Transformada de Laplace

Sea f(t) una función definida en el intervalo [0, ∞). La transformada de Laplace F(s) de f(t) se define:

F(s)= 0 e st f(t)dt

Transformada de Laplace de algunas funciones

1.-Transformada de Laplace de f(t)=1

F(s)= 0 e st dt = 1 s e st | 0 = 1 s (s>0)

>> ft=sym('1');
>> Fs=laplace(ft)
Fs =1/s

2.-Transformada de Laplace de f(t)=exp(at)

F(s)= 0 e st e at dt = 0 e (as)t dt = 1 as e (as)t | 0 = 1 sa (s>a)

>> syms a t;
>> ft=exp(a*t);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =-1/(a - s)

Vamos a comprobar la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace

g(t)= c 1 f 1 (t)+ c 2 f 2 (t) G(s)= c 1 F 1 (s)+ c 2 F 2 (s)

G(s) es la transformada de Laplace de g(t). F1(s) y F2(s) son las transformdas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Calculamos la transformada de Laplace de cosh(at)

g(t)=cosh(at)= 1 2 ( e at + e at ) G(s)= 1 2 ( 1 sa + 1 s+a )= s s 2 a 2 g(t)=sinh(at)= 1 2 ( e at e at ) G(s)= 1 2 ( 1 sa 1 s+a )= a s 2 a 2

>> syms a t;
>> ft=cosh(a*t);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =-s/(a^2 - s^2)
>> ft=sinh(a*t);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =-a/(a^2 - s^2)

3. Transformada de Laplace de f(t)=exp(iωt)

0 e i ω t e s t d t = 0 e ( s i ω ) t d t = 1 s i ω e ( s i ω ) t | 0 = 1 s i ω = s s 2 + ω 2 + i ω s 2 + ω 2 e i ω t = cos ( ω t ) + i sin ( ω t ) f ( t ) = cos ( ω t ) F ( s ) = s s 2 + ω 2 f ( t ) = sin ( ω t ) F ( s ) = ω s 2 + ω 2

>> syms t w;
>> ft=cos(w*t);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =s/(s^2 + w^2)
>> ft=sin(w*t);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =w/(s^2 + w^2)

4.-Transformada de Laplace de f(t)=exp(at)·exp(iωt)=exp((a+iω)t)

0 e (a+iω)t e st dt= 1 s(a+iω) = 1 (sa)iω = sa (sa) 2 + ω 2 +i ω (sa) 2 + ω 2 e (a+iω)t = e at · e iωt = e at ( cos(ωt)+isin(ωt) ) f(t)= e at cos(ωt)F(s)= sa (sa) 2 + ω 2 f(t)= e at sin(ωt)F(s)= ω (sa) 2 + ω 2

>> syms a w t;
>> ft=exp(a*t)*sin(w*t);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =w/(w^2 + (a - s)^2)
>> ft=exp(a*t)*cos(w*t);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =-(a - s)/(w^2 + (a - s)^2)

5.-Transformada de Laplace de f(t)=tn

0 t n e st dt= 1 s e st t n | 0 + n s 0 t n1 e st dt= n s n1 s 0 t n2 e st dt= ... n s n1 s ... 1 s 0 e st dt= n! s n 1 s = n! s n+1

>> syms t n;
>> ft=t^n;
>> Fs=laplace(ft)
Fs =piecewise([-1 < Re(n), gamma(n + 1)/s^(n + 1)])
>> ft=t^6;
>> Fs=laplace(ft)
Fs =720/s^7

6.-Transformada de Laplace de f(t)=tn·exp(at)

Como se puede fácilmente comprobar

f(t)= e at t n F(s)= n! (sa) n+1

>> syms t a;
>> ft=exp(a*t)*t^6;
>> Fs=laplace(ft)
Fs =-720/(a - s)^7 

En general, tendremos que

F(sa)= 0 e (sa)t f(t)dt= 0 e st ( e at f(t) )dt

7.-Transformada de Laplace de u(t-af(t-a)

Donde u(t) es la función escalón, o función de Heaviside, definida del siguiente modo

u ( t ) = { 1 t 0 0 t < 0

La función u(t-a), es una traslación a de la función escalón, se define de forma análoga

u(ta)={ 1ta 0t<a

0 e st u(ta)dt= a e st dt= 1 s e st | a = e as s 0 e st u(ta)f(ta)dt= a e st f(ta)dt= 0 e s(τ+a) f(τ)dτ= e as 0 e sτ f(τ)dτ= e as 0 e st f(t)dt = e as F(s)

>> syms t;
>> laplace(heaviside(t-2))
ans =exp(-2*s)/s
>> syms a positive;
>> laplace(heaviside(t-a))
ans =exp(-a*s)/s

Fijarse en la forma de obtener la transformda de Laplace de la la función Heaviside u(t-a), hay que especificar que a es una variable simbólica positiva, en caso contrario, no sabe calcular su transformada de Laplace.

La función escalón es importante para definir funciones por intervalos

La función representada en la parte de la izquierda de la figura se escribe

u(ta)u(tb)={ 0t<a 1atb 0t>b

La función f(t) cualesquiera que toma valores distintos de cero en el intervalo [a,b] se escribe

( u(ta)u(tb) )f(t)={ 0t<a f(t)atb 0t>b

La función que se representa a la derecha en la figura.

Consideremos la función

f(t)={ 2t0<t<2 42t f(t)=( u(t0)u(t2) )(2t)+u(t2)·4= 2t2(t2)·u(t2)t>0

Cuya representación gráfica es

>> f=@(t) 2*t+2*(2-t).*heaviside(t-2);
>> fplot(f,[0,10])
>> ylim([0 5])

La transformada de Laplace de la función f(t) es

F(s)=2 1! s 2 2 e 2s 1! s 2 = 2 s 2 ( 1 e 2s )

>> syms t;
>> ft=2*t+2*(2-t)*heaviside(t-2);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =2/s^2 - 2/(s^2*exp(2*s))

8.-Transformada de Laplace de la función delta de Dirac, δ(t-a)

δ(ta)={ t=a 0ta 0 δ(ta)dt =1

Consideremos la función denominada impulso unidad, cuya área es la unidad

f(t)={ 1 k ata+k 0t<at>a+k f(t)= 1 k ( u(ta)u(t(a+k)) )

La transformada de Laplace de esta función es

F(s)= 1 k ( e as s e (a+k)s s )= e as 1 e ks ks lim k0 ( 1 e ks ks )= lim k0 ( s e ks s )= lim k0 e ks =1 lim k0 f(t,a)=δ(ta) limF(s) k0 = e as

Para calcular el límite cuando k tiende a cero en la segunda línea hemos aplicado la regla de L'Hôpital.

>> syms t a;
>> laplace(dirac(t-a))
ans =exp(-a*s)

Transformada de Laplace de una función periódica

Una función f(t) es periódica de periodo p, si cumple que f(t+p)=f(t). La función sin(t) es periódica de periodo 2π y la función sin(ωt) es periódica de periodo p=2π/ω.

0 e st f(t)dt = 0 p e st f(t)dt + p 2p e st f(t)dt + 2p 3p e st f(t)dt +...= 0 p e st f(t)dt + 0 p e s(t+p) f(t+p)dt + 0 p e s(t+2p) f(t+2p)dt +...= 0 p e st f(t)dt + 0 p e s(t+p) f(t)dt + 0 p e s(t+2p) f(t)dt +...= 0 p e st f(t)dt + e sp 0 p e st f(t)dt + e 2sp 0 p e st f(t)dt +...= ( 1+ e sp + e 2sp + e 3sp +... ) 0 p e st f(t)dt = 1 1 e sp 0 p e st f(t)dt

Entre paréntesis tenemos la suma de infinitos términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 1 y cuya razón es e-sp.

S = a 0 1r = 1 1 e sp

Calcular la transformada de Laplace de la función

f(t)={ sin(ωt)0tπ/ω 0π/ω<t<2π/ω f(t)=f( t+ 2π ω ) F(s)= 1 1 e sp 0 p e st f(t)dt = 1 1 e 2πs/ω 0 π/ω e st sin(ωt)dt 1 1 e 2πs/ω ( e st ωcos(ωt)+ssin(ωt) ω 2 + s 2 ) | 0 π/ω = ω ( ω 2 + s 2 )( 1 e πs/ω )

Se ha integrado dos veces por partes exp(-st)·sin(ωt)

Tomando ω=2

t=linspace(0,pi,100);
x=sin(2*t).*(t>=0 & t<=pi/2);
t=linspace(0,4*pi,400);
xx=[x x x x]; %se repite la función cuatro veces
plot(t,xx)
ylim([-0.1 1.1])
set(gca,'xtick',0:pi/2:4*pi)
set(gca,'xticklabel',{'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi','5\pi/2',
'3\pi','7\pi/2','4\pi'})
grid on

Calculamos la transformada de Laplace del siguiente modo:

>> syms pi s t w;
>> g=int(exp(-s*t)*sin(w*t),t,0,pi/w)/(1-exp(-2*pi*s/w))
g =-(w*(1/exp((pi*s)/w) + 1))/((s^2 + w^2)*(1/exp((2*pi*s)/w) - 1))
>> simplify(g)
ans =(w*exp((pi*s)/w))/((s^2 + w^2)*(exp((pi*s)/w) - 1))

Transformada de Laplace de derivadas e integrales

1.-Transformada de Laplace de una derivada

0 f ' ( t ) e s t d t = e s t f ( t ) | 0 + s 0 f ( t ) e s t d t = s 0 f ( t ) e s t d t f ( 0 ) 0 f ' ' ( t ) e s t d t = s 0 f ' ( t ) e s t d t f ' ( 0 ) = s ( s 0 f ( t ) e s t d t f ( 0 ) ) f ( 0 ) = s 2 0 f ( t ) e s t d t s f ( 0 ) f ' ( 0 ) 0 f ( n ) ( t ) e s t d t = s n 0 f ( t ) e s t d t s n 1 f ( 0 ) s n 2 f ( 1 ) ( 0 ) f ( n 1 ) ( 0 )

Vamos a aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial con las condiciones iniciales especificadas. En la siguiente página aprenderemos a obtener la solución de la ecuación diferencial, aplicando la transformada inversa de Laplace.

d 2 x d t 2 + 4 d x d t + 3 x = 0 t = 0 { x = 3 d x d t = 1 ( s 2 F ( s ) s x ( 0 ) x ' ( 0 ) ) + 4 ( s F ( s ) x ( 0 ) ) + 3 F ( s ) = 0 ( s 2 F ( s ) 3 s 1 ) + 4 ( s F ( s ) 3 ) + 3 F ( s ) = 0 s 2 F ( s ) + 4 s F ( s ) 3 s 13 + 3 F ( s ) = 0 F ( s ) = 3 s + 13 s 2 + 4 s + 3

2.-Transformada de Laplace de una integral

Sea la función

g(t)= 0 t f(τ)dτ

La transformada de Laplace se calcula del siguiente modo

0 e st f(t)dt= 0 e st g'(t)dt= s 0 e st g(t)dtg(0) =s 0 e st g(t)dt 0 e st g(t)dt= 1 s 0 e st f(t)dt

Comprobamos esta relación con el siguiente ejemplo

f(t)=cos(ωt)F(s)= s s 2 + ω 2 g(t)= 0 t cos(ωt)dt= 1 ω sin(ωt)G(s)= 1 s 2 + ω 2