Movimiento de rodar en un plano inclinado (I)

Movimiento de rodar sin deslizar

Ecuaciones de la dinámica

Examinaremos el movimiento de un cuerpo (un aro, un cilindro o una esfera) que rueda a lo largo de un plano inclinado.

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son:

Descomponemos el peso en una fuerza a lo largo del plano y otra perpendicular al plano inclinado. Las ecuaciones del movimiento son la siguientes:

Si conocemos el ángulo de inclinación θ  y el momento de inercia Ic del cuerpo que rueda, calculamos ac y el valor de la fuerza de rozamiento Fr.

Cuerpo Momento de inercia
Esfera 2 5 m R 2
Aro mR2
Cilindro 1 2 m R 2

Expresamos el momento de inercia Ic=k·mR2 donde k es un factor geométrico 2/5 para la esfera, 1/2 para el cilindro y 1 para el aro.

a c = g·sinθ 1+k F r =k mg·sinθ 1+k

Si deseamos calcular la velocidad del cuerpo después de haber recorrido una longitud x a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo, empleamos las ecuaciones de la del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

x= 1 2 a C t 2 v C = a C t

La velocidad final vc del c. m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado es

v c 2 =2 a c x= 2gsinθ 1+k x= 2gh 1+k

Siendo h la altura de partida del cuerpo referida a la posición final, h=x·senθ

Balance de energía

El trabajo en el movimiento de traslación es

Wt=(mgsinθ -Fr)x=mgh-Frx

El trabajo en el movimiento de rotación es

Wr=Mφ =FrRφ =Frx

El trabajo total es

W=mgh

Como vemos la fuerza de rozamiento en el movimiento de rodar produce dos trabajos de la misma magnitud pero de signos opuestos. Esta es la razón por la que no tenemos que incluir el trabajo de la fuerza de rozamiento en el balance de energía.

El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo modifica su energía cinética (de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.)

mgh= 1 2 m v C 2 + 1 2 I C ω 2

La velocidad final vc del c. m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado es la misma que hemos calculado a partir de la dinámica.

mgh= 1 2 m v c 2 + 1 2 km R 2 v c 2 R 2 v c 2 = 2gh 1+k

El cuadrado de la velocidad del c.m. vc es proporcional a la altura inicial h. Comprobaremos esta relación en el programa interactivo al final de esta página.

Movimiento de rodar con deslizamiento

Cuando un cuerpo rueda sin deslizar, la fuerza de rozamiento Fr es desconocida y se calcula resolviendo las ecuaciones del movimiento, tal como hemos visto en el apartado movimiento de rodar sin deslizar

F r =k mgsinθ 1+k

Para que haya movimiento de rodar sin deslizar se tiene que cumplir que Fr≤ µs·N

Donde µs es el coeficientede rozamiento estático que depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto, la rueda y el carril, y N la reacción del plano inclinado N=mg·cosθ .

El cuerpo rueda por el plano inclinado sin deslizar hasta un determinado ángulo límite, aquél en el que se cumple que

μ s ktanθ 1+k

Ecuaciones de la dinámica

Si no se cumple esta condición el cuerpo rueda y desliza, la fuerza de rozamiento toma el valor f=µk·N. Donde µk es el coeficiente cinético.

Las ecuaciones del movimiento del centro de masa del cuerpo son ahora:

Despejamos ac y α

a c =g(sinθ μ k cosθ)α= g μ k cosθ k·R

Se deja de cumplir la condición de rodar sin deslizar ac=α·R.

La velocidad final vc del c. m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado después de haber recorrido una distancia x, o haber descendido una altura h.

v c 2 =2 a c x=2gh(1 μ k cotθ)

La velocidad angular ω del cuerpo después de haber girado un ángulo φ es

ω 2 =2αφ= 2g μ k cosθ k·R φ

Balance energético

La energía inicial del cuerpo es la energía potencial mgh

La energía final del cuerpo es la suma de la energía cinética de traslación del c.m., más la energía cinética de rotación alrededor del c.m.

1 2 m v c 2 + 1 2 I c ω 2 = 1 2 m( v c 2 +k R 2 ω 2 )

Trabajo Wr de la fuerza de rozamiento f=µk·mg·cosθ

El trabajo total es

W r = μ k ·mgcosθ(xRφ)= μ k ·mgcosθ(xR ω 2 2α )= μ k ·mgcosθ h senθ + 1 2 mk R 2 ω 2

El trabajo de la fuerza de rozamiento modifica la energía del cuerpo y es igual a la diferencia entre la energía final e inicial del cuerpo, Wr=Ef-Ei

μ k ·mgcosθ h senθ + 1 2 mk R 2 ω 2 = 1 2 m( v c 2 +k R 2 ω 2 )mgh v c 2 =2gh(1 μ k cotθ)

Se anula el trabajo de la fuerza de rozamiento correspondiente al movimiento de rotación f·R·φ con la energía cinética de rotación. Obtenemos la misma expresión para la velocidad del c.m. vc que la deducida a partir de las ecuaciones de la dinámica.

Velocidad final del c.m. en función de la altura h

El ángulo crítico se calcula mediante la fórmula

tan θ c = μ s (1+k) k

Ejemplo:

El ángulo crítico θc =24.2º

En la figura, se representa en el eje horizontal las alturas h de partida del cuerpo h=x·sinθ. En el eje vertical, los cuadrados de la velocidad del c.m. del cuerpo.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

En la parte derecha, se representa en un diagrama en forma de tarta la energía potencial, la energía cinética de rotación y la energía cinética de traslación del c.m.


Referencias

Basta, Di Gennaro, Piccciarelli. A desktop apparatus for studying rolling motion. Phys. Educ. 34 (6) November 1999, pp. 371-375

Carvalho P. S., Sampaio e Sousa A. An inexpensive technique to measure coefficients of friction with rolling solids. The Physcis Teacher, Vol 43, November 2005, pp. 548-550