Las secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola) es el resultado de la intersección de una superficie cónica y un plano

Circunferencia

%superficie cónica
theta=pi/4;
r=linspace(-1,1,40);
phi=linspace(0,2*pi,30);
[r,phi]=meshgrid(r,phi);
x=r.*cos(phi)*sin(theta);
y=r.*sin(phi)*sin(theta);
z=r*cos(theta);
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.8,0.6])

%plano horizontal
[x,y]=meshgrid(-1:0.2:1);
z=0.5*ones(size(x));
hold on
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0,0,0.8])
axis equal
view(120,40)
hold off
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
title('Secciones cónicas')

Elipse

%superficie cónica
theta=pi/4;
r=linspace(-1,1,40);
phi=linspace(0,2*pi,30);
[r,phi]=meshgrid(r,phi);
x=r.*cos(phi)*sin(theta);
y=r.*sin(phi)*sin(theta);
z=r*cos(theta);
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.8,0.6])

%plano inclinado
[x,y]=meshgrid(-1:0.2:1);
z=0.5*y+0.35; % probar, z=y+0.35; 
hold on
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0,0,0.8])
axis equal
view(25,40)
hold off
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
title('Secciones cónicas')

Parábola

%superficie cónica
theta=pi/4;
r=linspace(-1,1,40);
phi=linspace(0,2*pi,30);
[r,phi]=meshgrid(r,phi);
x=r.*cos(phi)*sin(theta);
y=r.*sin(phi)*sin(theta);
z=r*cos(theta);
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.8,0.6])

%plano inclinado
[x,y]=meshgrid(-1:0.2:1);
z=y+0.35; %z=0.5*y+0.35;
hold on
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0,0,0.8])
axis equal
view(25,40)
hold off
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
title('Secciones cónicas')

Hipérbola

%superficie cónica
theta=pi/4;
r=linspace(-1,1,40);
phi=linspace(0,2*pi,30);
[r,phi]=meshgrid(r,phi);
x=r.*cos(phi)*sin(theta);
y=r.*sin(phi)*sin(theta);
z=r*cos(theta);
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.8,0.6])

%plano vertical
[y,z]=meshgrid(-1:0.2:1);
x=0.3*ones(size(y));
hold on
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0,0,0.8])
axis equal
view(25,10)
hold off
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
title('Secciones cónicas')

La parábola

Esta parábola es un conjunto de puntos P(x,y) del plano que son equidistantes de un punto fijo F(0,p) denominado foco y de una línea fija, paralela al eje x, y=-p, denominada directriz

La distancia entre el punto P y el foco F es

${\displaystyle \left|PF\right|=\sqrt{x^2+{\left(y-p\right)}^2}}$

La distancia entre el punto P y la directriz es y+p. La figura muestra el caso en el que p>0

Ecuación de la parábola

${\displaystyle \begin{array}{l}\left|y+p\right|=\sqrt{x^2+{\left(y-p\right)}^2}\\ {\left(y+p\right)}^2=x^2+{\left(y-p\right)}^2\\ x^2=4pyp>0\end{array}}$

Esta parábola es un conjunto de puntos P(x,y) del plano que son equidistantes de un punto fijo F(0,p) denominado foco y de una línea fija, paralela al eje y, x=-p, denominada directriz

La ecuación de la parábola es

${\displaystyle \begin{array}{l}\left|x+p\right|=\sqrt{{\left(x-p\right)}^2+y^2}\\ {\left(x+p\right)}^2={\left(x-p\right)}^2+y^2\\ y^2=4pxp>0\end{array}}$

Representamos la parábola y²=10x. El parámetro p=10/4=5/2. El foco está en el punto F(5/2,0) y la directriz es la recta x=-5/2

f=@(x) sqrt(10*x);
g=@(x) -f(x);
hold on
fplot(f,[0,3],'r')
fplot(g,[-0,3],'r')
plot(5/2,0,'bo','markersize',3,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b')
line([-5/2,-5/2],[-5,5], 'color','b') %directriz
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('parábola')

Tangente a la parábola

Calculamos la ecuación de la recta tangente a la parábola y²=4px en el punto (x₁, y₁)

La pendiente m de la recta tangente es

${\displaystyle \begin{array}{l}2y\frac{dy}{dx}=4p\\ {m=\frac{dy}{dx}|}_{x_1}=\frac{2p}{y_1}\end{array}}$

La recta de pendiente m pasa por el punto (x₁, y₁)

${\displaystyle \begin{array}{l}y=mx+b\\ y=m\left(x-x_1\right)+y_1\\ y=\frac{2p}{y_1}\left(x-x_1\right)+y_1\\ y{y}_1=2p\left(x+x_1\right)\end{array}}$

Corta al eje X en el punto (-x₁,0)

p=0.5;
f=@(x) 2*sqrt(p*x);
hold on
fplot(f,[0,3], 'r')
x1=1; y1=f(x1);
m=2*p/y1;
g=@(x) m*(x-x1)+y1;
fplot(g,[-1.5,3],'b');
line([x1,x1],[0,y1],'color','k','linestyle','--') 
line([-1.5,3],[0,0],'color','k') %eje X
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('tangente a la parábola')

Elipse

Una elipse es el conjunto de puntos P(x,y) del plano tal que la suma de las distancias a dos puntos fijos F₁(-c,0) y F₂(c,0) es constante e igual a 2a>0.

Situamos los focos F₁ y F₂ de la elipse en el eje X que es la recta que pasa por los puntos (-c,0) y (c,0), de modo que el origen O está entre los focos, en la mitad. La ecuación de la elipse es

${\displaystyle \begin{array}{l}\left|P{F}_1\right|+\left|P{F}_2\right|=2a\\ \sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a\\ \sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a-\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}\\ x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2+c^2+2cx+y^2-4a\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}\\ a\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}=a^2+cx\\ a^2\left(x^2+2cx+c^2+y^2\right)=a^4+c^2{x}^2+2a^{2}cx\\ \left(a^2-c^2\right)x^2+a^2{y}^2=a^2\left(a^2-c^2\right)\\ b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}}$

SE calculan las intersecciones con el eje X, haciendo y=0, x²=a², x=±a. Los puntos (-a,0) y (a,0) se llaman vértices de la elipse y el segmento que los une, eje mayor 2a de la elipse. 2b se denomina eje menor de la elipse

En la figura, vemos que la relación existente entre a, b y c es a²=b²+c²

Representamos la siguiente elipse, señalando la posición de sus focos

${\displaystyle \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1}$

a=4; %semieje mayor
b=3; %semieje menor
c=sqrt(a^2-b^2); %semistancia focal
f=@(x) b*sqrt(a^2-x.^2)/a;
g=@(x) -f(x);
hold on
fplot(f,[-a,a],'r')
fplot(g,[-a,a],'r')
plot([-c,c],[0,0],'bo','markersize',3,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b')
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('elipse')

Representamos ahora la elipse, señalando la posición de sus focos

${\displaystyle \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1}$

a=sqrt(5);
b=3;
c=sqrt(b^2-a^2);
f=@(x) b*sqrt(a^2-x.^2)/a;
g=@(x) -f(x);
hold on
fplot(f,[-a,a],'r')
fplot(g,[-a,a],'r')
plot([0,0],[c,-c],'bo','markersize',3,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b')
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('elipse')

Tangente a la elipse

Vamos a demostrar que los ángulos α y β son iguales, por lo que la luz o el sonido procedente de del foco F₁ se refleja en un punto P de la elipse y pasa por el foco F₂.

Para dibujar la elipse y su tangente se ha empleado el siguiente código

b=3;
a=4;
c=sqrt(a^2-b^2);
f=@(x) b*sqrt(a^2-x.^2)/a;
hold on
fplot(f,[-a,a], 'r')
x1=3; y1=f(x1);
line([-c,x1],[0,y1],'color','k');
line([c,x1],[0,y1],'color','k');
line([-a,a],[0,0],'color','k') %eje X
m=-b^2*x1/(a^2*y1);
g=@(x) m*(x-x1)+y1;
fplot(g,[1,4],'b');
plot([-c,c],[0,0],'bo','markersize',3,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b')
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('tangente a la elipse')

La pendiente de la recta tangente (en color azul) a la elipse en el punto (x₁, y₁) es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ \frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0\\ \tan \theta ={\frac{dy}{dx}|}_{x_1}=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x_1}{y_1}\end{array}}$

La pendiente de la recta que pasa por el foco F₁ y el punto P(x₁, y₁) es

${\displaystyle \tan {\theta }_1=\frac{y_1}{x_1+c}}$

El ángulo α entre las dos rectas que pasan por P es la diferencia θ₁-θ

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \left({\theta }_1-\theta \right)=\frac{\tan {\theta }_1-\tan \theta }{1+\tan {\theta }_1·\tan \theta }\\ \tan \alpha =\frac{\frac{y_1}{x_1+c}+\frac{b^2}{a^2}\frac{x_1}{y_1}}{1-\frac{y_1}{x_1+c}\frac{b^2}{a^2}\frac{x_1}{y_1}}=\frac{b^2}{c{y}_1}\end{array}}$

Hemos utilizado la ecuación de la elipse para relacionar x₁ con y₁

${\displaystyle b^2{x}_1^2+a^2{y}_1^2=a^2{b}^2}$

La pendiente de la recta que pasa por el foco F₂ y el punto P(x₁, y₁) es

${\displaystyle \tan {\theta }_2=\frac{y_1}{x_1-c}}$

El ángulo β es el suplementario de la diferencia θ₂-θ

${\displaystyle \tan \left({\theta }_2-\theta \right)=\frac{\frac{y_1}{x_1-c}+\frac{b^2}{a^2}\frac{x_1}{y_1}}{1-\frac{b^2}{a^2}\frac{x_1}{y_1}\frac{y_1}{x_1-c}}=-\frac{b^2}{c{y}_1}}$

Los ángulos α y β son iguales, ya que tan(θ₂-θ)=tan(180-β)=-tanβ

Hipérbola

Una hipérbola es el conjunto de puntos P(x,y) del plano tal que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos F₁(-c,0) y F₂(c,0) es constante e igual a ±2a>0.

${\displaystyle \begin{array}{l}\left|P{F}_1\right|-\left|P{F}_2\right|=\pm 2a\\ \sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=\pm 2a\\ \sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\\ x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2+c^2-2cx+y^2\pm 4a\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\\ \pm a\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=a^2-cx\\ a^2\left(x^2-2cx+c^2+y^2\right)=a^4+c^2{x}^2-2a^{2}cx\\ \left(c^2-a^2\right)x^2-a^2{y}^2=a^2\left(c^2-a^2\right)\\ b^2{x}^2-a^2{y}^2=a^2{b}^2\\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}}$

Donde c²=a²+b²

Se calcula la intersección con el eje X, haciendo y=0, x=±a, que son los vértices de la hipérbola. No hay intersecciones con el eje Y, ya que cuando x=0, x²=-b², que no tiene solución real.

Despejamos y en la ecuación de la hipérbola

${\displaystyle y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}}$

Cuando x se hace grande y tiende hacia y=±(b/a)x, que son las asíntotas de la hipérbola. Dibujamos los focos, los vértices y las asíntotas de la hipérbola

${\displaystyle \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1}$

a=4;
b=3;
c=sqrt(a^2+b^2);
f=@(x) b*sqrt(x.^2-a^2)/a;
g=@(x) -f(x);
hold on
fplot(f,[4,7],'r')
fplot(g,[4,7],'r')
fplot(f,[-7,-4],'r')
fplot(g,[-7,-4],'r')
%focos
plot([-c,c],[0,0],'bo','markersize',3,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b')
f=@(x) b*x/a;
line([-7,7],[f(-7),f(7)], 'color','b','linestyle','--') %asíntota
line([-7,7],[-f(-7),-f(7)], 'color','b', 'linestyle','--') %asíntota
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('hipérbola')

Dibujamos la hipérbola, sus focos y asíntotas

${\displaystyle \frac{y^2}{3^2}-\frac{x^2}{2^2}=1}$

a=2;
b=3;
c=sqrt(a^2+b^2);
f=@(x) b*sqrt(a^2+x.^2)/a;
g=@(x) -f(x);
hold on
fplot(f,[-4,4],'r')
fplot(g,[-4,4],'r')
 
plot([0,0],[c,-c],'bo','markersize',3,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b')
f=@(x) b*x/a;
line([-4,4],[f(-4),f(4)], 'linestyle','--') %asíntota
line([-4,4],[-f(-4),-f(4)], 'linestyle','--') %asíntota
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('hipérábola')

Tangente a la hipérbola

Vamos a demostrar que los ángulos α y β son iguales, del mismo modo que se hizo para la elipse.

La pendiente de la recta tangente (en color azul) a la hipérbola en el punto (x₁, y₁) es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\ \frac{2x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0\\ \tan \theta ={\frac{dy}{dx}|}_{x_1}=\frac{b^2}{a^2}\frac{x_1}{y_1}\end{array}}$

La pendiente de la recta que pasa por el foco F₁ y el punto P(x₁, y₁) es

${\displaystyle \tan {\theta }_1=\frac{y_1}{x_1+c}}$

El ángulo α entre las dos rectas que pasan por P es la diferencia θ-θ₁

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \left(\theta -{\theta }_1\right)=\frac{\tan \theta -\tan {\theta }_1}{1+\tan \theta ·\tan {\theta }_1}\\ \tan \alpha =\tan \left(\theta -{\theta }_1\right)=\frac{\frac{b^2}{a^2}\frac{x_1}{y_1}-\frac{y_1}{x_1+c}}{1+\frac{y_1}{x_1+c}\frac{b^2}{a^2}\frac{x_1}{y_1}}=\frac{b^2}{c{y}_1}\end{array}}$

Hemos utilizado la ecuación de la hipérbola para relacionar x₁ con y₁

${\displaystyle b^2{x}_1^2-a^2{y}_1^2=a^2{b}^2}$

La pendiente de la recta que pasa por el foco F₂ y el punto P(x₁, y₁) es

${\displaystyle \tan {\theta }_2=\frac{y_1}{x_1-c}}$

El ángulo β es la diferencia θ₂-θ

${\displaystyle \tan \beta =\tan \left({\theta }_2-\theta \right)=\frac{\frac{y_1}{x_1-c}-\frac{b^2}{a^2}\frac{x_1}{y_1}}{1+\frac{b^2}{a^2}\frac{x_1}{y_1}\frac{y_1}{x_1-c}}=\frac{b^2}{c{y}_1}}$

Los ángulos α y β son iguales. Un rayo de luz que incida en un espejo hipérbólico en P y cuya dirección pase por el foco F₂, se refleja y pasa por el foco F₁ tal como se aprecia en la figura.

Cónicas centradas en otro punto distinto del origen

Las cónicas no tienen que estar centradas en el origen, pueden estar en otros puntos

Parábola

Sea la ecuación de la parábola

${\displaystyle {\left(x+2\right)}^2=8\left(y-3\right)}$

x0=-2; %centro
y0=3;
p=2;
f=@(x) (x-x0).^2/(4*p)+y0;
hold on
fplot(f,[-5,1],'r')
plot(x0,y0+p,'bo','markersize',3,'markeredgecolor','b',
'markerfacecolor','b')
line([-5,1],[y0-p,y0-p], 'color','b') %directriz
hold off
grid on
ylim([0,5])
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('parábola')

Se trata de una parábola centrada en el punto (-2,3), el parámetro 4p=8, por lo que p=2. Representamos la parábola, su foco y directriz

Elipse

Sea la ecuación de la elipse

${\displaystyle x^2-6x+2y^2+4y=7}$

Completamos cuadrados

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(x^2-6x+9\right)+2(y^2+2y+1)=-7+9+2\\ {\left(x-3\right)}^2+2{\left(y+1\right)}^2=4\\ \frac{{\left(x-3\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{2}=1\end{array}}$

Se trata de una elipse centrada en el punto (3,-1). Representamos la elipse y sus focos

x0=3; %centro
y0=-1;
a=2;
b=sqrt(2);
c=sqrt(a^2-b^2); 
f=@(x) y0+b*sqrt(a^2-(x-x0).^2)/a;
g=@(x) y0-b*sqrt(a^2-(x-x0).^2)/a;
hold on
fplot(f,[1,5],'r')
fplot(g,[1,5],'r')
 %focos
plot([x0+c,x0-c],[y0,y0],'bo','markersize',3,'markeredgecolor',
'b','markerfacecolor','b')
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Elipse')

Hipérbola

Sea la ecuación de la hipérbola

${\displaystyle 9x^2-4y^2-72x+8y+176=0}$

Completamos cuadrados

${\displaystyle \begin{array}{l}4(y^2-2y)-9(x^2-8x)=176\\ 4(y^2-2y+1)-9(x^2-8x+16)=176-144+4\\ 4{\left(y-1\right)}^2-9{\left(x-4\right)}^2=36\\ \frac{{\left(y-1\right)}^2}{9}-\frac{{\left(x-4\right)}^2}{4}=1\end{array}}$

Se trata de una hipérbola centrada en el punto (4,1). Representamos la hipérbola, sus focos y asíntotas

x0=4; %centro
y0=1;
a=2;
b=3;
c=sqrt(a^2+b^2); 
f=@(x) y0+b*sqrt(a^2+(x-x0).^2)/a;
g=@(x) y0-b*sqrt(a^2+(x-x0).^2)/a;
hold on
fplot(f,[0,8],'r')
fplot(g,[0,8],'r')
 %focos
plot([x0,x0],[y0+c,y0-c],'bo','markersize',3,'markeredgecolor',
'b','markerfacecolor','b')
f=@(x) b*(x-x0)/a+y0;
g=@(x) -b*(x-x0)/a+y0;
line([0,8],[f(0),f(8)], 'linestyle','--') %asíntota
line([0,8],[g(0),g(8)], 'linestyle','--') %asíntota
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('hipérbola')

Ecuación general de una cónica

${\displaystyle A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0}$

Que se analiza en un sistema de referencia girado OXY en el que se elimina el término en B en xy.

Las coordenadas del punto P en el sistema de referencia Oxy son (x,y). Las coordenadas del punto P en el sistema de referencia OXY girado un ángulo θ son (X,Y). Vamos a relacionar x e y con X e Y

Sea r la distancia entre el origen O y el punto P y φ el ángulo que hace la recta OP con el eje X

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}X=r\cos \phi Y=r\sin \phi \\ x=r\cos (\theta +\phi )y=r\sin (\theta +\phi )\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x=r\left(\cos \theta \cos \phi -\sin \theta \sin \phi \right)=X\cos \theta -Y\sin \theta \\ y=r\left(\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi \right)=X\sin \theta +Y\cos \theta \end{array}\end{array}}$

Despejando X e Y del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las relaciones de transformación son:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}X=x\cos \theta +y\sin \theta \\ Y=-x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}}$

Ejemplo. Sean las coordenadas del punto P(2,6),en el sistema de referencia Oxy. Determinar las coordenadas del punto P en el sistema OXY girado un ángulo θ=60°

${\displaystyle \{\begin{array}{l}X=2\cos 60º+6\sin 60º=1+3\sqrt{3}\\ Y=-2\sin 60º+6\cos 60º=-\sqrt{3}+3\end{array}}$

La ecuación de la cónica en el sistema OXY girado es

${\displaystyle A\text{'}{X}^2+B\text{'}XY+C\text{'}{Y}^2+D\text{'}X+E\text{'}Y+F\text{'}=0}$

Conocida las relaciones de transformación, determinamos los valores de los coeficientes A', B', C', D', E', F'

${\displaystyle \begin{array}{l}A{\left(X\cos \theta -Y\sin \theta \right)}^2+B\left(X\cos \theta -Y\sin \theta \right)\left(X\sin \theta +Y\cos \theta \right)+\\ C{\left(X\sin \theta +Y\cos \theta \right)}^2+D\left(X\cos \theta -Y\sin \theta \right)+E\left(X\sin \theta +Y\cos \theta \right)+F=0\end{array}}$

Agrupando los términos en X², XY, Y², X, Y, obtenemos

${\displaystyle \begin{array}{l}B\text{'}=(C-A)\sin (2\theta )+B\cos (2\theta )\\ F\text{'}=F\\ A\text{'}=A{\cos }^2\theta +C{\sin }^2\theta +B\sin \theta \cos \theta \\ C\text{'}=A{\sin }^2\theta +C{\cos }^2\theta -B\sin \theta \cos \theta \end{array}}$

Utilizamos el comando collect para agrupar términos en X^2, Y^2, pero falla cuando se le pide agrupar términos en X*Y

syms X Y A B C D E th;
x=X*cos(th)-Y*sin(th);
y=X*sin(th)+Y*cos(th);
z=expand(A*x^2+B*x*y+C*y^2+D*x+E*y);
collect(z, X^2)
collect(z, Y^2)
collect(z, X*Y)

ans =(A*cos(th)^2 + B*cos(th)*sin(th) + C*sin(th)^2)*X^2 +... 
ans =(C*cos(th)^2 - B*cos(th)*sin(th) + A*sin(th)^2)*Y^2 +...
ans =... + B*X*Y*cos(th)^2 - B*X*Y*sin(th)^2 - 2*A*X*Y*cos(th)*sin(th) + 
2*C*X*Y*cos(th)*sin(th)

Comprobamos las siguientes invariantes

${\displaystyle \begin{array}{l}A\text{'}+C\text{'}=A+C\\ {\left(B\text{'}\right)}^2-4A\text{'}C\text{'}=B^2-4AC\end{array}}$

syms X Y A B C D E th;
Ap=A*cos(th)^2+C*sin(th)^2+B*sin(th)*cos(th);
Bp=(C-A)*sin(2*th)+B*cos(2*th);
Cp=A*sin(th)^2+C*cos(th)^2-B*sin(th)*cos(th);
simplify(Ap+Cp)
simplify(Bp^2-4*Ap*Cp)

ans =A + C
ans =B^2 - 4*A*C

Calculamos el ángulo θ que hace que el coeficientes B' del término en XY sea nulo

${\displaystyle \tan \left(2\theta \right)=\frac{B}{A-C}}$

Clasificación de las cónicas

1. Elipse, B²-4AC<0
2. Parábola, B²-4AC=0
3. Hipérbola, B²-4AC>0

Elipse

Sea la cónica

${\displaystyle 73x^2+72xy+52y^2+30x-40y-75=0}$

A=73, B=72, C=52. El discriminante B²-4AC=-10000, se trata de una elipse

Obtenemos la ecuación de la cónica en el sistema OXY girado una ángulo θ

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \left(2\theta \right)=\frac{24}{7}\\ \frac{1}{\cos \left(2\theta \right)}=\sqrt{1+{\tan }^2\left(2\theta \right)}=\frac{25}{7}\\ \cos \theta =\sqrt{\frac{1+\cos (2\theta )}{2}}=\frac{4}{5}\\ \sin \theta =\sqrt{\frac{1-\cos (2\theta )}{2}}=\frac{3}{5}\end{array}}$

Las relaciones de transformación son

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=\frac{4}{5}X-\frac{3}{5}Y\\ y=\frac{3}{5}X+\frac{4}{5}Y\end{array}}$

Introduciendo x e y en la ecuación de la cónica, obtenemos la ecuación de la cónica en el sistema de referencia OXY girado

${\displaystyle \begin{array}{l}4X^2+Y^2-2Y-3=0\\ X^2+\frac{{\left(Y-1\right)}^2}{4}=1\end{array}}$

Una elipse de semiejes 1 y 2 centrada en el punto de coordenadas en X=0, e Y=1, o bien, en x=-3/5, y=4/5

syms x y X Y;
z=73*x^2+72*x*y+52*y^2+30*x-40*y-75;
th=acos(4/5);
Z=subs(z,{x,y},{X*cos(th)-Y*sin(th),X*sin(th)+Y*cos(th)});
Z=simplify(Z)

Z =100*X^2 + 25*Y^2 - 50*Y - 75

Representamos la elipse, su centro, focos y el sistema de referencia girado OXY.

syms x y;
hold on
ezplot(73*x^2+72*x*y+52*y^2+30*x-40*y-75,[-2.5,1],[-1,3])
th=acos(4/5);
line([-2*cos(th),2*cos(th)],[-2*sin(th),2*sin(th)], 'color','k') %eje X girado
line([-1*cos(th+pi/2),3.5*cos(th+pi/2)],[-1*sin(th+pi/2),3.5*sin(th+pi/2)], 
'color','k')%eje Y
%centro
plot(1*cos(th+pi/2),1*sin(th+pi/2),'ro','markersize',3,'markeredgecolor',
'r','markerfacecolor','r')
%focos
c=sqrt(2^2-1);
plot((1+c)*cos(th+pi/2),(1+c)*sin(th+pi/2),'bo','markersize',3,'markeredgecolor',
'b','markerfacecolor','b')
plot((1-c)*cos(th+pi/2),(1-c)*sin(th+pi/2),'bo','markersize',3,'markeredgecolor',
'b','markerfacecolor','b')
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('elipse girada')

Si trasladamos el sistema de referencia al centro de la elipse x=-3/5, y=4/5, obtenemos una nueva ecuación de la cónica que carece detérminos en x e y

${\displaystyle 73x^2+72xy+52y^2-100=0}$

syms x y xp yp;
z=73*x^2+72*x*y+52*y^2+30*x-40*y-75;
zt=subs(z,{x,y},{xp-3/5,yp+4/5});
simplify(zt)
ezplot(zt,[-1.5,1.5],[-2,2])
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('elipse girada')

ans =73*xp^2 + 72*xp*yp + 52*yp^2 - 100

Para hallar la ecuación de la cónica en el sistema de referencia O'xy, cuyo origen se traslada a (x₀, y₀), sustituimos

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=x\text{'}+x_0\\ y=y\text{'}+y_0\end{array}}$

La ecuación de la cónica es

${\displaystyle \begin{array}{l}A{\left(x\text{'}\right)}^2+Bx\text{'}y\text{'}+C{\left(y\text{'}\right)}^2+\left(2A{x}_0+B{y}_0+D\right)x\text{'}+\left(B{x}_0+2C{y}_0+E\right)y\text{'}+\\ A{x}_0^2+B{x}_0{y}_0+C{y}_0^2+D{x}_0+E{y}_0+F=0\end{array}}$

Calculamos x₀ e y₀, haciendo que los coeficientes de x' y de y' sean ceros

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}2A{x}_0+B{y}_0+D=0\\ B{x}_0+2C{y}_0+E=0\end{array}\\ x_0=\frac{2CD-BE}{B^2-4AC}{y}_0=\frac{2AE-DE}{B^2-4AC}\end{array}}$

Con A=73, B=72, C=52, D=30, E=-40, obtenemos: x₀=-3/5, y₀=4/5

Parábola

Sea la cónica

${\displaystyle x^2-4xy+4y^2+5\sqrt{5}y+1=0}$

A=1, B=-4, C=4. El discriminante B²-4AC=0, se trata de una parábola

Como tan(2θ)=4/3. Obtenemos la ecuación de la cónica en el sistema OXY girado una ángulo θ=26.6°. cos(2θ)=3/5,

Las relaciones de transformación son

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(2X-Y\right)\\ y=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(X+2Y\right)\end{array}}$

Introduciendo x e y en la ecuación de la cónica, obtenemos la ecuación de la cónica en el sistema de referencia OXY girado

syms x y X Y;
z=x^2-4*x*y+4*y^2+5*sqrt(5)*y+1;
A=1; B=-4;C=4;
disp(B^2-4*A*C)
th=atan(B/(A-C))/2;
Z=subs(z,{x,y},{X*cos(th)-Y*sin(th),X*sin(th)+Y*cos(th)});
Z=simplify(Z)

El discriminante es cero, por lo que se trata de una parábola

0
Z =5*Y^2 + 10*Y + 5*X + 1

${\displaystyle 5Y^2+10Y+5X+1=0}$

Lo expresamos en la forma equivalente

${\displaystyle \begin{array}{l}5{\left(Y+1\right)}^2=-5X+4\\ {\left(Y+1\right)}^2=(-1)\left(X-\frac{4}{5}\right)\end{array}}$

Representamos la parábola, su vértice, foco, eje y el sistema de referencia girado OXY.

syms x y;
hold on
ezplot(x^2-4*x*y+4*y^2+5*sqrt(5)*y+1,[-3,1.5],[-3,0.5])
A=1; B=-4;C=4;
th=atan(B/(A-C))/2;
line([-0.5*cos(th),2*cos(th)],[-0.5*sin(th),2*sin(th)], 
'color','k') %eje X girado
line([-0.5*cos(th+pi/2),2*cos(th+pi/2)],[-0.5*sin(th+pi/2),2*sin(th+pi/2)],
 'color','k')%eje Y
X0=4/5; Y0=-1; %vértice
x0=X0*cos(th)-Y0*sin(th);
y0=X0*sin(th)+Y0*cos(th);
%vértice
plot(x0,y0,'ro','markersize',3,'markeredgecolor','r',
'markerfacecolor','r')
%eje parábola
ezplot(tan(th)*(x-x0)+y0,[-3,2])
%foco
p=-1/4;
X0=4/5+p; Y0=-1; 
x0=X0*cos(th)-Y0*sin(th);
y0=X0*sin(th)+Y0*cos(th);
plot(x0,y0,'bo','markersize',3,'markeredgecolor','b',
'markerfacecolor','b')
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('parábola girada')

Hipérbola

La ecuación de la hipérbola más simple es xy-1=0

A=0, B=1, C=0. El discriminante B²-4AC>0, se trata de una hipérbola

Como tan(2θ)=∞, 2θ=π/2. Obtenemos la ecuación de la cónica en el sistema OXY girado una ángulo θ=π/4.

Las relaciones de trasnformación son

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(X-Y\right)\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(X+Y\right)\end{array}}$

Introduciendo x e y en la ecuación de la cónica, obtenemos la ecuación de la cónica en el sistema de referencia OXY girado

syms x y X Y;
z=x*y-1;
th=pi/4;
Z=subs(z,{x,y},{X*cos(th)-Y*sin(th),X*sin(th)+Y*cos(th)});
Z=simplify(Z)

Z =X^2/2 - Y^2/2 - 1

${\displaystyle \frac{X^2}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}-\frac{Y^2}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=1}$

Representamos la hipérbola, su vértice, foco y el sistema de referencia girado OXY. Las asíntotas de la cónica son los ejes x e y

syms x y;
hold on
ezplot(x*y-1,[-2.5,2.5])
th=pi/4;
line([-3*cos(th),3*cos(th)],[-3*sin(th),3*sin(th)], 'color',
'k') %eje X girado
line([-0.5*cos(th+pi/2),2*cos(th+pi/2)],[-0.5*sin(th+pi/2),
2*sin(th+pi/2)], 'color','k')%eje Y
X0=sqrt(2); Y0=0; %vértice
x0=X0*cos(th)-Y0*sin(th);
y0=X0*sin(th)+Y0*cos(th);
%vértice
plot(x0,y0,'ro','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
%foco
c=2;
X0=c; Y0=0;
x0=X0*cos(th)-Y0*sin(th);
y0=X0*sin(th)+Y0*cos(th);
plot(x0,y0,'bo','markersize',3,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b')
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('hipérbola girada')