Movimiento de rodar en el plano horizontal

Como se muestra en la figura, una rueda está girando con velocidad angular ω0 alrededor de su eje. Cae sobre un plano horizontal, desliza durante algún tiempo y luego, rueda sin deslizar. Determinaremos la velocidad final vf de su centro de masas y si depende o no del coeficiente de fricción μ entre el plano y la rueda.

Planteamos el problema de modo general. Un disco perfectamente rígido de masa m y de radio R que rueda sobre una superficie horizontal perfectamente rígida. Su velocidad inicial de traslación de su centro de masa v0 y la velocidad angular inicial de rotación alrededor de un eje que pasa por su centro de masa ω0. Determinar la velocidad angular ω, y la velocidad de su centro de masas v, cuando el disco rueda sin deslizar v=ω·R.

Ecuaciones de la dinámica

La única fuerza que actúa sobre el disco es la fuerza de rozamiento Fr en el punto P de contacto con el plano horizontal

Fr=μ·N=μ·mg

La velocidad del punto P en un instante cualquiera es

vP=vc-ω ·R

Hay dos posibles casos:

Primer caso, v00·R

La fuerza de rozamiento apunta hacia la izquierda. La ecuaciones del movimiento serán

El momento de inercia del disco Ic respecto de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro es I c = 1 2 m R 2

Resolviendo estas dos ecuaciones

v c = v 0 μgtω= ω 0 + 2μg R t

La velocidad de traslación del c.m. vc disminuye, aumenta la de rotación ω .

La velocidad del punto P del disco en contacto con el plano horizontal es

vP=vc-ω ·R=(v00·R)-3μ gt

El movimiento de rodar (sin deslizar) se establece cuando vP=0, es decir en el instante

t= 1 3μg ( v 0 ω 0 R )

 El desplazamiento s del c.m. y el desplazamiento angular θ, ángulo girado por el disco en el tiempo t son respectivamente

s= v 0 t 1 2 μg t 2 θ= ω 0 t+ 1 2 2μg R t 2

Segundo caso, v00·R

La fuerza de rozamiento apunta hacia la derecha. Las ecuaciones del movimiento serán

Resolviendo estas dos ecuaciones

v c = v 0 +μgtω= ω 0 2μg R t

La velocidad de traslación del c.m. vc aumenta, la velocidad de rotación ω disminuye

La velocidad del punto P del disco en contacto con el plano horizontal es

vP=vc-ω ·R=(v00·R)+3μ gt

El movimiento de rodar (sin deslizar) se establece cuando vP=0, es decir en el instante

t= 1 3μg ( ω 0 R v 0 )

El desplazamiento s del c.m. y el desplazamiento angular θ, ángulo girado por el disco en el tiempo t son respectivamente

s= v 0 t+ 1 2 μg t 2 θ= ω 0 t 1 2 2μg R t 2

Condición de rodar (sin deslizar)

Las velocidades finales en el momento en el que se alcanza el estado de movimiento de rodar (sin deslizar) son independientes del coeficiente μ de la fuerza de rozamiento.

v c = 2 3 v 0 + 1 3 ω 0 Rω= 1 3 ω 0 + 2 3 v 0 R

En el momento en el que se cumple la condición vc=ω ·R, la fuerza de rozamiento desaparece y el disco comienza una segunda etapa en su movimiento caracterizada por la constancia de la velocidad de traslación del c.m, vc y de la velocidad de rotación ω .

Balance energético

La energía inicial del disco es

E i = 1 2 m v 0 2 + 1 2 I c ω 0 2

La energía final del disco es

E f = 1 2 m v c 2 + 1 2 I c ω 2 = 1 2 m v c 2 + 1 2 1 2 m R 2 v c 2 R 2 = 3 4 m v c 2

Calculamos la diferencia entre la energía final y la inicial, e introducimos en la segunda expresión el valor hallado de vc en el instante t en el que el disco rueda (sin deslizar).

E f E i = 1 6 m ( v 0 ω 0 R ) 2

Calculamos ahora el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento

Actividades

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Observamos el movimiento del disco. Con flechas de color rojo se representan, la velocidad del cm. vc en cada instante y la velocidad del punto P de contacto entre el disco y el plano horizontal vP.

La velocidad vP puede ser inicialmente positiva o negativa dependiendo de que  v00·R ó v00·R. Al cabo de un cierto tiempo t la velocidad vP se hace cero y el disco rueda (sin deslizar), se cumple entonces vc=ω·R.

En la parte superior derecha, se muestran los siguientes datos:

En la parte superior, se representa en la misma gráfica en función del tiempo t

Observaremos, que dependiendo de que v00·R ó v00·R, una de las velocidades se incrementa y la otra disminuye hasta que adquieren un valor común después de un tiempo t.

En la parte superior izquierda se representa el diagrama de energías.

  1. La energía inicial dividida en dos sectores angulares
  2. La energía en cada instante dividida en dos sectores

Después de un cierto tiempo t en el que el disco rueda (sin deslizar) la energía cinética de rotación es la tercera parte de la energía total, tal como hemos demostrado en el apartado balance energético. La energía cinética de rotación final está representada por un sector de 120º, mientras que la de traslación está representada por un sector de 240º.

Observamos también, que la energía inicial es mayor que la final, la diferencia se pierde como trabajo de la fuerza de rozamiento.

  1. Comprobamos que la velocidad final de traslación del c.m. del disco viene dada por
  2. v c = 2 3 v 0 + 1 3 ω 0 R

  3. Comprobamos que el tiempo t que tarda en alcanzarse esta velocidad es
  4. t=± 1 3μg ( ω 0 R v 0 )

  5. Que a partir de dicho instante se cumple la condición de rodar (sin deslizar)
  6. vc=ω·R.