Sea f(t) una función definida en el intervalo [0, ∞). La transformada de Laplace F(s) de f(t) se define:

$F\left(s\right)=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt$

## Transformada de Laplace de algunas funciones

$F\left(s\right)=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}dt=-{\frac{1}{s}{e}^{-st}|}_{0}^{\infty }=\frac{1}{s}\text{ }\left(s>0\right)$

>> ft=sym('1');
>> Fs=laplace(ft)
Fs =1/s

$F\left(s\right)=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}{e}^{at}dt=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{\left(a-s\right)t}dt={\frac{1}{a-s}{e}^{\left(a-s\right)t}|}_{0}^{\infty }=\frac{1}{s-a}\text{ }\left(s>a\right)$

>> syms a t;
>> ft=exp(a*t);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =-1/(a - s)

$\begin{array}{l}g\left(t\right)={c}_{1}{f}_{1}\left(t\right)+{c}_{2}{f}_{2}\left(t\right)\\ G\left(s\right)={c}_{1}{F}_{1}\left(s\right)+{c}_{2}{F}_{2}\left(s\right)\end{array}$

G(s) es la transformada de Laplace de g(t). F1(s) y F2(s) son las transformdas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Calculamos la transformada de Laplace de cosh(at)

$\begin{array}{l}g\left(t\right)=\mathrm{cosh}\left(at\right)=\frac{1}{2}\left({e}^{at}+{e}^{-at}\right)\\ G\left(s\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s+a}\right)=\frac{s}{{s}^{2}-{a}^{2}}\\ g\left(t\right)=\mathrm{sinh}\left(at\right)=\frac{1}{2}\left({e}^{at}-{e}^{-at}\right)\\ G\left(s\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s+a}\right)=\frac{a}{{s}^{2}-{a}^{2}}\end{array}$

>> syms a t;
>> ft=cosh(a*t);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =-s/(a^2 - s^2)
>> ft=sinh(a*t);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =-a/(a^2 - s^2)

3. Transformada de Laplace de f(t)=exp(iωt)

$\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{i\omega t}{e}^{-st}dt=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-\left(s-i\omega \right)t}dt=-\frac{1}{s-i\omega }{{e}^{-\left(s-i\omega \right)t}|}_{0}^{\infty }=\\ \frac{1}{s-i\omega }=\frac{s}{{s}^{2}+{\omega }^{2}}+i\frac{\omega }{{s}^{2}+{\omega }^{2}}\\ {e}^{i\omega t}=\mathrm{cos}\left(\omega t\right)+i\mathrm{sin}\left(\omega t\right)\\ f\left(t\right)=\mathrm{cos}\left(\omega t\right)\text{ }F\left(s\right)=\frac{s}{{s}^{2}+{\omega }^{2}}\\ f\left(t\right)=\mathrm{sin}\left(\omega t\right)\text{ }F\left(s\right)=\frac{\omega }{{s}^{2}+{\omega }^{2}}\end{array}$

>> syms t w;
>> ft=cos(w*t);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =s/(s^2 + w^2)
>> ft=sin(w*t);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =w/(s^2 + w^2)

$\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{\left(a+i\omega \right)t}{e}^{-st}dt=\frac{1}{s-\left(a+i\omega \right)}=\\ \frac{1}{\left(s-a\right)-i\omega }=\frac{s-a}{{\left(s-a\right)}^{2}+{\omega }^{2}}+i\frac{\omega }{{\left(s-a\right)}^{2}+{\omega }^{2}}\\ {e}^{\left(a+i\omega \right)t}={e}^{at}·{e}^{i\omega t}={e}^{at}\left(\mathrm{cos}\left(\omega t\right)+i\mathrm{sin}\left(\omega t\right)\right)\\ f\left(t\right)={e}^{at}\mathrm{cos}\left(\omega t\right)\text{ }F\left(s\right)=\frac{s-a}{{\left(s-a\right)}^{2}+{\omega }^{2}}\\ f\left(t\right)={e}^{at}\mathrm{sin}\left(\omega t\right)\text{ }F\left(s\right)=\frac{\omega }{{\left(s-a\right)}^{2}+{\omega }^{2}}\end{array}$

>> syms a w t;
>> ft=exp(a*t)*sin(w*t);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =w/(w^2 + (a - s)^2)
>> ft=exp(a*t)*cos(w*t);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =-(a - s)/(w^2 + (a - s)^2)

$\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{t}^{n}{e}^{-st}dt={-\frac{1}{s}{e}^{-st}{t}^{n}|}_{0}^{\infty }+\frac{n}{s}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{t}^{n-1}{e}^{-st}dt=\\ \frac{n}{s}\frac{n-1}{s}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{t}^{n-2}{e}^{-st}dt=...\frac{n}{s}\frac{n-1}{s}...\frac{1}{s}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}dt=\frac{n!}{{s}^{n}}\frac{1}{s}=\frac{n!}{{s}^{n+1}}\end{array}$

>> syms t n;
>> ft=t^n;
>> Fs=laplace(ft)
Fs =piecewise([-1 < Re(n), gamma(n + 1)/s^(n + 1)])
>> ft=t^6;
>> Fs=laplace(ft)
Fs =720/s^7

Como se puede fácilmente comprobar

$f\left(t\right)={e}^{at}{t}^{n}\text{ }F\left(s\right)=\frac{n!}{{\left(s-a\right)}^{n+1}}$

>> syms t a;
>> ft=exp(a*t)*t^6;
>> Fs=laplace(ft)
Fs =-720/(a - s)^7 

En general, tendremos que

$F\left(s-a\right)=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-\left(s-a\right)t}f\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}\left({e}^{at}f\left(t\right)\right)dt$

## Función escalón

Sea u(t) la función escalón, o función de Heaviside, definida del siguiente modo

$u\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}1\text{ }t\ge 0\\ 0\text{ }t<0\end{array}$

La función u(t-a), es una traslación a de la función escalón, se define de forma análoga

$u\left(t-a\right)=\left\{\begin{array}{l}1\text{ }t\ge a\\ 0\text{ }t

La transformada de Laplace de esta función es

$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}u\left(t-a\right)dt=\underset{a}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}dt=-\frac{1}{s}{e}^{-st}{|}_{a}^{\infty }=\frac{{e}^{-as}}{s}$

>> syms t;
>> laplace(heaviside(t-2))
ans =exp(-2*s)/s
>> syms a positive;
>> laplace(heaviside(t-a))
ans =exp(-a*s)/s

Fijarse en la forma de obtener la transformda de Laplace de la la función Heaviside u(t-a), hay que especificar que a es una variable simbólica positiva, en caso contrario, no sabe calcular su transformada de Laplace.

La función escalón u(t-a) es importante para definir funciones por intervalos, como el pulso rectangular

La función representada en la figura se escribe

$f\left(t\right)=u\left(t-a\right)-u\left(t-b\right)=\left\{\begin{array}{l}0\text{ }tb\end{array}$

La transformada de Laplace de esta función es la diferencia

$F\left(s\right)=\frac{{e}^{-as}}{a}-\frac{{e}^{-bs}}{b}$

Consideremos ahora, que la función f(t) es una sucesión de pulsos rectangulares, tal como se muestra en la figura

$f\left(t\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left\{u\left(t-2na\right)-u\left(t-\left(2n+1\right)a\right)\right\}$

La transformada de Laplace es la suma

$\begin{array}{l}F\left(s\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left\{\frac{\mathrm{exp}\left(-2nas\right)}{s}-\frac{\mathrm{exp}\left(-\left(2n+1\right)as\right)}{s}\right\}=\\ \frac{1-\mathrm{exp}\left(-as\right)}{s}\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\mathrm{exp}\left(-2as\right)\right)}^{n}=\frac{1-\mathrm{exp}\left(-as\right)}{s}\frac{1}{1-\mathrm{exp}\left(-2as\right)}=\\ \frac{1-{e}^{-as}}{s\left(1-{e}^{-2as}\right)}\end{array}$

Se ha utilizado la fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 1 y la razón es exp(-2as)

La función u(t-a) cumple la siguiente propiedad

$\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}u\left(t-a\right)f\left(t-a\right)dt=\underset{a}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}f\left(t-a\right)dt=\\ \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-s\left(\tau +a\right)}f\left(\tau \right)d\tau ={e}^{-as}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-s\tau }f\left(\tau \right)d\tau ={e}^{-as}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt={e}^{-as}F\left(s\right)\end{array}$

Sea la función f(t) cualesquiera que toma valores distintos de cero en el intervalo [a,b] se escribe

$\left(u\left(t-a\right)-u\left(t-b\right)\right)f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}0\text{ }tb\end{array}$

Consideremos la función

$\begin{array}{l}f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}2t\text{ }00\end{array}$

Cuya representación gráfica es

>> f=@(t) 2*t+2*(2-t).*heaviside(t-2);
>> fplot(f,[0,10])
>> ylim([0 5])

La transformada de Laplace de la función f(t) es

$F\left(s\right)=2\frac{1!}{{s}^{2}}-2{e}^{-2s}\frac{1!}{{s}^{2}}=\frac{2}{{s}^{2}}\left(1-{e}^{-2s}\right)$

>> syms t;
>> ft=2*t+2*(2-t)*heaviside(t-2);
>> Fs=laplace(ft)
Fs =2/s^2 - 2/(s^2*exp(2*s))

8.-Transformada de Laplace de la función delta de Dirac, δ(t-a)

$\delta \left(t-a\right)=\left\{\begin{array}{l}\infty \text{ }t=a\\ 0\text{ }t\ne a\end{array}\text{ }\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\delta \left(t-a\right)dt=1$

$\begin{array}{l}f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{k}\text{ }a\le t\le a+k\\ 0\text{ }ta+k\end{array}\\ f\left(t\right)=\frac{1}{k}\left(u\left(t-a\right)-u\left(t-\left(a+k\right)\right)\right)\end{array}$

La transformada de Laplace de esta función es

$\begin{array}{l}F\left(s\right)=\frac{1}{k}\left(\frac{{e}^{-as}}{s}-\frac{{e}^{-\left(a+k\right)s}}{s}\right)={e}^{-as}\frac{1-{e}^{-ks}}{ks}\\ \underset{k\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\frac{1-{e}^{-ks}}{ks}\right)=\underset{k\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\frac{s{e}^{-ks}}{s}\right)=\underset{k\to 0}{\mathrm{lim}}{e}^{-ks}=1\\ \underset{k\to 0}{\mathrm{lim}}f\left(t,a\right)=\delta \left(t-a\right)\\ \underset{k\to 0}{\mathrm{lim}F\left(s\right)}={e}^{-as}\end{array}$

Para calcular el límite cuando k tiende a cero en la segunda línea hemos aplicado la regla de L'Hôpital.

>> syms t a;
>> laplace(dirac(t-a))
ans =exp(-a*s)

## Transformada de Laplace de una función periódica

Una función f(t) es periódica de periodo p, si cumple que f(t+p)=f(t). La función sin(t) es periódica de periodo 2π y la función sin(ωt) es periódica de periodo p=2π/ω.

$\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{p}{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt+\underset{p}{\overset{2p}{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt+\underset{2p}{\overset{3p}{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt+...=\\ \underset{0}{\overset{p}{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt+\underset{0}{\overset{p}{\int }}{e}^{-s\left(t+p\right)}f\left(t+p\right)dt+\underset{0}{\overset{p}{\int }}{e}^{-s\left(t+2p\right)}f\left(t+2p\right)dt+...=\\ \underset{0}{\overset{p}{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt+\underset{0}{\overset{p}{\int }}{e}^{-s\left(t+p\right)}f\left(t\right)dt+\underset{0}{\overset{p}{\int }}{e}^{-s\left(t+2p\right)}f\left(t\right)dt+...=\\ \underset{0}{\overset{p}{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt+{e}^{-sp}\underset{0}{\overset{p}{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt+{e}^{-2sp}\underset{0}{\overset{p}{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt+...=\\ \left(1+{e}^{-sp}+{e}^{-2sp}+{e}^{-3sp}+...\right)\underset{0}{\overset{p}{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt=\\ \frac{1}{1-{e}^{-sp}}\underset{0}{\overset{p}{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt\end{array}$

Entre paréntesis tenemos la suma de infinitos términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 1 y cuya razón es e-sp.

${S}_{\infty }=\frac{{a}_{0}}{1-r}=\frac{1}{1-{e}^{-sp}}$

Calcular la transformada de Laplace de la función

$\begin{array}{l}f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}\left(\omega t\right)\text{ }0\le t\le \pi /\omega \\ 0\text{ }\text{ }\pi /\omega

Se ha integrado dos veces por partes exp(-st)·sin(ωt)

Tomando ω=2

t=linspace(0,pi,100);
x=sin(2*t).*(t>=0 & t<=pi/2);
t=linspace(0,4*pi,400);
xx=[x x x x]; %se repite la función cuatro veces
plot(t,xx)
ylim([-0.1 1.1])
set(gca,'xtick',0:pi/2:4*pi)
set(gca,'xticklabel',{'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi','5\pi/2',
'3\pi','7\pi/2','4\pi'})
grid on

Calculamos la transformada de Laplace del siguiente modo:

>> syms pi s t w;
>> g=int(exp(-s*t)*sin(w*t),t,0,pi/w)/(1-exp(-2*pi*s/w))
g =-(w*(1/exp((pi*s)/w) + 1))/((s^2 + w^2)*(1/exp((2*pi*s)/w) - 1))
>> simplify(g)
ans =(w*exp((pi*s)/w))/((s^2 + w^2)*(exp((pi*s)/w) - 1))

$\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}f\text{'}\left(t\right){e}^{-st}dt={{e}^{-st}f\left(t\right)|}_{0}^{\infty }+s\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}f\left(t\right){e}^{-st}dt=s\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}f\left(t\right){e}^{-st}dt-f\left(0\right)\\ \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}f\text{'}\text{'}\left(t\right){e}^{-st}dt=s\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}f\text{'}\left(t\right){e}^{-st}dt-f\text{'}\left(0\right)=s\left(s\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}f\left(t\right){e}^{-st}dt-f\left(0\right)\right)-f\left(0\right)=\\ {s}^{2}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}f\left(t\right){e}^{-st}dt-sf\left(0\right)-f\text{'}\left(0\right)\\ \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{f}^{\left(n\right)}\left(t\right){e}^{-st}dt={s}^{n}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}f\left(t\right){e}^{-st}dt-{s}^{n-1}f\left(0\right)-{s}^{n-2}{f}^{\left(1\right)}\left(0\right)-{f}^{\left(n-1\right)}\left(0\right)\end{array}$

Vamos a aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial con las condiciones iniciales especificadas. En la siguiente página aprenderemos a obtener la solución de la ecuación diferencial, aplicando la transformada inversa de Laplace.

$\begin{array}{l}\frac{{d}^{2}x}{d{t}^{2}}+4\frac{dx}{dt}+3x=0\text{ }t=0\left\{\begin{array}{l}x=3\\ \frac{dx}{dt}=1\end{array}\\ \left({s}^{2}F\left(s\right)-sx\left(0\right)-x\text{'}\left(0\right)\right)+4\left(sF\left(s\right)-x\left(0\right)\right)+3F\left(s\right)=0\\ \left({s}^{2}F\left(s\right)-3s-1\right)+4\left(sF\left(s\right)-3\right)+3F\left(s\right)=0\\ {s}^{2}F\left(s\right)+4sF\left(s\right)-3s-13+3F\left(s\right)=0\\ F\left(s\right)=\frac{3s+13}{{s}^{2}+4s+3}\end{array}$

2.-Transformada de Laplace de una integral

Sea la función

$g\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f\left(\tau \right)d\tau$

La transformada de Laplace se calcula del siguiente modo

$\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}g\text{'}\left(t\right)dt=s\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}g\left(t\right)dt-g\left(0\right)=s\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}g\left(t\right)dt\\ \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}g\left(t\right)dt=\frac{1}{s}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt\end{array}$

Comprobamos esta relación con el siguiente ejemplo

$\begin{array}{l}f\left(t\right)=\mathrm{cos}\left(\omega t\right)\text{ }F\left(s\right)=\frac{s}{{s}^{2}+{\omega }^{2}}\\ g\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{cos}\left(\omega t\right)dt=\frac{1}{\omega }\mathrm{sin}\left(\omega t\right)\text{ }G\left(s\right)=\frac{1}{{s}^{2}+{\omega }^{2}}\end{array}$