Límites, derivadas.

Límites

Calcular el límite

$\lim_{x \to 1} (\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x^{2} + 1}) = 1$

Límites indeterminados de la forma 0/0 o ∞/∞. Regla de L'Hôpital

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \lim_{x \to a} \frac{f' (x)}{g' (x)} \\ \lim_{x \to 0} \frac{\sin (a x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a \cos (a x)}{1} = a \end{array}$

Otras formas indeterminadas son 0·∞ y ∞-∞ que se transforman en 0/0 o ∞/∞.

Ejemplos:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin^{2} x} - \frac{1}{x^{2}}) \\ \lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{a}{x})}^{x} \\ \lim_{x \to 0} {(\cos (2 x))}^{3 / x^{2}} \end{array}$

>> sym x a;
>> y=(x^2+2*x-1)/(x^2+1);
>> limit(y,x,1)
ans =1
>> limit(sin(a*x)/x,x,0) % alternativamente, limit(sin(a*x)/x)
ans =a
>> limit((1+a/x)^x,x,inf) %alternativamente, limit((1+a/x)^x,inf)
ans =exp(a)
>> y=1/(sin(x)^2)-1/x^2;
>> limit(y,x,0) 
ans =1/3
>> y=cos(2*x)^(3/x^2);
>> limit(y,x,0)
ans =1/exp(6)

inf representa en MATLAB el infinito, x representa la variable respecto de la cual se calcula el límite. La función limit requiere tres parámetros pero asume valores por defecto, como puede probarse en los comentarios al código.

La derivada de una función f(x) es el límite

$f' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

La derivada de y=sin(x) es y'=cos(x)

>> syms x h;
>> limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0)
ans =cos(x)

De forma alternativa, podemos calcular las derivadas definiendo la función f(x) como función anónima y aplicando la definición de derivada.

>> syms x h;
>> f=@(x) sin(x)
>> limit((f(x+h)-f(x))/h,h,0)
ans =cos(x)

Definimos la función anónima f(x) con cualquier expresión y podemos calcular su derivada.

Límites por la izquierda y por la derecha

$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{| x |} = - 1 \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{| x |} = 1$

>>syms x;
>> limit(x/abs(x),x,0,'left')
ans =-1
>> limit(x/abs(x),x,0,'right')
ans =1

Derivada de una función

La función diff calcula la derivada de una función respecto a una variable x. Por defecto, calcula la derivada primera, pero también puede calcular la derivada segunda, tercera, etc., indicándoselo en su segundo argumento.

>> syms x;
>> y=(sin(x))^2;
>> yp=diff(y)
yp =2*cos(x)*sin(x)
>> ypp=diff(yp)
ypp =2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2
>> diff(y,2)
ans =2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2

Derivadas parciales (respecto de una variable)

>> syms x y;
>> diff(x*sin(x*y),x)
ans =sin(x*y) + x*y*cos(x*y)
>> diff(x*sin(x*y),y)
ans =x^2*cos(x*y)

Comprobar que la función $y = A e^{- 2 x} \cos (3 x + b)$ es la solución de la ecuación diferencial que describe las oscilaciones amortiguadas, donde A y b son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales (posición inicial y velocidad inicial).

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} + 13 y = 0$

>> syms x A b;
>> y=A*exp(-2*x)*cos(3*x+b);
>> diff(y,2)+4*diff(y)+13*y
ans =0

Estudio de una función

Sea la función

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} - x - 6}$

La representamos gráficamente

>> syms x;
>> y=x^2/(x^2-x-6);
>> ezplot(y,[-10 10])

Puntos de corte con el eje X

Son las raíces de la ecuación

$\frac{x^{2}}{x^{2} - x - 6} = 0$

El único punto de corte es (0,0)

>> solve(y)
ans =
 0
 0

Asíntotas

La asíntota horizontal se calcula tomando el límite de f(x) cuando x se aproxima al infinito positivo

$\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} - x - 6} = 1$

>> limit(y,inf)
 ans =1

La asíntota horizontal es la recta de ecuación y=1

Las asíntotas verticales se encuentran buscando las raíces del denominador, es decir resolviendo la ecuación x²-x-6=0

>> solve(x^2-x-6)
ans =
  3
 -2

Las asíntotas verticales son las rectas de ecuación x=3, x=-2.

Máximos, mínimos y puntos de inflexión

Los extremos de un función se calculan haciendo la derivada de la función igual a cero.

$y' = \frac{2 x (x^{2} - x - 6) - x^{2} (2 x - 1)}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} = \frac{- x (x - 12)}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

>> yp=diff(y)
yp =- (2*x)/(- x^2 + x + 6) - (x^2*(2*x - 1))/(- x^2 + x + 6)^2
>> solve(yp)
ans =
   0
 -12

Para determinar si es un máximo o un mínimo, calculamos la derivada segunda y determinamos su signo para x=0 y x=-12.

$y'' = \frac{2 (7 x^{2} + 12 x + 36)}{{(x^{2} - x - 6)}^{3}}$

Para determinar los puntos de inflexión igualamos la derivada segunda a cero y obtenemos las raíces

>> ypp=diff(y,2)
ypp =
- 2/(- x^2 + x + 6) - (2*x^2)/(- x^2 + x + 6)^2 - (2*x^2*(2*x - 1)^2)...
/(- x^2 + x + 6)^3 - (4*x*(2*x - 1))/(- x^2 + x + 6)^2
>> simplify(ypp)
ans =18/(5*(x - 3)^3) - 8/(5*(x + 2)^3)
>> subs(ypp,x,0)
ans =   -0.3333
>> subs(ypp,x,-12)
ans =  5.3333e-004
>> solve(ypp) %puntos de inflexión 
ans =
 - 6/7 + (6*6^(1/2)*i)/7
 - 6/7 - (6*6^(1/2)*i)/7

Para x=0, y''<0 hay un máximo
Para x=-12, y''>0 hay un mínimo
La curva no tiene puntos de inflexión, la ecuación y''=0, no tiene raíces reales.

Creamos un script para dibujar la función, los ejes y las asóntotas.

syms x;
y=x^2/(x^2-x-6);
ezplot(y,[-15 10])
asint=limit(y,inf);
raices=roots([1,-1,-6]);
line([-15 10],[0 0]) %eje horizontal
line([0 0],[-5 10]) %eje vertical
line([-15 10],[asint asint], 'color','g') %asíntota horizontal
line(raices(1)*[1 1],[-5 10],'color','r') %asíntotas verticales
line(raices(2)*[1 1],[-5 10],'color','r')

Ejercicio

La ley de distribución de las velocidades moleculares de Maxwell es

$\begin{array}{l} f (v) = \sqrt{\frac{2}{π} {(\frac{m}{k T})}^{3}} v^{2} \exp (- \frac{m v^{2}}{2 k T}) \\ v_{m á x} = \sqrt{\frac{2 k T}{m}} \end{array}$

La expresión de v_max corresponde a la velocidad de las moléculas para la cual la función presenta un máximo y está directamente relacionada con la temperatura absoluta T.

Calcular la velocidad v_max de las moléculas para la cual la función presenta un máximo
Calcular el valor de esta velocidad para las moléculas de oxígeno: m=5.3·10^-26 kg, T=300 K, k=1.38·10^-23 J/K
Representar la función f(v) para las moléculas de oxígeno en el intervalo (0, 1500) m/s.

>> syms m v k T pi;
>> y=sqrt((2/pi)*(m/(k*T))^3)*v^2*exp(-m*v^2/(2*k*T));
>> yp=diff(y,v);
>> simplify(yp)
ans =(2^(1/2)*v*(2*T*k - m*v^2)*(m^3/(T^3*k^3))^(1/2))
/(pi^(1/2)*T*k*exp((m*v^2)/(2*T*k)))
>> vp=solve(yp)
vp =
                         0
  (2^(1/2)*(T*k*m)^(1/2))/m
 -(2^(1/2)*(T*k*m)^(1/2))/m
>> subs(vp(2),{m,k,T},{5.3e-26,300,1.38e-23})
ans =  395.2549
>> yy=subs(y,{m,k,T},{5.3e-26,300,1.38e-23})
>> ezplot(yy,[0 1500])
>> title('Velocidades de las moléculas')
>> xlabel('v')
>> ylabel ('y')
>> grid on

Ejemplos en el curso de Física

Límites

Derivada de una función

Estudio de una función

Ejercicio

Ejemplos en el curso de Física

Límites: limit

Derivadas: diff

Representación gráfica: ezplot