Sea la matriz cuadrada A de dimensión n

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \mathrm{...}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \mathrm{...}& a_{2n}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ a_{n1}& a_{n2}& \mathrm{...}& a_{nn}\end{array}\right)}$

Se denominan valores propios o raíces características de una matriz cuadrada A, a los valores de λ tales que.

${\displaystyle \det (A-\lambda I)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \mathrm{...}{a}_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \mathrm{...}{a}_{2n}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{nn}-\lambda \end{array}\right|=0}$

I es la matriz identidad, cuyos elementos son ceros, exceptode la diagonal principal que son unos.

Desarrollando el determinante tenemos un polinomio en λ de grado n. Las raíces del polinomio (valores propios) pueden ser distintas o repetidas. Para calcular los vectores propios tenemos que resolver el sistema homogéneo (A-λI)X=0, para cada una de las raíces λ₁....λ_n tal como vamos a ver en el ejercicio que viene a continuación.

Valores y vectores propios

Antes de utilizar la función eig, vamos a calcular paso a paso los valores y vectores propios de una matriz.

Valores propios distintos

Vamos a calcular los valores propios y vectores propios de la matriz

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 1\\ 2& -8& 2\\ 1& 2& 2\end{array}\right)}$

Estudiamos el sistema lineal homogéneo (A-λI)X=0 de tres ecuaciones con tres incógnitas

${\displaystyle \{\begin{array}{l}(2-\lambda )x-2y+z=0\\ 2x-(8+\lambda )y+2z=0\\ x+2y+(2-\lambda )z=0\end{array}}$

Igualamos a cero el determinante de la matriz A1 y calculamos las raíces de la ecuación cúbica en λ

${\displaystyle \begin{array}{l}A1=\left(\begin{array}{ccc}3-\lambda & 2& 0\\ -1& -\lambda & 0\\ 0& 0& 1-\lambda \end{array}\right)\\ \left|\begin{array}{ccc}3-\lambda & 2& 0\\ -1& -\lambda & 0\\ 0& 0& 1-\lambda \end{array}\right|=0\\ -{\lambda }^3-4{\lambda }^2+29\lambda -24=0\end{array}}$

Creamos la matriz A1=A-λI a partir de la matriz A y de la matriz identidad I. Calculamos su determinante det y lo igualamos a cero, para calcular mediante solve, las tres raíces de λ. Sustituimos en el código λ por la variable simbólica w.

>> syms w;
>> A=[2 -2 1;2 -8 2; 1 2 2];
>> A1=A-w*eye(3);
>> y=det(A1)
y =- w^3 - 4*w^2 + 29*w - 24
>> r=solve(y)
r =
  1
  3
 -8

Los valores propios son distintos

λ₁=1, λ₂=3 y λ₃=-8

• Para calcular el vector propio V₁ correspondiente al valor propio λ₁, sustituímos el valor de la variable λ en la matriz A1 y se la pasamos a la función rref de MATLAB

>> B=subs(A1,w,r(1))
B =
[ 1, -2, 1]
[ 2, -9, 2]
[ 1,  2, 1]
>> rref(B)
ans =
[ 1, 0, 1]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 0]

Tenemos el sistema equivalente al de tres ecuaciones homogéneas con tres incógnitas

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x+z=0\\ y=0\end{array}}$

El vector propio es (x, 0,-x) por ejemplo V₁=[1; 0; -1]

• Calculamos el vector propio V₂ correspondiente al valor propio λ₂

>> B=subs(A1,w,r(2))
B =
[ -1,  -2,  1]
[  2, -11,  2]
[  1,   2, -1]
>> rref(B)
ans =
[ 1, 0, -7/15]
[ 0, 1, -4/15]
[ 0, 0,     0]

Tenemos el sistema equivalente

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x-\frac{7}{15}z=0\\ y-\frac{4}{15}z=0\end{array}}$

El vector propio es V₂=[7; 4; 15]

• Calculamos el vector propio V₃ correspondiente al valor propio λ₃

>> B=subs(A1,w,r(3))
B = 
[ 10, -2,  1]
[  2,  0,  2]
[  1,  2, 10]
>> rref(B)
ans = 
[ 1, 0,   1]
[ 0, 1, 9/2]
[ 0, 0,   0]

Tenemos el sistema equivalente

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x+z=0\\ y+\frac{9}{2}z=0\end{array}}$

El vector propio es V₃=[2; 9;-2]

Los valores propios se colocan en la diagonal principal de la matriz D, y los vectores propios correspondientes se colocan como vectores columnas de la matriz V.

${\displaystyle \begin{array}{l}D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& -8\end{array}\right)\\ V=\left(\begin{array}{ccc}1& 7& 2\\ 0& 4& 9\\ -1& 15& -2\end{array}\right)\end{array}}$

Comprobamos que el resultado de V^-1·A·V es una matriz diagonal D formada por los valores propios

>> V=[1 7 2; 0 4 9; -1 15 -2];
>> D=inv(V)*A*V
D =
    1.0000   -0.0000   -0.0000
         0    3.0000         0
    0.0000         0   -8.0000

Valores propios iguales

Vamos a calcular los valores propios y vectores propios de la matriz

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)}$

Estudiamos el sistema lineal homogéneo (A-λI)X=0 de tres ecuaciones con tres incógnitas

${\displaystyle \{\begin{array}{l}(3-\lambda )x+2y=0\\ -x-\lambda y=0\\ (1-\lambda )z=0\end{array}}$

Igualamos a cero el determinante de la matriz A1 y calculamos las raíces de la ecuación cúbica en λ

${\displaystyle \begin{array}{l}A1=\left(\begin{array}{ccc}3-\lambda & 2& 0\\ -1& -\lambda & 0\\ 0& 0& 1-\lambda \end{array}\right)\\ \left|\begin{array}{ccc}3-\lambda & 2& 0\\ -1& -\lambda & 0\\ 0& 0& 1-\lambda \end{array}\right|=0\\ -{\lambda }^3+4{\lambda }^2-5\lambda +2=0\end{array}}$

>> syms w;
>> A=[3 2 0;-1 0 0; 0 0 1];
>> A1=A-w*eye(3)
A1 =
[ 3 - w,  2,     0]
[    -1, -w,     0]
[     0,  0, 1 - w]
>> y=det(A1)
y =- w^3 + 4*w^2 - 5*w + 2
>> r=solve(y)
r =
 1
 1
 2

Dos valores propios son iguales

λ₁=1, λ₂=1 y λ₃=2

• Calculamos los vectores propios V₁ y V₂ correspondientes al valor propio doble λ₁=1

>> B=subs(A1,w,r(1))
B = 
[  2,  2, 0]
[ -1, -1, 0]
[  0,  0, 0]
>> rref(B)
ans =
[ 1, 1, 0]
[ 0, 0, 0]
[ 0, 0, 0]

Tenemos el sistema equivalente

${\displaystyle \{x+y=0}$

Los vectores propios correspondientes al vector propio λ₁=1, tienen la forma (-y,y,z). Dos de ellos podrían ser V₁=[-1; 1; 0] y V₂=[0; 0;1].

• Calculamos el vector propio V₃ correspondiente al valor propio λ₃

>> B=subs(A1,w,r(3))
B =
[  1,  2,  0]
[ -1, -2,  0]
[  0,  0, -1]
>> rref(B)
ans =
[ 1, 2, 0]
[ 0, 0, 1]
[ 0, 0, 0]

Tenemos el sistema equivalente

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x+2y=0\\ z=0\end{array}}$

El vector propio es de la forma (-2y, y, 0), por ejemplo V₃=[-2; 1; 0]

Los valores propios se colocan en la diagonal principal de la matriz D, y los vectores propios correspondientes se colocan como vectores columnas de la matriz V.

${\displaystyle \begin{array}{l}D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\\ V=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& -2\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\end{array}}$

Comprobamos que el resultado de V^-1·A·V es una matriz diagonal D formada por los valores propios

>> V=[-1 0 -2; 1 0 1; 0 1 0];
>> D=inv(V)*A*V
D =
     1     0     0
     0     1     0
     0     0     2

Teorema de Caley-Hamilton.

Toda matriz verifica su ecuación característica

${\displaystyle \begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 1\\ 2& 4& 2\\ 2& 4& 8\end{array}\right)\\ -{\lambda }^3+16{\lambda }^2-66\lambda +72=0\\ -A^3+16A^2-66A+72I=0\end{array}}$

>> A=[4 2 1; 2 4 2; 2 4 8];
>> -A^3+16*A^2-66*A+72*eye(3)
ans =
     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0
>> p=poly(A)
p =    1.0000  -16.0000   66.0000  -72.0000
>> polyvalm(p,A)
ans =
  1.0e-012 *
    0.0142    0.0284    0.0568
    0.0284    0.0568    0.0711
    0.1137    0.1421    0.1563

Cuando se le pasa una matiz cuadrada A a la función poly, devuelve los coeficientes de su ecuación característica. La función polyvalm es similar a polyval, pero con matrices en vez de con números, realiza las operaciones con la matriz A que se indican en la segunda línea, con lo que se confirma que la matriz A verifica su ecuación característica.

La función eig

MATLAB dispone de la función [V D]=eig(A), que calcula los valores y vectores propios y que hemos aplicado en la página Valores y Vectores propios

La matriz V contiene los vectores propios en columnas, y la matriz diagonal D contiene los valores propios correspondientes en la diagonal principal. Se puede verificar que D=V^-1·A·V

1.-Hallar los valores propios y vectores propios de la matriz

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}3& 2& -2\\ -3& -1& 3\\ 1& 2& 0\end{array}\right)}$

>> A=[3 2 -2; -3 -1 3; 1 2 0];
>> [V D]=eig(A)
V =
    0.5774   -0.7071   -0.0000
   -0.5774    0.0000    0.7071
    0.5774   -0.7071    0.7071
D =
   -1.0000         0         0
         0    1.0000         0
         0         0    2.0000
>> inv(V)*A*V
ans =
   -1.0000         0    0.0000
    0.0000    1.0000         0
    0.0000         0    2.0000

Los valores propios son λ₁=-1, λ₂=1, λ₃=2,

Los vectores propios son los vectores columna de la matriz V correspondientes a cada valor propio

• Para λ₁=-1, V₁=[0.5774;-0.5774;0.5774] o bien V₁=[1;-1;1]
• Para λ₂=1, V₂=[-0.7071;0.0000;-0.7071] o bien V₂=[-1;0;-1]
• Para λ₃=2, V₃=[-0.0000;0.7071;0.7071] o bien V₃=[0;1;1]

${\displaystyle V=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 0& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)}$

Comprobamos que D=V^-1AV

2.-Hallar los valores propios y vectores propios de la matriz

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& -2& 0\\ 1& -2& 5& 0\\ 0& 0& 0& 6\end{array}\right)}$

>> A=[1 0 1 0; 0 1 -2 0; 1 -2 5 0; 0 0 0 6];
>> [V D]=eig(A)
V =
   -0.4082    0.8944    0.1826         0
    0.8165    0.4472   -0.3651         0
    0.4082         0    0.9129         0
         0         0         0    1.0000
D =
   -0.0000         0         0         0
         0    1.0000         0         0
         0         0    6.0000         0
         0         0         0    6.0000

Los valores propios son λ₁=0, λ₂=1, λ₃=6, λ₄=6

Los vectores propios son los vectores columna de la matriz V correspondientes a cada valor propio

• Para λ₁=0, V₁=[-0.4082;0.8165;0.4082;0] o bien V₁=[-1;2;1;0]
• Para λ₂=1, V₂=[0.8944;0.4472;0;0] o bien V₂=[2;1;0;0]
• Para λ₃=6, V₃=[0.1826; -03651; 0.9129; 0] o bien V₃=[1;-2;5;0]

Aunque el valor propio λ₄=6 es doble, la función eig de MATLAB determina correctamente los vectores propios linealmente independientes. La matriz V de la vectores propios es

${\displaystyle V=\left(\begin{array}{cccc}-1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -2& 0\\ 1& 0& 5& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)}$

3.-Hallar los valores propios y vectores propios de la matriz

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 1\\ 2& 4& 2\\ 2& 4& 8\end{array}\right)}$

>> A=sym('[4 2 1; 2 4 2; 2 4 8]');
>> [V D]=eig(A)
V =
[ 2^(1/2)/2 + 1, 1 - 2^(1/2)/2,   -1]
[ - 2^(1/2) - 1,   2^(1/2) - 1, -1/2]
[             1,             1,    1]

D =
[ 6 - 3*2^(1/2),             0, 0]
[             0, 3*2^(1/2) + 6, 0]
[             0,             0, 4]

La matriz diagonal D de los valores propios es

${\displaystyle D=\left(\begin{array}{ccc}6-3\sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 6+3\sqrt{2}& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)}$

La matriz V de los vectores propios es

${\displaystyle V=\left(\begin{array}{ccc}1+\frac{\sqrt{2}}{2}& 1-\frac{\sqrt{2}}{2}& -1\\ -1-\sqrt{2}& -1+\sqrt{2}& -\frac{1}{2}\\ 1& 1& 1\end{array}\right)}$

Diagonalización

Una matriz A se dice que es diagonal si los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son todos nulos.

Para que una matriz A sea diagonalizable es preciso que el rango de la matriz R obtenida sustituyendo en R=A-λ_iI el valor de λ_i considerado sea igual a n-k_i siendo n la dimensión de la matriz A y k_i el orden de multiplicidad del valor propio λ_i.I se denomina matriz identidad, una matriz diagonal cuyos elementos valen 1.

Estudiar para qué valores de a y b la matriz A es digonalizable

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& -1& b\\ 3& 0& a\end{array}\right)}$

>> syms a b;
>> A=[5 0 0; 0 -1 b; 3 0 a];
>> [V D]=eig(A)
V =
[ 0, 5/3 - a/3,         0]
[ 1,       b/6, b/(a + 1)]
[ 0,         1,         1]
D =
[ -1, 0, 0]
[  0, 5, 0]
[  0, 0, a]

Los valores propios son λ₁=-1, λ₂=5, λ₃=a

1.-Si a≠5 y a≠-1 los valores popios son diferentes y la matriz es diagonalizable. Los vectores propios serían

• Para λ₁=-1, V₁=[0; 1;0]
• Para λ₂=5, V₂=[(5-a)/3; b/6; 1] o bien V₂=[10-2a; b; 6]
• Para λ₃=a, V₃=[0; b/(a+1); 1] o bien V₃=[0; b; a+1]

${\displaystyle V=\left(\begin{array}{ccc}0& 10-2a& 0\\ 1& b& b\\ 0& 6& a+1\end{array}\right)}$

2.-Si a=5

Los valores propios son λ₁=-1, λ₂=5, λ₃=5, uno de ellos se repite

Calculamos el rango de la matriz R=A-λI, con λ=5, y debería dar 3-2=1 para que la matriz fuera diagonalizable, donde n=3 es la dimensión de la matriz A y k=2 es el grado de multiplicidad del valor propio considerado λ=5,

>> A1=subs(A,a,5)
A1 =
[ 5,  0, 0]
[ 0, -1, b]
[ 3,  0, 5]
>> R=A1-5*eye(3)
R =
[ 0,  0, 0]
[ 0, -6, b]
[ 3,  0, 0]
>> rank(R)
ans =2

Cualquiera que sea el valor de b, el rango de la matriz R=A-λI, con λ=5 es dos, y por tanto la matriz A no es diagonalizable para a=5.

3.-Si a=-1

Los valores propios son λ₁=-1, λ₂=-1, λ₃=5, uno de ellos se repite

Calculamos el rango de la matriz R=A-λI, con λ=-1, y debería dar 3-2=1 para que la matriz fuera diagonalizable, donde n=3 es la dimensión de la matriz A y k=2 es el grado de multiplicidad del valor propio considerado λ=-1,

>> A1=subs(A,a,-1);
>> R=A1+eye(3)
R =
[ 6, 0, 0]
[ 0, 0, b]
[ 3, 0, 0]
>> rank(R)
ans =2
>> R1=subs(R,b,0)
R1 =
     6     0     0
     0     0     0
     3     0     0
>> rank(R1)
ans =     1

• Si b≠0 entonces el rango de la matriz R es 2, y la matriz A no es diagonalizable, la misma situación que con a=5.
• Si b=0, el rango de la matriz R es uno y por tanto la matriz A es diagonalizable.

Ejemplos en el curso de Física

Dos osciladores acoplados

Modos normales de vibración (I)

Modos normales de vibración (II)

Oscilaciones forzadas en un sistema formado por partículas unidas por muelles. Fuerza periódica

Resonancias y antiresonancias. Oscilaciones forzadas en un sistema formado por partículas unidas por muelles

Oscilaciones forzadas en un sistema formado por partículas unidas por muelles. Fuerza periódica

Oscilaciones forzadas en un sistema formado por partículas unidas por muelles. Fuerza no periódica

Referencias

Alberto Luzárraga. Problemas resueltos. Algebra lineal (1970)