Ecuaciones y sistemas

Ecuaciones

solve, resuelve una ecuación o un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, para calcular las raíces de la ecuación

x 2 + x 6 1 3 =0

>> syms x;
>> solve(x^2+x/6-1/3) 
ans =
  1/2
 -2/3

Por defecto, solve iguala la expresión simbólica a cero

Una forma equivalente de hacer lo mismo es la siguiente:

>> eq='x^2+x/6-1/3=0';
>> solve(eq)
ans =
  1/2
 -2/3

Vamos a resolver la conocida ecuación de segundo grado

a x 2 +bx+c=0 x 1,2 = b± b 2 4ac 2a

>> syms a b c x;
>> eq='a*x^2+b*x+c=0';
>> solve(eq,x)
ans =
 -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
 -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a) 

Hemos añadido un segundo argumento a solve para indicarle que deberá resolver la ecuación de segundo grado respecto de la variable simbólica x, que previamente hemos declarado con syms.

Resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

{ 3x+2y=1 xy=2

>> syms x y;
>> eq1='3*x+2*y=-1';
>> eq2='x-y=2';
>> [x1 y1]=solve(eq1,eq2,x,y)
x1 =3/5
y1 =-7/5

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

{ x 2 + y 2 =2 x+y=1 x 1,2 = 1± 3 2 y 1,2 = 1 3 2

>> syms x y;
>> eq1='x^2+y^2=2';
>> eq2='x+y=1';
>> [x1 y1]=solve(eq1,eq2)
x1 =
 3^(1/2)/2 + 1/2
 1/2 - 3^(1/2)/2
y1 =
 1/2 - 3^(1/2)/2
 3^(1/2)/2 + 1/2

Números complejos

Escribir en forma polar el número complejo.

z= 3 i

>> z=sym('-sqrt(3)-i');
>> modulo=abs(z)
modulo =2
>> angulo=atan(imag(z)/real(z))+pi
angulo =(7*pi)/6
>> z=2*(cos(angulo)+i*sin(angulo))
z =- 3^(1/2) - i

Nota: las funciones angle y atan2, no funcionan con variables simbólicas

Calcular el cubo de z, y comprobarlo utilizando la fórmula de Moivre

>> z1=z^3 
z1 =-(3^(1/2) + i)^3
>> expand(z1)
ans =-8*i
>> modulo^3*(cos(3*angulo)+i*sin(3*angulo)) %fórmula de Moivre
ans =-8*i

Calcular la raíz cuarta de z=1+i

>> eq='z^4=1+i';
>> w=solve(eq)
w =
   2^(1/8)*cos(pi/16) + 2^(1/8)*sin(pi/16)*i
   2^(1/8)*sin(pi/16) - 2^(1/8)*cos(pi/16)*i
 - 2^(1/8)*sin(pi/16) + 2^(1/8)*cos(pi/16)*i
 - 2^(1/8)*cos(pi/16) - 2^(1/8)*sin(pi/16)*i
>> double(w)
w =
   1.0696 + 0.2127i
   0.2127 - 1.0696i
  -0.2127 + 1.0696i
  -1.0696 - 0.2127i

Obtener las raíces de la ecuación z2+(1-i)z-3i=0 empleando las funciones solve y roots

>> eq='z^2+(1-i)*z-3*i=0';
>> w=solve(eq)
w =
   (10*i)^(1/2)/2 - 1/2 + i/2
 - (10*i)^(1/2)/2 - 1/2 + i/2
>> double(w)
ans =
   0.6180 + 1.6180i
  -1.6180 - 0.6180i
>> p=[1,(1-i),-3*i]; %coeficientes del polinomio
>> roots(p)
ans =
   0.6180 + 1.6180i
  -1.6180 - 0.6180i

Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos

z 1 = 1 2 ( 5 1 )+ 1 2 ( 5 +1 )i z 2 = 1 2 ( 5 +1 ) 1 2 ( 5 1 )i

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales

Un sistema lineal de ecuaciones se puede resolver con el operador división por la izquierda Hemos establecido los criterios que determinan si un sistema es compatible (determinado, indeterminado) o incompatible. En esta sección vamos a clasificar el sistema

{ ax+y+z=a x+ay+z= a 2 x+y+az= a 3

según los valores de un parámetro a y calcular las soluciones para los valores de a que hacen el sistema compatible.

Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes A

A=( a 1 1 1 a 1 1 1 a )b=( a a 2 a 3 ) Ab=( a 1 1 a 1 a 1 a 2 1 1 a a 3 )

>> syms a;
>> A=[a 1 1; 1 a 1; 1 1 a];
>> b=[a; a^2; a^3];
>> Ab=[A b]
>> deter=det(A)
deter =a^3 - 3*a + 2
>> solve(deter)
ans =
  1
  1
 -2
 >> factor(deter)
ans =(a + 2)*(a - 1)^2

El determinante de la matriz se hace cero para a=-2 y a=1, resolviendo la ecuación a3-3a+2=0, mediante solve o bien, transformando el polinomio en producto de factores mediante la función factor.

Estudiemos el sistema para los distintos casos:

  1. Para a=-2
  2. Obtenemos una matriz A_p que guarda el valor de los elementos de la matriz A para a=-2, calculamos el rango de A_p mediante rank.

    Obtenemos una matriz Ab_p que guarda el valor de los elementos de la matriz ampliada Ab para a=-2, calculamos el rango de Ab_p mediante rank.

    >> A_p=subs(A,a,-2)
    A_p =
        -2     1     1
         1    -2     1
         1     1    -2
    >> rank(A_p)
    ans =     2
    >> Ab_p=subs(Ab,a,-2)
    Ab_p =
        -2     1     1    -2
         1    -2     1     4
         1     1    -2    -8
    >> rank(Abp)
    ans =     3

    El sistema es incompatible

  1. Para a=1
  2. Obtenemos una matriz A_p que guarda el valor de los elementos de la matriz A para a=1, calculamos el rango de A_p mediante rank.

    Obtenemos una matriz Ab_p que guarda el valor de los elementos de la matriz ampliada Ab para a=1, calculamos el rango de Ab_p mediante rank.

    >> A_p=subs(A,a,1)
    A_p =
         1     1     1
         1     1     1
         1     1     1
    >> rank(A_p)
    ans =     1
    >> Ab_p=subs(Ab,a,1)
    Ab_p =
         1     1     1     1
         1     1     1     1
         1     1     1     1
    >> rank(Ab_p)
    ans =     1

    El sistema es compatible pero indeterminado, ya que el rango, 1 es menor que el número de incógnitas, 3. El sistema es equivalente a una única ecuación x+y+z=1.

  1. Para a≠-2, a≠1
  2. >> x=A\b
    x =
            -(a^2 + a)/(a + 2)
                     a/(a + 2)
     (a^3 + 2*a^2 + a)/(a + 2)
    >> factor(x(1))
    ans =-(a*(a + 1))/(a + 2)
    >> factor(x(3))
    ans =(a*(a + 1)^2)/(a + 2) 

    Las solución para este caso es

    x= a(a+1) a+2 y= a a+2 z= a (a+1) 2 a+2

    Para a =0 el sistema es homogéneo y tiene la solución trivial [0;0;0]

Sistema de ecuaciones lineales homogéneo

Estudiar según los valores de w el siguiente sistema

{ 6x+18y2wz=0 7x2y4z=0 4x+10y6z=0

Hacemos el determinante de los coeficientes igual a cero y despejamos w.

| 6 18 2w 7 2 4 4 10 6 |=0 w=5

Para w≠5 la única solución es la trivial x=0, y=0, z=0.

Para w=5 tomamos las dos primeras ecuaciones y calculamos y y z en términos de x.

{ 18y2wz=6x 2y4z=7x

En forma matricial

( 18 2w 2 4 )( y z )=( 6x 7x )

La solución de este sistema es y=x/2, z=3x/2

>> syms w x;
>> A=[6 18 -2*w; 7 -2 -4;4 10 -6];
>> w1=solve(det(A),w)
w1 =5
>> B=A(1:end-1,2:end)
B =
[ 18, -2*w]
[ -2,  -4]
>> b=-A(1:end-1,1)*x
b = 
 -6*x
 -7*x
>> B1=subs(B,w,w1);
>> X=B1\b
X =
     x/2
 (3*x)/2 

Como apreciamos la matriz B es una submatriz de A, que va de la fila 1 a la 2 ambas inclusive y de la columna 2 a la 3. El vector b es primer vector columna de A, cambiado de signo, multiplicado por x y sin el último elemento.

Vectores linealmente dependientes

Sean los vectores x1,x2,x3...xn. Si encontamos constantes c1,c2,c3...cn que al menos dos sean no nulas se denominan linealmente dependientes.

c 1 x 1 + c 2 x 2 +...+ c n x n =0

Si los vectores x1,x2,x3...xn son linealmente independientes, el determinate de la matriz X de dimensión n formada por los vectores columna x1,x2,x3...xn es distinta de cero.

>> x1=[1;-3;5];
>> x2=[-2;1;4];
>> x3=[6;-2;1];
>> X=[x1 x2 x3];
>> det(X)
ans =   -79

Los vectores x1,x2 y x3 son linealmente independientes.

>> syms c1;
>> x1=sym('[1;-1;3]');
>> x2=sym('[-4;1;-6]');
>> x3=sym('[2;-1;4]');
>> X=[x1 x2 x3];
>> det(X)
ans =0

Los vectores x1,x2 y x3 son linealmente dependientes. Ahora vamos a calcular la relación entre estos vectores, los valores de las constantes c1,c2,c3. Tenemos que resolver el sistema homogéneo

c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 =0 { c 1 4 c 2 +2 c 3 =0 c 1 + c 2 c 3 =0 3 c 1 6 c 2 +4 c 3 =0

Tomamos las dos primeras ecuaciones, calculamos c2, c3 en función de c1.

{ 4 c 2 +2 c 3 = c 1 c 2 c 3 = c 1

>> B=X(1:end-1,2:end);
>> b=-X(1:end-1,1)*c1;
>> C=B\b
C =
     -c1/2
 -(3*c1)/2 

1 x 1 1 2 c 1 x 2 3 2 c 1 x 3 =0 2 x 1 x 2 3 x 3 =0

Ejemplos en el curso de Física

Raíces de ecuaciones: solve

Movimiento de caída de los cuerpos

Tiro parabólico

Rozamiento en el bucle

Las leyes del enfriamiento y calentamiento

Oscilaciones de un imán colgado de un muelle amortiguadas por una bobina

Oscilaciones de un imán colgado de un muelle

Sistema de ecuaciones: solve

Apuntar un cañón para dar en el blanco

Movimiento de un pistón

Resonancias y antiresonancias. Oscilaciones forzadas en un sistema formado por partículas unidas por muelles

La ley de distribución de las velocidades moleculares

Sistema de ecuaciones lineales, operador '\'

Transformada de Laplace

Fracciones algebraicas: residue

Las leyes del enfriamiento y calentamiento