

Obtenemos las siguientes ecuaciones matriciales que resolvemos utilizando el operador división por la izquierda

2( a 1 a 2 )t+( b 1 b 2 )=( 2 4 1 1 )( a 1 a 2 ) t 2 +( 2 4 1 1 )( b 1 b 2 )t+( 2 4 1 1 )( c 1 c 2 )+ ( 0 3/2 ) t 2 +( 4 0 )t+( 1 0 ) 2at+b=Aa t 2 +Abt+Ac+ a 0 t 2 + b 0 t+ c 0 { Aa=- a 0 Ab=2a- b 0 Ac=b- c 0

>> A=[-2,-4;-1,1];
>> a0=[0;1.5];
>> a=A\(-a0)
a =
    1.0000
   -0.5000
>> b0=[4;0];
>> b=A\(2*a-b0)
b =
     1
     0
>> c0=[1;0];
>> c=A\(b-c0)
c =
     0
     0

Así pues, a1=1,b1=1,c1=0. a2=-1/2,b2=0,c2=0.

Solución completa

La solución completa es la suma de la homogénea y particular.

x= 4 5 e 2t + 4 5 e 3t + t 2 +t y= 4 5 e 2t + 1 5 e 3t 1 2 t 2