Como se muestra en la figura, una rueda está girando con velocidad angular ω₀ alrededor de su eje. Cae sobre un plano horizontal, desliza durante algún tiempo y luego, rueda sin deslizar. Determinaremos la velocidad final v_f de su centro de masas y si depende o no del coeficiente de fricción μ_k entre el plano y la rueda.

Planteamos el problema de modo general. Un disco perfectamente rígido de masa m y de radio R que rueda sobre una superficie horizontal perfectamente rígida. Su velocidad inicial de traslación de su centro de masa v₀ y la velocidad angular inicial de rotación alrededor de un eje que pasa por su centro de masa ω₀. Determinar la velocidad angular ω, y la velocidad de su centro de masas v, cuando el disco rueda sin deslizar v=ω·R.

Ecuaciones de la dinámica

La única fuerza que actúa sobre el disco es la fuerza de rozamiento F_r en el punto P de contacto con el plano horizontal

F_r=μ·N=μ_kmg

La velocidad del punto P en un instante cualquiera es

v_P=v_c-ω ·R

Hay dos posibles casos:

• v₀>ω₀·R, la fuerza de rozamiento apunta hacia la izquierda
• v₀<ω₀·R, la fuerza de rozamiento apunta hacia la derecha.

Primer caso, v₀>ω₀·R

La fuerza de rozamiento apunta hacia la izquierda. La ecuaciones del movimiento serán

• Movimiento de traslación del c.m.

m·a_c=-F_r

• Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

I_cα =F_r·R

El momento de inercia del disco I_c respecto de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro es $I_c=\frac{1}{2}m{R}^2$

Resolviendo estas dos ecuaciones

${\displaystyle v_c=v_0-{\mu }_{k}gt\omega ={\omega }_0+\frac{2{\mu }_{k}g}{R}t}$

La velocidad de traslación del c.m. v_c disminuye, aumenta la de rotación ω .

La velocidad del punto P del disco en contacto con el plano horizontal es

v_P=v_c-ωR=(v₀-ω₀R)-3μ_kgt

El movimiento de rodar (sin deslizar) se establece cuando v_P=0, es decir en el instante

${\displaystyle t=\frac{1}{3{\mu }_{k}g}\left(v_0-{\omega }_{0}R\right)}$

 El desplazamiento s del c.m. y el desplazamiento angular θ, ángulo girado por el disco en el tiempo t son respectivamente

${\displaystyle s=v_{0}t-\frac{1}{2}{\mu }_{k}g{t}^2\theta ={\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\frac{2{\mu }_{k}g}{R}{t}^2}$

Segundo caso, v₀<ω₀·R

La fuerza de rozamiento apunta hacia la derecha. Las ecuaciones del movimiento serán

• Movimiento de traslación del c.m.

M·a_c=F_r

• Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

I_cα =-F_r·R

Resolviendo estas dos ecuaciones

${\displaystyle v_c=v_0+{\mu }_{k}gt\omega ={\omega }_0-\frac{2{\mu }_{k}g}{R}t}$

La velocidad de traslación del c.m. v_c aumenta, la velocidad de rotación ω disminuye

La velocidad del punto P del disco en contacto con el plano horizontal es

v_P=v_c-ωR=(v₀-ω₀·R)+3μ_kgt

El movimiento de rodar (sin deslizar) se establece cuando v_P=0, es decir en el instante

${\displaystyle t=\frac{1}{3{\mu }_{k}g}\left({\omega }_{0}R-v_0\right)}$

El desplazamiento s del c.m. y el desplazamiento angular θ, ángulo girado por el disco en el tiempo t son respectivamente

${\displaystyle s=v_{0}t+\frac{1}{2}{\mu }_{k}g{t}^2\theta ={\omega }_{0}t-\frac{1}{2}\frac{2{\mu }_{k}g}{R}{t}^2}$

Condición de rodar (sin deslizar)

Las velocidades finales en el momento en el que se alcanza el estado de movimiento de rodar (sin deslizar) son independientes del coeficiente μ_k de la fuerza de rozamiento.

${\displaystyle v_c=\frac{2}{3}{v}_0+\frac{1}{3}{\omega }_{0}R\omega =\frac{1}{3}{\omega }_0+\frac{2}{3}\frac{v_0}{R}}$

En el momento en el que se cumple la condición v_c=ω ·R, la fuerza de rozamiento desaparece y el disco comienza una segunda etapa en su movimiento caracterizada por la constancia de la velocidad de traslación del c.m, v_c y de la velocidad de rotación ω .

La velocidad final es independiente de la fuerza F_r. En general, las velocidades (de traslación y rotación) en el instante t en el que se establece la condición de rodar sin deslizar son

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_c=v_0+\frac{1}{m}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}F(t)·dt}\\ \omega ={\omega }_0-\frac{R}{I_c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}F(t)·dt}\end{array}}$

Cumplen que v_c=ω·R. Eliminando la integral (impulso)

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}F(t)·dt}=\frac{{\omega }_{0}R-v_0}{\frac{1}{m}+\frac{R^2}{I_c}}}$

La velocidad final de traslación del centro de masas de la rueda (I_c=mR²/2) es

${\displaystyle v_c=v_0+\frac{1}{m}\frac{{\omega }_{0}R-v_0}{\frac{1}{m}+\frac{R^2}{I_c}}=\frac{2}{3}{v}_0+\frac{1}{3}{\omega }_{0}R}$

Balance energético

La energía inicial del disco es

${\displaystyle E_i=\frac{1}{2}m{v}_0^2+\frac{1}{2}{I}_c{\omega }_0^2}$

La energía final del disco es

${\displaystyle E_f=\frac{1}{2}m{v}_c^2+\frac{1}{2}{I}_c{\omega }^2=\frac{1}{2}m{v}_c^2+\frac{1}{2}\frac{1}{2}m{R}^2\frac{v_c^2}{R^2}=\frac{3}{4}m{v}_c^2}$

Calculamos la diferencia entre la energía final y la inicial, e introducimos en la segunda expresión el valor hallado de v_c en el instante t en el que el disco rueda (sin deslizar).

${\displaystyle E_f-E_i=-\frac{1}{6}m{\left(v_0-{\omega }_{0}R\right)}^2}$

Calculamos ahora el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento

• Primer caso, v₀>ω₀·R

La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de traslación y favorece el movimiento de rotación

W=-F_r·s+M_r·θ =-mμ_kg(s-Rθ)

Calculamos los valores de s y θ en el instante t en el que el disco rueda (sin deslizar) y comprobamos, después de hacer algunas operaciones, que

W=E_f-E_i

• Segundo caso, v₀<ω₀·R

La fuerza de rozamiento favorece el movimiento de traslación y se opone al movimiento de rotación

W=F_r·s-M_r·θ =-mμ_kg(-s+Rθ)

Calculamos los valores de s y θ en el instante t en el que el disco rueda (sin deslizar) y comprobamos, después de hacer algunas operaciones, que

W=E_f-E_i

Actividades

Se introduce:

• Velocidad inicial de traslación del c.m. v₀ (un número positivo), en el control titulado V. traslación
• Velocidad inicial de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. ω₀ (un número positivo o negativo), en el control titulado V. rotación
• El coeficiente μ_k de la fuerza de rozamiento por deslizamiento, en el control titulado Coef. rozamiento
• El radio R del disco está fijado por el programa interactivo en R=1

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Observamos el movimiento del disco. Con flechas de color rojo se representan, la velocidad del cm. v_c en cada instante y la velocidad del punto P de contacto entre el disco y el plano horizontal v_P.

La velocidad v_P puede ser inicialmente positiva o negativa dependiendo de que  v₀>ω₀·R ó v₀<ω₀·R. Al cabo de un cierto tiempo t la velocidad v_P se hace cero y el disco rueda (sin deslizar), se cumple entonces v_c=ω·R.

En la parte superior derecha, se muestran los siguientes datos:

• Tiempo t
• Velocidad angular de rotación ω
• Velocidad de traslación del c.m. v_c
• Velocidad del punto P de contacto del disco con el plano horizontal v_P

En la parte superior, se representa en la misma gráfica en función del tiempo t

• En color azul, la velocidad ω·R de rotación
• En color rojo, la velocidad v_c de traslación

Observaremos, que dependiendo de que v₀>ω₀·R ó v₀<ω₀·R, una de las velocidades se incrementa y la otra disminuye hasta que adquieren un valor común después de un tiempo t.

En la parte superior izquierda, se representa el diagrama de energías.

1. La energía inicial dividida en dos sectores angulares
• El sector azul, es la energía cinética de rotación
• El sector rojo, es la energía cinética de traslación
2. La energía en cada instante dividida en dos sectores
• El sector azul claro, es la energía cinética de rotación
• El sector rosa, es la energía cinética de traslación

Después de un cierto tiempo t en el que el disco rueda (sin deslizar), la energía cinética de rotación es la tercera parte de la energía total, tal como hemos demostrado en el apartado balance energético. La energía cinética de rotación final está representada por un sector de 120º, mientras que la de traslación está representada por un sector de 240º.

Observamos también, que la energía inicial es mayor que la final, la diferencia se pierde como trabajo de la fuerza de rozamiento.

1. Comprobamos que la velocidad final de traslación del c.m. del disco viene dada por

${\displaystyle v_c=\frac{2}{3}{v}_0+\frac{1}{3}{\omega }_{0}R}$

2. Comprobamos que el tiempo t que tarda en alcanzarse esta velocidad es

${\displaystyle t=\pm \frac{1}{3{\mu }_{k}g}\left({\omega }_{0}R-v_0\right)}$

3. Que a partir de dicho instante se cumple la condición de rodar (sin deslizar)

v_c=ω·R.

Ejemplos

En este apartado, se resuelven tres problemas interesantes

Problema 1

Una esfera (I_c=2mr²/5) rueda sin deslizar v₀=ω₀r, sobre un plano horizontal rugoso (con rozamiento) con velocidad v₀=7 m/s hacia un plano vertical liso. Si el coeficiente de restitución entre el plano vertical y la esfera es ε=0.7, calcular la velocidad final de la esfera después de que se restablezca la condición de rodar sin deslizar.

Movimiento de rodar deslizando

Inmediatamente después del choque, la velocidad de traslación del c.m. es εv₀, la velocidad angular de rotación ω₀=v₀/r no ha cambiado. Deja de cumplirse la condición de rodar sin deslizar. Aparece una fuerza de rozamiento F_r=μ_kN=μ_kmg que va a restablecer dicha condición

Ecuaciones del movimiento

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}-F_r=m{a}_c\\ F_r·r=\left(\frac{2}{5}m{r}^2\right)\alpha \end{array}\\ \{\begin{array}{l}{a}_c=-{\mu }_{k}g\\ \alpha =\frac{5{\mu }_{k}g}{2r}\end{array}\end{array}}$

La velocidad v del centro de masa y la velocidad angular de rotación ω en el instante t son

${\displaystyle \begin{array}{l}v=\epsilon v_0-{\mu }_{k}gt\\ \omega =-{\omega }_0+\frac{5{\mu }_{k}g}{2r}t\end{array}}$

La condición de rodar sin deslizar v=ωr, se restablece en el instante t

${\displaystyle \begin{array}{l}\epsilon v_0-{\mu }_{k}gt=\left(-{\omega }_0+\frac{5{\mu }_{k}g}{2r}t\right)r\\ t=\frac{2(1+\epsilon )}{7}\frac{v_0}{{\mu }_{k}g}\end{array}}$

La velocidad final v del centro de masas es

${\displaystyle \begin{array}{l}v=\epsilon v_0-{\mu }_{k}g\frac{2(1+\epsilon )}{7}\frac{v_0}{{\mu }_{k}g}\\ v=\frac{1}{7}\left(5\epsilon -2\right)v_0=\frac{3}{14}{v}_0=1.5\text{m/s}\end{array}}$

A partir de este instante t, la esfera rueda sin deslizar con velocidad constante

Problema 2

Sea un cilindro macizo (I=mr²/2) de masa m y radio r y una plataforma de masa 2m y longitud 12 m que puede deslizar sobre el plano horizontal sin rozamiento. El coeficiente de rozamiento cinético entre el cilindro y la plataforma es μ=0.1

La velocidad del c.m. del cilindro cuando entra en la plataforma es v₀=7 m/s, la velocidad angular de rotación es nula, ω₀=0.

Calcular el tiempo que tarda el cilindro en recorrer la plataforma (tómese g=10 m/s²)

Cuando el cilindro se pone sobre la plataforma, no se cumple la condición de rodar sin deslizar, aparece una fuerza de rozamiento F_r=μN=μmg que restaura dicha condición.

Calculamos la aceleración del c. m. cilindro y la aceleración angular respecto del eje del cilindro

${\displaystyle \{\begin{array}{l}m{a}_c=-\mu mg,a_c=-\mu g\\ \left(\frac{1}{2}m{r}^2\right)\alpha =\mu mgr,\alpha =\frac{2\mu g}{r}\end{array}}$

La aceleración de la plataforma es

${\displaystyle 2m{a}_p=\mu mg,a_p=\frac{\mu g}{2}}$

La aceleración del c.m. del cilindro respecto de la plataforma es

${\displaystyle a=a_c-a_p=-\frac{3}{2}\mu g}$

es una aceleración que disminuye la velocidad de traslación del centro de masas. La velocidad de la cilindro respecto de la plataforma es

${\displaystyle v=v_0-\frac{3}{2}\mu g·t}$

Por otra parte, la velocidad angular de rotación se incrementa

${\displaystyle \omega =\alpha t=\frac{2\mu g}{r}t}$

Se establece la condición de rodar sin deslizar, en el instante t en el que v=ωr

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_0-\frac{3}{2}\mu g·t=r\left(\frac{2\mu g}{r}t\right)\\ t=\frac{2v_0}{7\mu g}\end{array}}$

En este tiempo, el c.m. del cilindro se ha desplazado sobre la plataforma

${\displaystyle x=v_{0}t+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}\mu g\right)t^2=v_0\frac{2v_0}{7\mu g}-\frac{3}{4}\mu g{\left(\frac{2v_0}{7\mu g}\right)}^2=\frac{11}{49}\frac{v_0^2}{\mu g}}$

La velocidad del c.m. del cilindro en ese instante t es

${\displaystyle v=v_0-\frac{3}{2}\mu g\left(\frac{2v_0}{7\mu g}\right)=\frac{4}{7}{v}_0}$

Con los datos del problema, v₀=7 m/s, μ=0.1, los resultados son: t=2 s, v=4 m/s y x=11 m

Rueda sin deslizar

En el instante t=2 s y en la posición x=11 m sobre la plataforma, se establece la condición de que el cilindro rueda sin deslizar. A partir de ese instante, el cilindro rueda con velocidad constante v=4 m/s tardando un tiempo t=1/4 s en llegar al final de la plataforma.

El tiempo total que el cilindro está sobre la plataforma es t=2+1/4=2.25 s

Problema 3

Sea un esfera maciza (I_c=2mr²/5) de masa m y radio r y una plataforma de masa m, suficientemente larga. La plataforma puede deslizar sobre el plano horizontal sin rozamiento. El coeficiente de rozamiento cinético entre el cilindro y la plataforma es μ

La velocidad angular de la esfera cuando se pone sobre la plataforma es ω₀, la velocidad de traslación del c.m. de la esfera es nula, v₀=0.

Calcular el desplazamiento de la plataforma hasta el instante en el que se establece la condición de rodar sin deslizar

Cuando la esfera se pone sobre la plataforma, no se cumple la condición de rodar sin deslizar, aparece una fuerza de rozamiento F_r=μN=μmg que restaura dicha condición.

Calculamos la aceleración del c. m. de la esfera y su aceleración angular alrededor del eje que pasa por el c.m.

${\displaystyle \{\begin{array}{l}m{a}_c=\mu mg,a_c=\mu g\\ \left(\frac{2}{5}m{r}^2\right)\alpha =-\mu mgr,\alpha =-\frac{5\mu g}{2r}\end{array}}$

La aceleración de la plataforma es

${\displaystyle m{a}_p=-\mu mg,a_p=-\mu g}$

La aceleración del c.m. de la esfera respecto de la plataforma es

${\displaystyle a=a_c-a_p=2\mu g}$

es una aceleración que aumenta la velocidad de traslación del centro de masas. La velocidad de la esfera respecto de la plataforma es

${\displaystyle v=2\mu g·t}$

Por otra parte, la velocidad angular de rotación disminuye

${\displaystyle \omega ={\omega }_0-\frac{5\mu g}{2r}t}$

Se establece la condición de rodar sin deslizar, en el instante t en el que v=ωr

${\displaystyle \begin{array}{l}2\mu g·t=r\left({\omega }_0-\frac{5\mu g}{2r}t\right)\\ t=\frac{2r{\omega }_0}{9\mu g}\end{array}}$

En este tiempo, la plataforma se ha desplazado hacia la izquierda

${\displaystyle x=\frac{1}{2}\left(-\mu g\right)t^2=-\frac{1}{2}\mu g{\left(\frac{2r{\omega }_0}{9\mu g}\right)}^2=-\frac{2}{81}\frac{r^2{\omega }_0^2}{\mu g}}$

Referencias

Indian National Physics Olympiad. Homi Bhabha Centre for Science Eduaction. Solved papers NSEP & INPhO, 2016-2018,

• Ejemplo 19, enunciado, 165, solución, 178
• Ejemplo 13, enunciado, 164, solución, 176-177
• Ejemplo 18, enunciado, 165, solución, 178