Límites, derivadas.

Límites

Calcular el límite

lim x1 ( x 2 +2x1 x 2 +1 )=1

Límites indeterminados de la forma 0/0 o ∞/∞. Regla de L'Hôpital

lim xa f(x) g(x) = lim xa f'(x) g'(x) lim x0 sin(ax) x = lim x0 acos(ax) 1 =a

Otras formas indeterminadas son 0·∞ y ∞-∞ que se transforman en 0/0 o ∞/∞.

Ejemplos:

lim x0 ( 1 sin 2 x 1 x 2 ) lim x ( 1+ a x ) x lim x0 ( cos(2x) ) 3/ x 2

>> sym x a;
>> y=(x^2+2*x-1)/(x^2+1);
>> limit(y,x,1)
ans =1
>> limit(sin(a*x)/x,x,0) % alternativamente, limit(sin(a*x)/x)
ans =a
>> limit((1+a/x)^x,x,inf) %alternativamente, limit((1+a/x)^x,inf)
ans =exp(a)
>> y=1/(sin(x)^2)-1/x^2;
>> limit(y,x,0) 
ans =1/3
>> y=cos(2*x)^(3/x^2);
>> limit(y,x,0)
ans =1/exp(6)

inf representa en MATLAB el infinito, x representa la variable respecto de la cual se calcula el límite. La función limit requiere tres parámetros pero asume valores por defecto, como puede probarse en los comentarios al código.

La derivada de una función f(x) es el límite

f'(x)= lim h0 f(x+h)f(x) h

La derivada de y=sin(x) es y'=cos(x)

>> syms x h;
>> limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0)
ans =cos(x)

De forma alternativa, podemos calcular las derivadas definiendo la función f(x) como función anónima y aplicando la definición de derivada.

>> syms x h;
>> f=@(x) sin(x)
>> limit((f(x+h)-f(x))/h,h,0)
ans =cos(x)

Definimos la función anónima f(x) con cualquier expresión y podemos calcular su derivada.

Límites por la izquierda y por la derecha

lim x 0 x | x | =1 lim x 0 + x | x | =1

>>syms x;
>> limit(x/abs(x),x,0,'left')
ans =-1
>> limit(x/abs(x),x,0,'right')
ans =1

Derivada de una función

La función diff calcula la derivada de una función respecto a una variable x. Por defecto, calcula la derivada primera, pero también puede calcular la derivada segunda, tercera, etc., indicándoselo en su segundo argumento.

>> syms x;
>> y=(sin(x))^2;
>> yp=diff(y)
yp =2*cos(x)*sin(x)
>> ypp=diff(yp)
ypp =2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2
>> diff(y,2)
ans =2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2

Derivadas parciales (respecto de una variable)

>> syms x y;
>> diff(x*sin(x*y),x)
ans =sin(x*y) + x*y*cos(x*y)
>> diff(x*sin(x*y),y)
ans =x^2*cos(x*y)

Comprobar que la función y=A e 2x cos(3x+b)  es la solución de la ecuación diferencial que describe las oscilaciones amortiguadas, donde A y b son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales (posición inicial y velocidad inicial).

d 2 y d x 2 +4 dy dx +13y=0

>> syms x A b;
>> y=A*exp(-2*x)*cos(3*x+b);
>> diff(y,2)+4*diff(y)+13*y
ans =0

Representación gráfica

ezplot('f(x)',[xmin xmax]) es similar a fplot, representa gráficamente una función f(x) en el intervalo especificado [xmin xmax].

Representamos la función

y= e 0.3x cos(4x)

en el intervalo [0 5π].

>> syms x;
>> ezplot('exp(-0.3*x)*cos(4*x)',[0 5*pi -1 1])

Paramétricas

Una función x(t), y(t) definida en términos de un parámetro t

 ezplot('sin(3*t)','sin(5*t+pi/2)',[0,2*pi])

Implícita

La función MATLAB ezplot puede representar también funciones implícitas f(x,y)=0

La siguiente función se estudia en la asignatura Energía Solar Fotovoltaica (tercer curso).

y=35· 10 12 ( exp( x+0.01y 0.025 )1 ) x+0.01y 1000

Donde x representa la diferencia de potencial e y la intensidad de la corriente eléctrica..

Representamos la función f(x,y) el intervalo [0,0.7] en el eje X y en el intervalo [0,3.1] en el eje Y

>> eq='3-5e-12*(exp((x+y*0.01)/0.025)-1)-(x+y*0.01)/1000-y';
>> hg=ezplot(eq,[0,0.7,0,3.1]);
>> set(hg,'color','r')
>> grid on
>> xlabel('d.d.p. V')
>> ylabel('Intensidad')
>> title('Fotovoltaica')

Ejercicio: representar la función x3+xy+y2-36=0 en el intervalo [-7,7] en el eje X y en el intervalo [-10,10] en el eje Y

Estudio de una función

Sea la función

y= x 2 x 2 x6

La representamos gráficamente

>> syms x;
>> y=x^2/(x^2-x-6);
>> ezplot(y,[-10 10])

Puntos de corte con el eje X

son las raíces de la ecuación

x 2 x 2 x6 =0

El único punto de corte es (0,0)

>> solve(y)
ans =
 0
 0

Asíntotas

La asíntota horizontal se calcula tomando el límite de f(x) cuando x se aproxima al infinito positivo

lim x+ x 2 x 2 x6 =1

>> limit(y,inf)
 ans =1

La asíntota horizontal es la recta de ecuación y=1

Las asíntotas verticales se encuentran buscando las raíces del denominador, es decir resolviendo la ecuación x2-x-6=0

>> solve(x^2-x-6)
ans =
  3
 -2

Las asíntotas verticales son las rectas de ecuación x=3, x=-2.

Máximos, mínimos y puntos de inflexión

Los extremos de un función se calculan haciendo la derivada de la función igual a cero.

y'= 2x( x 2 x6) x 2 (2x1) ( x 2 x6 ) 2 = x(x12) ( x 2 x6 ) 2

>> yp=diff(y)
yp =- (2*x)/(- x^2 + x + 6) - (x^2*(2*x - 1))/(- x^2 + x + 6)^2
>> solve(yp)
ans =
   0
 -12

Para determinar si es un máximo o un mínimo, calculamos la derivada segunda y determinamos su signo para x=0 y x=-12.

y''= 2(7 x 2 +12x+36) ( x 2 x6 ) 3

Para determinar los puntos de inflexión igualamos la derivada segunda a cero y obtenemos las raíces

>> ypp=diff(y,2)
ypp =
- 2/(- x^2 + x + 6) - (2*x^2)/(- x^2 + x + 6)^2 - (2*x^2*(2*x - 1)^2)...
/(- x^2 + x + 6)^3 - (4*x*(2*x - 1))/(- x^2 + x + 6)^2
>> simplify(ypp)
ans =18/(5*(x - 3)^3) - 8/(5*(x + 2)^3)
>> subs(ypp,x,0)
ans =   -0.3333
>> subs(ypp,x,-12)
ans =  5.3333e-004
>> solve(ypp) %puntos de inflexión 
ans =
 - 6/7 + (6*6^(1/2)*i)/7
 - 6/7 - (6*6^(1/2)*i)/7

Creamos un script para dibujar la función, los ejes y las asóntotas.

syms x;
y=x^2/(x^2-x-6);
z=x^2-x-6;
ezplot(y,[-15 10])
asint=limit(y,inf);
raices=solve(z);
line([-15 10],[0 0]) %eje horizontal
line([0 0],[-5 10]) %eje vertical
line([-15 10],[asint asint], 'color','g') %asíntota horizontal
line(raices(1)*[1 1],[-5 10],'color','r') %asíntotas verticales
line(raices(2)*[1 1],[-5 10],'color','r')

Ejercicio

La ley de distribución de las velocidades moleculares de Maxwell es

f(v)= 2 π ( m kT ) 3 v 2 exp( m v 2 2kT ) v máx = 2kT m

La expresión de vmax corresponde a la velocidad de las moléculas para la cual la función presenta un máximo y está directamente relacionada con la temperatura absoluta T.

>> syms m v k T pi;
>> y=sqrt((2/pi)*(m/(k*T))^3)*v^2*exp(-m*v^2/(2*k*T));
>> yp=diff(y,v);
>> simplify(yp)
ans =(2^(1/2)*v*(2*T*k - m*v^2)*(m^3/(T^3*k^3))^(1/2))
/(pi^(1/2)*T*k*exp((m*v^2)/(2*T*k)))
>> vp=solve(yp)
vp =
                         0
  (2^(1/2)*(T*k*m)^(1/2))/m
 -(2^(1/2)*(T*k*m)^(1/2))/m
>> subs(vp(2),{m,k,T},{5.3e-26,300,1.38e-23})
ans =  395.2549
>> yy=subs(y,{m,k,T},{5.3e-26,300,1.38e-23})
>> ezplot(yy,[0 1500])
>> title('Velocidades de las moléculas')
>> xlabel('v')
>> ylabel ('y')
>> grid on

Ejemplos en el curso de Física

Límites: limit

Movimiento de dos cuerpos bajo la fuerza de atracción mutua

El oscilador forzado. El estado transitorio y su evolución hacia el estado estacionario

Respuesta de un oscilador a una fuerza impulsiva (I)

Derivadas: diff

Errores en las medidas indirectas

Movimiento rectilíneo

Movimiento curvilíneo

El oscilador forzado. El estado estacionario

Movimiento de un pistón

Representación gráfica: ezplot

Movimiento sobre la cúpula semiesférica con rozamiento

Movimiento de dos cuerpos bajo la fuerza de atracción mutua

Oscilaciones amortiguadas

El oscilador forzado. El estado transitorio y su evolución hacia el estado estacionario

Movimiento de un pistón

Transformada de Laplace

Respuesta de un oscilador a una fuerza impulsiva (II)

Modos normales de vibración. Oscilaciones de tres partículas unidas por muelles elásticos

Oscilaciones forzadas en un sistema formado por partículas unidas por muelles. Fuerza periódica

Resonancias y antiresonancias. Oscilaciones forzadas en un sistema formado por partículas unidas por muelles

Oscilaciones forzadas en un sistema formado por partículas unidas por muelles. Fuerza no periódica

Se calienta un líquido periódicamente

Las leyes del enfriamiento y calentamiento

Descenso de un paracaidista. Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad

Un globo que asciende en la atmósfera