Rectas y planos

Recta en el espacio (3D)

Una recta viene determinada por un punto A (x0,y0,z0) y un vector u, cuya dirección es la recta que pasa por los puntos A y P (x,y,z). Llamando v al vector de origen A y extremo P, tendremos que

v=tu{ x= x 0 +t u x y= y 0 +t u y z= z 0 +t u z

Considérese la recta r que pasa por el punto A (2,1,3) y tiene por vector director u (-1,1,2). Sus ecuaciones paramétricas son

{ x=2t y=1+t z=3+2t

El punto P(1,2,3) no está en la recta, pues el sistema

{ 2t=1 1+t=2 3+2t=3 { t=1 t=1 t=0

es incompatible. En cambio, el punto Q(-1,4,9) si está en la recta

{ 2t=1 1+t=4 3+2t=9 { t=3 t=3 t=3

t=[-0.5,3.5];
hold on
line(2-t,1+t,3+2*t)
plot3(2,1,3,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r');
plot3(1,2,3,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b');
plot3(-1,4,9,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b');
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Línea')
hold off
view(120,30)

En la figura, vemos el punto A de color rojo, los puntos P y Q de color azul, P no pertenece a la recta y Q si pertenece.

Seleccionado en el menú Tools/Rotate 3D o el icono, señalado en color rojo

con el ratón establecemos distintas vistas view de la figura tridimensional. A medida que actuamos con el puntero del ratón, en la parte inferior izquierda de la ventana, se muestran dos números Az: y El: que corresponden a los parámetros del comando view.

La eliminación del parámetro t da lugar a un sistema de dos ecuaciones lineales independientes

x x 0 u x = y y 0 u y = z z 0 u z

Por ejemplo, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta del ejemplo anterior, alternativamente

2x=y1= z3 2 { x+y=3 2x+z=7

x=[-1,3];
y=3-x;
z=7-2*x;
line(x,y,z)
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Recta')
view(120,30)

Obtenemos un representación gráfica similar de la recta

En general, escribimos la ecuación de la recta

{ a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 A = ( a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 )

donde el rango de la mariz A es dos. En el ejemplo, anterior

>> A=[1,1,0;2,0,1];
>> rank(A)
ans =     2

Recta que pasa por dos puntos

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos, A(2,-1 3) y B(5,0,4),.

A es el punto de coordenadas (x0,y0,z0) y el vector u tiene origen en A y extremo en B

x0=2, y0=-1; z0=3, ux=5-2, uy=0-(-1),uz=4-3

{ x = 2 + 3 t y = 1 + t z = 3 + t

>> ezplot3('2+3*t','-1+t','3+t',[-1,3]) 
>> view(120,30)

ezplot3 representa en tres dimensiones una función expresada en términos de un parámetro t: x(t), y(t) y z(t) en el intervalo 0<t<2π, por defecto o bien, en el intervalo [tmin,tmax] que se le indique explícitamente.

Plano en el espacio (3D)

Para calcular la ecuación de un plano en el espacio 3D es necesario conocer un punto A (x0,y0,z0) y dos vectores u y v linealmente independientes. Llamamos w al vector de origen A y extremo P (x,y,z)

w=tu+sv{ x= x 0 +t u x +s v x y= y 0 +t u y +s v y z= z 0 +t u z +s v z

Considérese el plano que pasa por el punto A(2,1,-1) y tiene por vectores directores u (1,-1,2) y v (-1,2,1). Sus ecuaciones paramétricas son:

{ x=2+ts y=1t+2s z=1+2t+s

tt=-0.5:0.1:1.5;
ss=-0.5:0.1:1.5;
hold on
[s,t]=meshgrid(ss,tt);
mesh(2+t-s,1-t+2*s,-1+2*t+s)
plot3(2,1,-1,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r');
plot3(4,3,-2,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b');
plot3(2,2,2,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b');
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Plano')
hold off
view(120,30)

El punto P (4,3,-2) no está en el plano, sin embargo, si lo está el punto Q(2,2,2).

Seleccionado en el menú Tools/Data Cursor o el icono, marcado en color rojo

Con el puntero del ratón señalamos un punto en el gráfico tridimensional y se nos proporcionan las coordenadas de dicho punto, tal como vemos en la figura.

El punto P (4,3,-2) no está en el plano por que el rango de la matriz de los coeficientes que es dos

{ 4=2+ts 3=1t+2s 2=1+2t+s { ts=2 t+2s=2 2t+s=3

por ser u y v dos vectores linealmente independientes no es igual al rango de la matriz ampliada

>> A=[1,-1;-1,2;2,1];
>> b=[2;2;-3];
>> rank(A)
ans =     2
>> Ab=[A b];
>> rank(Ab)
ans =     3
>> det(Ab)
ans =   -19

En el caso del punto Q (2,2,2)

{ 2=2+ts 2=1t+2s 2=1+2t+s { ts=0 t+2s=1 2t+s=3

>> A=[1,-1;-1,2;2,1];
>> b=[0;1;3];
>> rank(A)
ans =     2
>> Ab=[A b];
>> rank(Ab)
ans =     2
>> det(Ab)
ans = -1.1102e-015

En general, un punto P(x,y,z) pertenecerá al plano, si el determinante de la matriz ampliada es cero. Obtenemos la ecuación del plano, ax+by+cz+d=0

{ t u x +s v x =x x 0 t u y +s v y =y y 0 t u z +s v z =z z 0 | u x v x x x 0 u y v y y y 0 u z v z z z 0 |=0 | u y v y u z v z |(x x 0 )| u x v x u z v z |(y y 0 )+| u x v x u y v y |(z z 0 )=0 a(x x 0 )+b(y y 0 )+c(z z 0 )=0 ax+by+cz+d=0

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(2,1,0), B(1,1,3) y C(0,0,2).

A es el punto de coordenadas (x0,y0,z0), el vector u tiene origen en A y extremo en B, el vector v tiene origen en A y extremo en C.

x0=2, y0=1; z0=0, ux=1-2, uy=1-1,uz=3-0, vx=0-2, vy=0-1,vz=2-0.

{ x=2t2s y=1s z=3t+2s | 1 2 x2 0 1 y1 3 2 z |=0

>> syms x y z;
>> A=[-1,-2;0,-1;3,2];
>> b=[x-2;y-1;z];
>> Ab=[A b];
>> det(Ab)
ans =3*x - 4*y + z - 2

La ecuación del plano es 3x-4y+z-2=0

ezmesh representa en tres dimensiones una función expresada en términos de los parámetros t y s: x(t,s), y(t,s) y z(t,s) en el intervalo [tmin,tmax,smin,smax].

>> syms t s;
>> ezmesh('2-t-2*s','1-s','3*t+2*s',[-0.5,1.5,-0.5,1.5])
>> view(120,30)

Incidencia y paralelismo

Sean dos planos. Formemos la matriz A y la matriz ampliada Ab

{ a 1 x+ b 1 y+ c 1 z= d 1 a 2 x+ b 2 y+ c 2 z= d 2 A=( a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 )Ab=( a 1 b 1 c 1 d 1 a 2 b 2 c 2 d 2 )

Planos coincidentes

Dos planos coinciden si el rango de la matriz A y de la matriz Ab valen la unidad

Sean los planos: x-2y+z=1 y -3x+6y-3z=-3

>> A=[1,-2,1;-3,6,-3];
>> b=[1;-3];
>> Ab=[A b];
>> rank(A)
ans =     1
>> rank(Ab)
ans =     1

El segundo plano se obtiene multiplicando el primero por -3, por lo que coinciden

Planos paralelos

Dos planos son paralelos si el rango de la matriz A es uno pero no son coincidentes es decir, el rango de la matriz Ab es dos. Sean los planos: x-2y+z=1 y -2x+4y-2z=6

>> A=[1,-2,1;-2,4,-2];
>> b=[1;6];
>> Ab=[A b];
>> rank(A)
ans =     1
>> rank(Ab)
ans =     2

Representamos los planos

[x,y] = meshgrid(0:0.1:3);
z = 1-x+2*y;
hold on
mesh(x,y,z)
z = 3-x+2*y;
mesh(x,y,z)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Planos paralelos')
grid on
hold off
view(120,30)

Utilizamos la función ezmesh de MATLAB para hacer una representación similar

>> hold on
>> ezmesh('1-x+2*y',[-1,2,-1,2])
>> ezmesh('3-x+2*y',[-1,2,-1,2])
>> view(120,30)
>> hold off

Planos que se cortan

Sean los planos: x-y+z=2 y 2x-2y+z=1

Para determinar la recta intersección de los dos planos eliminamos z entre las dos ecuaciones, se obtiene y=x+1.

Eliminamos y entre las dos ecuaciones, se obtiene z=3

Se representan los planos y la recta intersección

%dos planos
[x,y] = meshgrid(0:0.1:3);
z = 2-x+y;
hold on
mesh(x,y,z)
z = 1-2*x+2*y;
mesh(x,y,z)
%recta intersección
x=[0,3];
y=x+1;
line(x,y,[3,3], 'color','k')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Planos que se cortan')
grid on
hold off
view(120,30)

Recta y plano

Sea la recta

{ a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 A = ( a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 )

donde el rango de la mariz A es dos.

y el plano,

a 3 x+ b 3 y+ c 3 z= d 3

La recta y el plano se denominan incidentes si tienen un punto P en común, se tiene que cumplir que

| a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 |0

Sea la recta y el plano

{ x+y=1 2xz=1 xy+z=1

>> A=[1 1,0;2,0,-1]; %recta
>> rank(A)
ans =     2
>> B=[A;[1,-1,1]]; %recta y plano
>> det(B)
ans =    -4
>> b=[1;1;1];
>> X=B\b
X =
    0.7500
    0.2500
    0.5000

Representamos la recta y el plano

%plano
[x,y] = meshgrid(0:0.1:3);
z = 1-x+y;
hold on
mesh(x,y,z)
%recta
mesh(x,y,z)
x=[-1,3];
y=1-x;
z=2*x-1;
line(x,y,z,'color','r')
%punto de intersección
B=[1,1,0;2,0,-1;1,-1,1];
b=[1;1;1];
X=B\b
plot3(X(1),X(2),X(3),'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b');
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Recta que corta a un plano')
grid on
hold off
view(120,30)

Si la recta y el plano no son incidentes se denominan paralelos y pueden ocurrir los siguientes casos:

Sea la matriz B

B=( a 1 b 1 c 1 d 1 a 2 b 2 c 2 d 2 a 3 b 3 c 3 d 3 )

  1. Que la recta esté contenida en el plano
  2. El rango de la matriz B será dos

  3. Que la recta no tenga puntos en común con el plano
  4. El rango de la matriz B será tres. El determinante

    | a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 |=0

Sea la recta y el plano

{ 2x+y+z=1 x2y+z=1 ax+6y+3z=b

Determinar el valor de a para que el plano sea paralelo a la recta.

>> syms a;
>> C=[2,1,1;1,-2,1;a,6,3];
>> solve(det(C),a)
ans =7

Comprobar que cuando el valor de b=5 el plano contiene a la recta.

El rango de la matriz B tiene que ser dos.

>> B=[2,1,1,1;1,-2,1,-1;7,6,3,5];
>> rank(B)
ans =     2
%plano
[x,y] = meshgrid(-1:0.1:3);
z=(5-7*x-6*y)/3;
mesh(x,y,z)
%recta
mesh(x,y,z)
x=[-1,3];
y=(2-x)/3;
z =(1-5*x)/3;
line(x,y,z,'color','k')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Recta paralela a un plano')
grid on
view(120,30)

Posiciones relativas de dos rectas

Sean dos rectas r1 y r2. Formamos la matriz A de los coeficientes y la matriz Ab ampliada.

r 1 { a 1 x+ b 1 y+ c 1 z= d 1 a 2 x+ b 2 y+ c 2 z= d 2 r 2 { a 3 x+ b 3 y+ c 3 z= d 3 a 4 x+ b 4 y+ c 4 z= d 4 A=( a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 a 4 b 4 c 4 )Ab=( a 1 b 1 c 1 d 1 a 2 b 2 c 2 d 2 a 3 b 3 c 3 d 3 a 4 b 4 c 4 d 4 )

Se pueden producir las situaciones siguientes:

rango Ab\rango A 2 3
2 Coincidentes Imposible
3 Paralelas. No coincidentes Secantes
4 Imposible Se cruzan

Las rectas se cruzan

Sean las rectas r1 y r2.

r 1 { x+y+z=1 2xy+z=2 r 2 { 2x+y+z=1 x+y+2z=2

Calculamos el rango de la matriz A y de la matriz ampliada Ab

>> A=[1,1,1;2,-1,1;2,1,1;1,1,2];
>> b=[1;2;1;2];
>> Ab=[A b];
>> rank(A)
ans =     3
>> rank(Ab)
ans =     4

Rectas secantes

r 1 { x+y+z=1 2xy+z=2 r 2 { x+y+z=1 x+2z=2

>> A=[1,1,1;2,-1,1;1,1,1;1,0,2];
>> b=[1;2;1;2];
>> Ab=[A b];
>> rank(A)
ans =     3
>> rank(Ab)
ans =     3

Vemos que la tercera ecuación es idéntica a la primera. Construimos la matriz de los coeficientes de las ecuaciones primera, segunda y cuarta, y el vector de los términos independientes de estas tres ecuaciones. Obtenemos el punto de intersección mediante el operador división por la izquierda.

>> A=[1,1,1;2,-1,1;1,0,2];
>> b=[1;2;2];
>> X=A\b
X =
    0.5000
   -0.2500
    0.7500

Representamos las rectas

x=[-2,2];
%primera recta
y=(x-1)/2;
z=3*(1-x)/2;
hold on
line(x,y,z,'color','r')
%segunda recta
y=-x/2;
z=(2-x)/2;
line(x,y,z,'color','k')
%Punto de intersección 
A=[1,1,1;2,-1,1;1,0,2];
b=[1;2;2];
X=A\b
plot3(X(1),X(2),X(3),'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b');
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Dos rectas')
hold off
view(120,30)

Rectas paralelas

r 1 { x+y+z=1 2xy+z=2 r 2 { x+y+z=1 x+4y+2z=2

>> A=[1,1,1;2,-1,1;1,1,1;1,4,2];
>> b=[1;2;1;2];
>> Ab=[A b];
>> rank(A)
ans =     2
>> rank(Ab)
ans =     3
x=[-2,2];
%primera recta
y=(x-1)/2;
z=3*(1-x)/2;
line(x,y,z,'color','r')
%segunda recta
y=x/2;
z=(2-3*x)/2;
line(x,y,z,'color','b')
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Dos rectas')
view(120,30)