Ecuaciones y sistemas
Ecuaciones
>> syms x; >> solve(x^2+x/6-1/3) ans = 1/2 -2/3
Por defecto,
Una forma equivalente de hacer lo mismo es la siguiente:
>> eq='x^2+x/6-1/3=0'; >> solve(eq) ans = 1/2 -2/3
Vamos a resolver la conocida ecuación de segundo grado
>> syms a b c x; >> eq='a*x^2+b*x+c=0'; >> solve(eq,x) ans = -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a) -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
Hemos añadido un segundo argumento a solve para indicarle que deberá resolver la ecuación de segundo grado respecto de la variable simbólica
Resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
>> syms x y; >> eq1='3*x+2*y=-1'; >> eq2='x-y=2'; >> [x1 y1]=solve(eq1,eq2,x,y) x1 =3/5 y1 =-7/5
Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
>> syms x y; >> eq1='x^2+y^2=2'; >> eq2='x+y=1'; >> [x1 y1]=solve(eq1,eq2) x1 = 3^(1/2)/2 + 1/2 1/2 - 3^(1/2)/2 y1 = 1/2 - 3^(1/2)/2 3^(1/2)/2 + 1/2
Números complejos
Escribir en forma polar el número complejo.
>> z=sym('-sqrt(3)-i'); >> modulo=abs(z) modulo =2 >> angulo=atan(imag(z)/real(z))+pi angulo =(7*pi)/6 >> z=2*(cos(angulo)+i*sin(angulo)) z =- 3^(1/2) - i
Nota: las funciones
Calcular el cubo de
>> z1=z^3 z1 =-(3^(1/2) + i)^3 >> expand(z1) ans =-8*i >> modulo^3*(cos(3*angulo)+i*sin(3*angulo)) %fórmula de Moivre ans =-8*i
Calcular la raíz cuarta de
>> eq='z^4=1+i'; >> w=solve(eq) w = 2^(1/8)*cos(pi/16) + 2^(1/8)*sin(pi/16)*i 2^(1/8)*sin(pi/16) - 2^(1/8)*cos(pi/16)*i - 2^(1/8)*sin(pi/16) + 2^(1/8)*cos(pi/16)*i - 2^(1/8)*cos(pi/16) - 2^(1/8)*sin(pi/16)*i >> double(w) w = 1.0696 + 0.2127i 0.2127 - 1.0696i -0.2127 + 1.0696i -1.0696 - 0.2127i
Obtener las raíces de la ecuación z2+(1-i)z-3i=0 empleando las funciones
>> eq='z^2+(1-i)*z-3*i=0'; >> w=solve(eq) w = (10*i)^(1/2)/2 - 1/2 + i/2 - (10*i)^(1/2)/2 - 1/2 + i/2 >> double(w) ans = 0.6180 + 1.6180i -1.6180 - 0.6180i >> p=[1,(1-i),-3*i]; %coeficientes del polinomio >> roots(p) ans = 0.6180 + 1.6180i -1.6180 - 0.6180i
Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos
Resolución de un sistema de ecuaciones lineales
Un sistema lineal de ecuaciones se puede resolver con el operador división por la izquierda Hemos establecido los criterios que determinan si un sistema es compatible (determinado, indeterminado) o incompatible. En esta sección vamos a clasificar el sistema
según los valores de un parámetro a y calcular las soluciones para los valores de a que hacen el sistema compatible.
Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes
>> syms a; >> A=[a 1 1; 1 a 1; 1 1 a]; >> b=[a; a^2; a^3]; >> Ab=[A b] >> deter=det(A) deter =a^3 - 3*a + 2 >> solve(deter) ans = 1 1 -2 >> factor(deter) ans =(a + 2)*(a - 1)^2
El determinante de la matriz se hace cero para a=-2 y a=1, resolviendo la ecuación a3-3a+2=0, mediante
Estudiemos el sistema para los distintos casos:
- Para a=-2
Obtenemos una matriz
Obtenemos una matriz
>> A_p=subs(A,a,-2) A_p = -2 1 1 1 -2 1 1 1 -2 >> rank(A_p) ans = 2 >> Ab_p=subs(Ab,a,-2) Ab_p = -2 1 1 -2 1 -2 1 4 1 1 -2 -8 >> rank(Abp) ans = 3
El sistema es incompatible
- Para a=1
Obtenemos una matriz
Obtenemos una matriz
>> A_p=subs(A,a,1) A_p = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >> rank(A_p) ans = 1 >> Ab_p=subs(Ab,a,1) Ab_p = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >> rank(Ab_p) ans = 1
El sistema es compatible pero indeterminado, ya que el rango, 1 es menor que el número de incógnitas, 3. El sistema es equivalente a una única ecuación x+y+z=1.
- Para a≠-2, a≠1
>> x=A\b x = -(a^2 + a)/(a + 2) a/(a + 2) (a^3 + 2*a^2 + a)/(a + 2) >> factor(x(1)) ans =-(a*(a + 1))/(a + 2) >> factor(x(3)) ans =(a*(a + 1)^2)/(a + 2)
Las solución para este caso es
Para a =0 el sistema es homogéneo y tiene la solución trivial [0;0;0]
Sistema de ecuaciones lineales homogéneo
Estudiar según los valores de w el siguiente sistema
Hacemos el determinante de los coeficientes igual a cero y despejamos w.
Para w≠5 la única solución es la trivial x=0, y=0, z=0.
Para w=5 tomamos las dos primeras ecuaciones y calculamos y y z en términos de x.
En forma matricial
La solución de este sistema es y=x/2, z=3x/2
>> syms w x; >> A=[6 18 -2*w; 7 -2 -4;4 10 -6]; >> w1=solve(det(A),w) w1 =5 >> B=A(1:end-1,2:end) B = [ 18, -2*w] [ -2, -4] >> b=-A(1:end-1,1)*x b = -6*x -7*x >> B1=subs(B,w,w1); >> X=B1\b X = x/2 (3*x)/2
Como apreciamos la matriz
Vectores linealmente dependientes
Sean los vectores x1,x2,x3...xn. Si encontamos constantes c1,c2,c3...cn que al menos dos sean no nulas se denominan linealmente dependientes.
Si los vectores x1,x2,x3...xn son linealmente independientes, el determinate de la matriz X de dimensión n formada por los vectores columna x1,x2,x3...xn es distinta de cero.
>> x1=[1;-3;5]; >> x2=[-2;1;4]; >> x3=[6;-2;1]; >> X=[x1 x2 x3]; >> det(X) ans = -79
Los vectores x1,x2 y x3 son linealmente independientes.
>> syms c1; >> x1=sym('[1;-1;3]'); >> x2=sym('[-4;1;-6]'); >> x3=sym('[2;-1;4]'); >> X=[x1 x2 x3]; >> det(X) ans =0
Los vectores x1,x2 y x3 son linealmente dependientes. Ahora vamos a calcular la relación entre estos vectores, los valores de las constantes c1,c2,c3. Tenemos que resolver el sistema homogéneo
Tomamos las dos primeras ecuaciones, calculamos c2, c3 en función de c1.
>> B=X(1:end-1,2:end); >> b=-X(1:end-1,1)*c1; >> C=B\b C = -c1/2 -(3*c1)/2
Ejemplos en el curso de Física
Raíces de ecuaciones: solve
Movimiento de caída de los cuerpos
Las leyes del enfriamiento y calentamiento
Oscilaciones de un imán colgado de un muelle amortiguadas por una bobina
Oscilaciones de un imán colgado de un muelle
Sistema de ecuaciones: solve
Apuntar un cañón para dar en el blanco
La ley de distribución de las velocidades moleculares