Un cilindro rueda sin deslizar sobre una cúpula cóncava móvil
Principios de conservación

En la figura, observamos la posición inicial de un cilindro de masa m y de radio r que se suelta en la posición angular θ0, rueda sin deslizar a lo largo de la cúpula. En el instante t la velocidad de su centro de masa es (R-r)dθ/dt, cuya dirección es tangente a la circunferencia de radio R-r
La cúpula de masa M y radio R desliza sobre el plano horizontal sin rozamiento. En el instante inicial t=0 está en reposo y en el instante t lleva una velocidad V
Conservación de la energía
La energía total se mantiene constante e igual a la inicial
En el instante t, la velocidad de la cúpula es V en la dirección horizontal, la velocidad relativa del c. m. del cilindro respecto de la cúpula invertida es (R-r)dθ/dt, en la dirección tangencial. La velocidad del c. m. del cilindro respecto del Sistema de Referencia Inercial, es la suma vectorial de estas dos velocidades como se indica en la parte derecha de la figura.
La energía cinética del cilindro es la suma de la energía cinética de traslación del centro de masas y la energía cinética de rotación alrededor del eje que pasa por su centro con velocidad angular ω
La energía potencial de la partícula es mg(R-r)(1-cosθ)
La energía cinética de la cúpula es MV2/2
La energía en el instante t es
La condición de de que el cilindro ruede sin deslizar es
Igualamos la energía inicial a la energía del sistema en el instante t
Conservación del momento lineal
El peso y la reacción del plano horizontal sobre el que desliza la cúpula son las fuerzas externas que actúan sobre el sistema formado por el cúpula semiesférica y el cilindro. No hay fuerzas externas en la dirección horizontal por lo que el momento lineal en esta dirección, se conserva
(R-r)·(dθ/dt)cosθ es la componente horizontal de la velocidad relativa del c m. del cilindro. Véase la figura
En este sistema de dos ecuaciones, eliminamos la velocidad de la cúpula V y despejamos la velocidad relativa (R-r)·dθ/dt del c. m. del cilindro
Ecuaciones del movimiento
Ecuaciones del movimiento del cilindro
Las fuerzas que actúan sobreel cilindro son
- el peso mg
- la reacción de la cúpula N, la fuerza que ejerce la cúpula sobre el cilindro
- La fuerza de rozamiento, Fr<μsN
El c. m. del cilindro describe un movimiento circular de radio R-r con aceleraciones relativas
- En la dirección tangencial,
- En la dirección normal,
A estas aceleraciones hay que sumarle vectorialmente la aceleración a de la cúpula
La ecuación del movimiento de traslación del c. m. en la dirección tangencial es
La ecuación del movimiento del traslación del c. m. en la dirección normal es
La ecuación del movimiento de rotación alrededor del eje que pasa por su c. m.
La condición de que el cilindro rueda sin deslizar
Ecuación del movimiento de la cúpula

La fuerza que ejerce el cilindro sobre la cúpula es N y Fr pero de sentido contrario. La ecuación del movimiento de la cúpula es
Sustituimos la fuerza de rozamiento Fr en la ecuación del movimiento de la cúpula y en la ecuación del movimiento del c. m. en la dirección tangencial
Despejamos la reacción N en la primera de estas dos últimas ecuaciones y la sustituimos en la ecuación del movimiento en la dirección normal. A continuación, despejamos la aceleración a de la cúpula
Sustituimos la aceleración a de la cúpula en la ecuación del movimiento del c. m. en la dirección tangencial
Llegando a la ecuación diferencial
Resolveremos esta ecuación del movimiento mediante procedimientos numéricos, sabiendo que en el instante t=0, el c. m. del cilindro parte de la posición θ=θ0, en reposo.
Ecuaciones de Lagrange
Posición
Velocidad
La energía cinética del cilindro (traslación del c. m. y rotación) y de la cúpula
La energía potencial del c. m. del cilindro
La posición del centro de la cúpula semiesférica y del c. m. del cilindrorespecto del Sistema de Referencia Inercial
Derivando respecto del tiempo obtenemos el vector velocidad de la cúpula y del c. m. del cilindro
La lagrangiana
Las ecuaciones del movimiento
Hay una cantidad que se mantiene constante e igual a su valor inicial, el momento lineal horizontal, que es nulo, ya que el c. m. del cilindro y la cúpula estan en reposo en el instante t=0
La segunda ecuación del movimiento es
Derivamos la ecuación de la conservación del momento lineal respecto del tiempo
y en la segunda ecuación del movimiento, sustituimos la aceleración de la cúpula
Obteniendo la misma ecuación diferencial que aplicando la Segunda Ley de Newton
Movimiento de los cuerpos
En este apartado describimos el movimiento de la cúpula y la partícula
Movimiento relativo del c. m. del cilindro
Resolvemos la ecuación diferencial por el procedimiento
Representamos la posición θ del c. m. del cilindro θ que rueda sin deslizar sobre la cúpula en función del tiempo t
R=1; %radio de la cúpula r=0.125; %radio del cilindro m=0.2; %masa partícula M=1; %masa cúpula th_0=pi/3; %posición inicial f=@(t,x) [x(2); -(m*(R-r)*x(2)^2*cos(x(1))*sin(x(1))+(m+M)*9.8*sin(x(1))) /((R-r)*(3*M+m+2*m*sin(x(1))^2)/2)]; [t,x]=ode45(f,[0,2],[th_0,0]); plot(t,x(:,1)*180/pi) grid on xlabel('t') ylabel('\theta') title('Movimiento del cilindro') %energías E0=m*9.8*(R-r)*(1-cos(th_0)); %inicial V=-m*(R-r)*x(:,2).*cos(x(:,1))/(m+M); %velocidad cúpula E=3*m*(R-r)^2*x(:,2).^2/4+m*(R-r)*x(:,2).*V.*cos(x(:,1))+(m+M)*V.^2/2+ m*9.8*(R-r)*(1-cos(x(:,1)));
Comprobamos la conservación de la energía
E0 = 0.8575 >> E E = 0.8575 0.8575 .... 0.8574 0.8574
Movimiento de la cúpula
No es necesario resolver la ecuación diferencial en x para calcular la posición del centro de la cúpula. En este sistema de dos partículas, el centro de masas permanece fijo, ya que el cilindro y la cúpula parten del reposo
Añadimos esta porción de código, para representar la posición del centro de la cúpula x en función del tiempo
... figure xx=-m*(R-r)*sin(x(:,1))/(m+M); plot(t,xx) grid on xlabel('t') ylabel('x') title('Movimiento de la cúpula invertida móvil')
De modo similar, la velocidad de la cúpula es
Añadimos esta porción de código, para representar la velocidad del centro de la cúpula V en función del tiempo
... figure plot(t,V) grid on xlabel('t') ylabel('V') title('Movimiento de la cúpula invertida móvil')
Actividades
Se introduce
- El cociente de las masas m/M de la partícula y la masa de la cúpula, en el control titulado Cociente masas
- La posición angular inicial de partida de la partícula (en grados) en el control titulado Angulo
Se pulsa el botón titulado Nuevo
En la parte superior, se proporcionan los siguientes datos:
- El tiempo t
- la posición angular θ del c. m. del cilindro
- la velocidad angular dθ/dt del c. m. del cilindro
- la energía del sistema que permenece constante
- la posición del centro de la cúpula en cm
Referencias
HE Qin,XIE Bing-chuan. The period of vibration of a homogeneous cylinder in a non-fixed inner semicylindrical surface. College Physics Volume 26, Issue 11, 20 November 2007