Para una función no periódica P-->∞

${\displaystyle F(\omega )={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(t)e^{-i\omega t}dt}f(t)=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}F(\omega )e^{i\omega t}d\omega }}$

La primera integral que obtiene F(ω) se denomina transformada de Fourier de f(t), y la segunda se denomina transformada inversa de Fourier.

El cuadrado f²(t) nos da una idea de cómo la energía contenida en la onda se distribuye en el tiempo, mientas que F²(ω) nos da una idea de como la energía se distribuye en el espectro de frecuencias. Naturalmente,

${\displaystyle {\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\left|f(t)\right|}^{2}dt=}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\left|F(\omega )\right|}^{2}d\omega }}$

Pulso rectangular

Sea un pulso rectangular tal que f(t) es cero excepto en el intervalo [-a,a] que vale A, tal como se muestra en la figura

La transformada de Fourier de f(t) vale

${\displaystyle \begin{array}{l}F(\omega )={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(t)\exp (-i\omega t)·dt}\\ F(\omega )={\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}A\exp (-i\omega t)·dt}=\frac{2A}{\omega }\sin (\omega a)\end{array}}$

>> syms a t w;
>> int('exp(-i*w*t)',t,-a,a)
ans =(2*sin(a*w))/w

Alternativamente, utilizamos la función fourier de MATLAB

syms a t;
ft=heaviside(t+a)-heaviside(t-a);
Fw=fourier(ft);
Fw=simplify(Fw)

ft=subs(ft,a,1);
subplot(2,1,1)
ezplot(ft,[-2,2]);
ylim([-0.2 1.2])
xlabel('t');
ylabel('f(t)')
title('Pulso rectangular')

Fw=subs(Fw,a,1);
subplot(2,1,2)
hg=ezplot(Fw,[-10,10]);
set(hg,'color','r')
ylim([-1 2.2])
xlabel('\omega');
ylabel('F(\omega)')
title('Transformada de Fourier')
grid on

En la figura vemos un pulso rectangular de semianchura a=1 y su transformada de Fourier

No es necesario utilizar Math Symbolic Toolbox para dibujar la función y su transformada de Fourier como vemos en este script.

t=[-2 -1 -1 1 1 2];
ft=[0 0 1 1 0 0];
subplot(2,1,1)
plot(t,ft,'b');
ylim([-0.2 1.2])
xlabel('t');
ylabel('f(t)')
title('Pulso rectangular')

fw=@(w) 2*sin(w+eps)./w;
subplot(2,1,2)
fplot(fw,[-10,10], 'color','r');
ylim([-1,2.2])
xlabel('\omega');
ylabel('F(\omega)')
grid on

Pulso triangular

${\displaystyle f(t)=\{\begin{array}{l}1+\frac{t}{a}-a\le t<0\\ 1-\frac{t}{a}0\le t<a\\ 0\text{otros }t\end{array}}$

La transformada de Fourier es

${\displaystyle \begin{array}{l}F(\omega )={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(t)\exp (-i\omega t)dt=}\\ {\displaystyle \underset{-a}{\overset{0}{\int }}\left(1+\frac{t}{a}\right)\exp (-i\omega t)dt}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\left(1-\frac{t}{a}\right)\exp (-i\omega t)dt=}\frac{4{\sin }^2\left(\omega a/2\right)}{a{\omega }^2}\end{array}}$

>> syms t a w;
>> f1=(1+t/a)*(heaviside(t+a)-heaviside(t))*exp(-i*w*t);
>> f2=(1-t/a)*(heaviside(t)-heaviside(t-a))*exp(-i*w*t);
>> Fw=int(f1,t,-a,0)+int(f2,t,0,a)
Fw =1/(a*w^2) - (1/exp(a*w*i))/(a*w^2) - (exp(a*w*i) - 1)/(a*w^2)
>> Fw=simplify(Fw)
Fw =(4*sin((a*w)/2)^2)/(a*w^2)

syms t;
ft=(1-t)*(heaviside(t)-heaviside(t-1))+(1+t)*(heaviside(t+1)-heaviside(t));
Fw=fourier(ft);
Fw=simplify(Fw)

subplot(2,1,1)
ezplot(ft,[-2,2]);
ylim([-0.2 1.2])
xlabel('t');
ylabel('f(t)')
title('Pulso triangular')

subplot(2,1,2)
hg=ezplot(Fw,[-10,10]);
set(hg,'color','r')
ylim([-0.1 1.1])
xlabel('\omega');
ylabel('F(\omega)')
title('Transformada de Fourier')
grid on

En la ventana de comandos aparece la transformada de Fourier, que es la misma que hemos deducido con a=1

>> Fw=-(2*cos(w) - 2)/w^2

Función exponencial

Transformada de Fourier de la función f(t)=Aexp(-γ|t|)

Primero, calculamos la transformada de Fourier de la función f(t)=Aexp(-γt)·u(t). La integración de f(t) se extiende entre 0 e ∞

${\displaystyle \begin{array}{l}F(\omega )={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}A{e}^{-\gamma t}{e}^{-i\omega t}dt=}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}A\exp \left(-(\gamma +i\omega )t\right)dt=}{-\frac{A}{\gamma +i\omega }\exp \left(-(\gamma +i\omega )t\right)|}_0^{\infty }=\\ \frac{A}{\gamma +i\omega }\gamma >0\end{array}}$

A continuación, tenemos en cuenta la propiedad de la transformada de Fourier de la función f(-t) es F(-ω), la transformada de las dos exponenciales es la suma

${\displaystyle F(\omega )=\frac{A}{\gamma +i\omega }+\frac{A}{\gamma -i\omega }=A\frac{2\gamma }{{\gamma }^2+{\omega }^2}}$

g=1;
ft=@(t) exp(-g*abs(t));
subplot(2,1,1)
fplot(ft,[-5,5],'color','b');
ylim([-0.1 1.1])
xlabel('t');
ylabel('f(t)')
title('Exponencial')

Fw=@(w) 2*g./(g^2+w.^2);
subplot(2,1,2)
fplot(Fw,[-10,10],'color','r');
ylim([-0.1 2.1])
xlabel('\omega');
ylabel('F(\omega)')
grid on

Oscilación amortiguada

En este ejemplo calculamos la trasnformada de Fourier de la función que describe una oscilación amortiguada que parte del instante t=0.

${\displaystyle f(t)=\exp (-\gamma t)\cos ({\omega }_{0}t)}$

Escribimos f(t) en forma equivalente y calculamos su transformada de Fourier

$$\begin{gathered} {\displaystyle \begin{array}{l}f(t)=\frac{1}{2}\exp (-\gamma t)\left(\exp (i{\omega }_{0}t)+\exp (-i{\omega }_{0}t)\right)\\ F(\omega )={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(t)\exp (-i\omega t)dt=} \\ \frac{1}{2}\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(-\gamma t-i(\omega -{\omega }_0)t\right)dt+{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(-\gamma t-i(\omega +{\omega }_0)t\right)dt}}\right)=\\ \frac{1}{2}{\left(\frac{\exp \left(-\gamma t-i(\omega -{\omega }_0)t\right)}{-\gamma -i(\omega -{\omega }_0)}+\frac{\exp \left(-\gamma t-i(\omega +{\omega }_0)t\right)}{-\gamma -i(\omega +{\omega }_0)}\right)}_0^{\infty }=\\ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\gamma +i(\omega -{\omega }_0)}+\frac{1}{\gamma +i(\omega +{\omega }_0)}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\gamma -i(\omega -{\omega }_0)}{{\gamma }^2+{(\omega -{\omega }_0)}^2}+\frac{\gamma -i(\omega +{\omega }_0)}{{\gamma }^2+{(\omega +{\omega }_0)}^2}\right)\end{array}} \end{gathered}$$

g=1; %amortiguamiento
w0=6; %frecuencia angular
ft=@(t) exp(-g*t).*cos(w0*t);
subplot(2,1,1)
fplot(ft,[0,5],'color','b');
ylim([-1 1.1])
xlabel('t');
ylabel('f(t)')
title('Oscilación amortiguada')

Fw=@(w) abs(((g-1i*(w-w0))./(g^2+(w-w0).^2)+(g-1i*(w+w0))./(g^2+(w+w0).^2))/2);
subplot(2,1,2)
fplot(Fw,[-10,10],'color','r');
ylim([-0.1 0.6])
xlabel('\omega');
ylabel('F(\omega)')
title('Transformada')
grid on

Como F(ω) es complejo, representamos el módulo

Función de Gauss

La función de Gauss es una de las funciones más importantes, se define

${\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\right)}$

donde μ es la media y σ es la desviación estándar de acuerdo con su interpretación estadística.

x=-5:0.05:5;
s2=[0.2,1,5,0.5]; %cuadrado de la desviación estándar
mu=[0,0,0,-2]; %media 
col=['b','g','r','k'];
hold on
for k=1:length(s2)
    y=exp(-(x-mu(k)).^2/(2*s2(k)))/sqrt(s2(k)*2*pi);
    str=sprintf('\\mu=%1.1f, \\sigma^2=%1.1f',mu(k),s2(k));
    plot(x,y,col(k),'displayName',str)
end
hold off
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
legend('-DynamicLegend','location','NorthEast')
title('Función de Gauss')
grid on

El máximo de la función se produce para x=μ. Denominamos Δx a la anchura de la función de Gauss para una ordenada igual a la mitad del máximo. Por ejemplo, en la curva de color verde el máximo vale y=0.4, aproximadamente. Determinamos el intervalo de valores de x, Δx cuya ordenada y≥0.2.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{x_1^2}{2{\sigma }^2}\right)\\ x_1=\sigma \sqrt{2\ln 2}\\ \Delta x=2\sigma \sqrt{2\ln 2}\end{array}}$

Sea f(t) una función de Gauss

${\displaystyle f(t)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{t^2}{2{\sigma }^2}\right){\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(t)·dt}=1}$

>> syms t;
>> syms s2 positive;
>> f=exp(-t^2/(2*s2))/(sqrt(2*pi*s2));
>> int(f,t,-inf,inf)
ans =1

Para calcular la transformada de Fourier tenemos que partir del resultado de la integral

${\displaystyle I={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp (-\alpha x^2)dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}}$

que se justifica del siguiente modo:

${\displaystyle \begin{array}{l}I={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp (-\alpha x^2)dx}I={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp (-\alpha y^2)dx}\\ I^2={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(-\alpha (x^2+y^2)\right)dx·dy}}\\ x^2+y^2=r^{2}dx·dy=r·dr·d\theta \\ I^2={\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(-\alpha r^2\right)r·dr·d\theta =}}\frac{\pi }{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(-\alpha r^2\right)r·dr=\frac{\pi }{4\alpha }}\\ I={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp (-\alpha x^2)dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}\end{array}}$

Con ayuda de este resultado calculamos la transformada de Fourier de un pulso descrito por una función de Gauss

${\displaystyle \begin{array}{l}F(\omega )={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(t)·\exp (-i\omega t)·dt}=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(-\frac{t^2}{2{\sigma }^2}\right)}\exp (-i\omega t)·dt=\\ \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(-\frac{t^2}{2{\sigma }^2}-i\omega t\right)}·dt\\ F(\omega )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{{\sigma }^2{\omega }^2}{2}\right){\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(-\frac{{(t+i{\sigma }^2\omega )}^2}{2{\sigma }^2}\right)}·dt\\ F(\omega )=\exp \left(-\frac{{\sigma }^2{\omega }^2}{2}\right)\end{array}}$

La tansformada de Fourier de una función de Gauss es otra función de Gauss

>> syms t;
>> syms s positive;
>> ft=exp(-t^2/(2*s^2))/(s*sym('sqrt(2*pi)'));
>> Fw=fourier(ft)
Fw =1/exp((s^2*w^2)/2)

Se sugiere comprobar que cuanto es mayor σ, más ancha es la curva f(t) y más estrecha es la curva F(ω) y viceversa.

sigma=2;
ft=@(t) exp(-t.^2/(2*sigma^2))/(sigma*sqrt(2*pi));
subplot(2,1,1)
fplot(ft,[-7,7],'color','b');
ylim([-0.05 0.25])
xlabel('t');
ylabel('f(t)')
title('Función de Gauss')
grid on

fw=@(w) exp(-w.^2*sigma^2/2);
subplot(2,1,2)
fplot(fw,[-7,7],'color','r');
ylim([-0.2,1.2])
xlabel('w');
ylabel('F(w)')
grid on

Función delta de Dirac δ(t)

La función delta de Dirac tiene la siguiente definición

${\displaystyle \begin{array}{l}\delta (t)=\{\begin{array}{l}0t\ne 0\\ \infty t=0\end{array}\\ {\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\delta (t)·dt=1}\\ {\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(t)\delta (t-a)·dt=f(a)}\end{array}}$

Se obtiene a partir de una función de Gauss cuyo parámetro σ tiende a cero

${\displaystyle \begin{array}{l}f(t)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{t^2}{2{\sigma }^2}\right)\\ \lim \underset{\sigma \to 0}{f(t,\sigma )}=\delta (t)\end{array}}$

Calculamos la transformada inversa de Fourier de la función delta de Dirac.

${\displaystyle \begin{array}{l}F(\omega )=2\pi ·\delta \left(\omega -{\omega }_0\right)\\ f(t)={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\delta \left(\omega -{\omega }_0\right)\exp (-i\omega t)dt}=\exp (-i{\omega }_{0}t){\displaystyle \underset{{\omega }_0^{+}}{\overset{{\omega }_0^{-}}{\int }}\delta \left(\omega -{\omega }_0\right)dt}=\exp (-i{\omega }_{0}t)\end{array}}$

F(ω) es cero para todos los valores de ω, excepto para ω=ω₀. El área bajo la curva δ(ω-ω₀) es la unidad.

>> syms w w0;
>> Fw=2*pi*dirac(w-w0);
>> ft=ifourier(Fw)
ft =exp(w0*x*i)

Teniendo en cuenta que

${\displaystyle \cos \left({\omega }_{0}t\right)=\frac{1}{2}\left(\exp (i{\omega }_{0}t)+\exp (-i{\omega }_{0}t)\right)}$

la transformada de Fourier F(ω)=π[δ(ω-ω₀)+δ(ω+ω₀)]

>> syms w w0;
>> Fw=pi*(dirac(w-w0)+dirac(w+w0));
>> ft=ifourier(Fw)
ft =(1/exp(w0*x*i))/2 + exp(w0*x*i)/2
>> simplify(ft) 
ans =cos(w0*x)

Tabla de transformadas de Fourier

>> ft=sym('1');
>> Fw=fourier(ft)
Fw =2*pi*dirac(w)

>> syms t;
>> ft=heaviside(t);
>> Fw=fourier(ft)
Fw =pi*dirac(w) - i/w
 
>> ft=dirac(t);
>> Fw=fourier(ft)
Fw =1

>> syms a positive;
>> ft=exp(-a*t)*heaviside(t);
>> Fw=fourier(ft)
Fw =1/(a + w*i)

>> ft=t*exp(-a*t)*heaviside(t);
>> Fw=fourier(ft)
Fw =1/(a + w*i)^2

Transformada de Fourier de una función periódica f(t) de semiperiodo P.

${\displaystyle f(t)={\displaystyle \sum _{-\infty }^{\infty }{c}_k\exp \left(ik\pi \frac{t}{P}\right)}F(\omega )=2\pi {\displaystyle \sum _{-\infty }^{\infty }{c}_k\delta \left(\omega -k{\omega }_0\right)}{\omega }_0=\frac{\pi }{P}}$

Transformada de f(t-T)

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(t-T)\exp \left(-i\omega t\right)dt}={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(\xi )\exp \left(-i\omega (\xi +T)\right)d\xi }=\\ \exp \left(-i\omega T\right){\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(\xi )\exp \left(-i\omega \xi \right)d\xi =}\exp \left(-i\omega T\right)F(\omega )\end{array}}$

Transformada de exp(iω₀t)f(t)

${\displaystyle {\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(t)\exp \left(i{\omega }_{0}t\right)\exp \left(-i\omega t\right)dt}={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(t)\exp \left(-i(\omega -{\omega }_0)t\right)dt}=F(\omega -{\omega }_0)}$

Transformada de f(at) para a>0

${\displaystyle {\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(at)\exp \left(-i\omega t\right)dt}=\frac{1}{a}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f(\xi )\exp \left(-i\omega \xi /a\right)d\xi }=\frac{1}{a}F\left(\frac{\omega }{a}\right)}$