Un cilindro rueda sin deslizar sobre una cúpula cóncava móvil

Principios de conservación

En la figura, observamos la posición inicial de un cilindro de masa m y de radio r que se suelta en la posición angular θ0, rueda sin deslizar a lo largo de la cúpula. En el instante t la velocidad de su centro de masa es (R-r)dθ/dt, cuya dirección es tangente a la circunferencia de radio R-r

La cúpula de masa M y radio R desliza sobre el plano horizontal sin rozamiento. En el instante inicial t=0 está en reposo y en el instante t lleva una velocidad V

Conservación de la energía

La energía total se mantiene constante e igual a la inicial

E 0 =mgR( 1cos θ 0 )

En el instante t, la velocidad de la cúpula es V en la dirección horizontal, la velocidad relativa del c. m. del cilindro respecto de la cúpula invertida es (R-r)dθ/dt, en la dirección tangencial. La velocidad del c. m. del cilindro respecto del Sistema de Referencia Inercial, es la suma vectorial de estas dos velocidades como se indica en la parte derecha de la figura.

La energía cinética del cilindro es la suma de la energía cinética de traslación del centro de masas y la energía cinética de rotación alrededor del eje que pasa por su centro con velocidad angular ω

1 2 m{ ( R dθ dt +Vcosθ ) 2 + V 2 sin 2 θ }+ 1 2 ( 1 2 m r 2 ) ω 2

La energía potencial de la partícula es mg(R-r)(1-cosθ)

La energía cinética de la cúpula es MV2/2

La energía en el instante t es

E= 1 2 m{ ( R dθ dt +Vcosθ ) 2 + V 2 sin 2 θ }+ 1 2 M V 2 + 1 2 ( 1 2 m r 2 ) ω 2 +mg( Rr )( 1cosθ )

La condición de de que el cilindro ruede sin deslizar es

( Rr ) dθ dt =ωr

Igualamos la energía inicial a la energía del sistema en el instante t

mg( Rr )( 1cos θ 0 )= 1 2 m{ ( Rr ) 2 ( dθ dt ) 2 +2( Rr ) dθ dt Vcosθ }+ 1 2 ( M+m ) V 2 + 1 4 m ( Rr ) 2 ( dθ dt ) 2 +mg( Rr )( 1cosθ ) mg( Rr )( cosθcos θ 0 )= 3 4 m ( Rr ) 2 ( dθ dt ) 2 +m( Rr ) dθ dt Vcosθ+ 1 2 ( M+m ) V 2

Conservación del momento lineal

El peso y la reacción del plano horizontal sobre el que desliza la cúpula son las fuerzas externas que actúan sobre el sistema formado por el cúpula semiesférica y el cilindro. No hay fuerzas externas en la dirección horizontal por lo que el momento lineal en esta dirección, se conserva

m( V+( Rr ) dθ dt cosθ )+MV=0 V= m m+M ( Rr ) dθ dt cosθ

(R-r)·(dθ/dt)cosθ es la componente horizontal de la velocidad relativa del c m. del cilindro. Véase la figura

En este sistema de dos ecuaciones, eliminamos la velocidad de la cúpula V y despejamos la velocidad relativa (R-r)·dθ/dt del c. m. del cilindro

mg( Rr )( cosθcos θ 0 )= 3 4 m ( Rr ) 2 ( dθ dt ) 2 +m( Rr ) dθ dt ( m m+M ( Rr ) dθ dt cosθ )cosθ+ 1 2 ( M+m ) ( m m+M ( Rr ) dθ dt cosθ ) 2 g( cosθcos θ 0 )= 3 4 ( Rr ) ( dθ dt ) 2 1 2 m m+M ( Rr ) ( dθ dt ) 2 cos 2 θ ( Rr ) ( dθ dt ) 2 = 4( m+M )g( cosθcos θ 0 ) 3M+m+m sin 2 θ

Ecuaciones del movimiento

Ecuaciones del movimiento del cilindro

Las fuerzas que actúan sobreel cilindro son

El c. m. del cilindro describe un movimiento circular de radio R-r con aceleraciones relativas

A estas aceleraciones hay que sumarle vectorialmente la aceleración a de la cúpula

La condición de que el cilindro rueda sin deslizar

( Rr ) d 2 θ d t 2 =rα F r = 1 2 m( Rr ) d 2 θ d t 2

Ecuación del movimiento de la cúpula

La fuerza que ejerce el cilindro sobre la cúpula es N y Fr pero de sentido contrario. La ecuación del movimiento de la cúpula es

Ma=Nsinθ+ F r cosθ

Sustituimos la fuerza de rozamiento Fr en la ecuación del movimiento de la cúpula y en la ecuación del movimiento del c. m. en la dirección tangencial

Ma=Nsinθ+ 1 2 m( Rr ) d 2 θ d t 2 cosθ m( Rr ) d 2 θ d t 2 +macosθ=mgsinθ 1 2 m( Rr ) d 2 θ d t 2 3 2 m( Rr ) d 2 θ d t 2 +macosθ=mgsinθ

Despejamos la reacción N en la primera de estas dos últimas ecuaciones y la sustituimos en la ecuación del movimiento en la dirección normal. A continuación, despejamos la aceleración a de la cúpula

m( Rr ) ( dθ dt ) 2 masinθ= Ma 1 2 m( Rr ) d 2 θ d t 2 cosθ sinθ mgcosθ m( Rr ) ( dθ dt ) 2 sinθma sin 2 θ=Ma 1 2 m( Rr ) d 2 θ d t 2 cosθmgcosθsinθ a( M+m sin 2 θ )=m( Rr ) ( dθ dt ) 2 sinθ+ 1 2 m( Rr ) d 2 θ d t 2 cosθ+mgcosθsinθ a= m( Rr ) ( dθ dt ) 2 sinθ+ 1 2 m( Rr ) d 2 θ d t 2 cosθ+mgcosθsinθ M+m sin 2 θ

Sustituimos la aceleración a de la cúpula en la ecuación del movimiento del c. m. en la dirección tangencial

3 2 ( Rr ) d 2 θ d t 2 + m( Rr ) ( dθ dt ) 2 sinθ+ 1 2 m( Rr ) d 2 θ d t 2 cosθ+mgcosθsinθ M+m sin 2 θ cosθ=gsinθ 3 2 ( Rr )( M+m sin 2 θ ) d 2 θ d t 2 + 1 2 m( Rr ) d 2 θ d t 2 cos 2 θ+m( Rr ) ( dθ dt ) 2 sinθcosθ+mg cos 2 θsinθ+( M+m sin 2 θ )gsinθ=0 ( Rr )( 3 2 ( M+m sin 2 θ )+ 1 2 m cos 2 θ ) d 2 θ d t 2 +m( Rr ) ( dθ dt ) 2 sinθcosθ+( M+m )gsinθ=0

Llegando a la ecuación diferencial

( Rr )( 3M+m+m sin 2 θ 2 ) d 2 θ d t 2 +m( Rr ) ( dθ dt ) 2 sinθcosθ+( M+m )gsinθ=0

Resolveremos esta ecuación del movimiento mediante procedimientos numéricos, sabiendo que en el instante t=0, el c. m. del cilindro parte de la posición θ=θ0, en reposo.

Ecuaciones de Lagrange

La lagrangiana

L= E k E p = 1 2 ( m+M ) ( dx dt ) 2 + 3 4 m ( Rr ) 2 ( dθ dt ) 2 +m( Rr )cosθ dx dt dθ dt mg( Rr )+mg( Rr )cosθ

Las ecuaciones del movimiento

d dt ( L x ˙ ) L x =0 d dt ( ( m+M )( dx dt )+m( Rr )cosθ dθ dt )=0

Hay una cantidad que se mantiene constante e igual a su valor inicial, el momento lineal horizontal, que es nulo, ya que el c. m. del cilindro y la cúpula estan en reposo en el instante t=0

( m+M ) dx dt +m( Rr )cosθ dθ dt =0

La segunda ecuación del movimiento es

d dt ( L θ ˙ ) L θ =0 d dt ( 3 2 ( Rr ) 2 dθ dt +( Rr )cosθ dx dt )+( Rr )sinθ dx dt dθ dt +g( Rr )sinθ=0 3 2 ( Rr ) 2 d 2 θ d t 2 ( Rr )sinθ dx dt dθ dt +( Rr )cosθ d 2 x d t 2 +( Rr )sinθ dx dt dθ dt +g( Rr )sinθ=0 3 2 ( Rr ) 2 d 2 θ d t 2 +( Rr )cosθ d 2 x d t 2 +g( Rr )sinθ=0

Derivamos la ecuación de la conservación del momento lineal respecto del tiempo

( m+M ) d 2 x d t 2 +m( Rr )cosθ d 2 θ d t 2 m( Rr )sinθ ( dθ dt ) 2 =0 d 2 x d t 2 = m m+M ( Rr )( sinθ ( dθ dt ) 2 cosθ d 2 θ d t 2 )

y en la segunda ecuación del movimiento, sustituimos la aceleración de la cúpula

3 2 ( Rr ) 2 d 2 θ d t 2 +( Rr )cosθ m m+M ( Rr )( sinθ ( dθ dt ) 2 cosθ d 2 θ d t 2 )+g( Rr )sinθ=0 3 2 ( Rr ) d 2 θ d t 2 +cosθ m m+M ( Rr )( sinθ ( dθ dt ) 2 cosθ d 2 θ d t 2 )+gsinθ=0 ( 3 2 m m+M cos 2 θ )( Rr ) d 2 θ d t 2 + m m+M ( Rr ) ( dθ dt ) 2 cosθsinθ+gsinθ=0 ( 3M+m+2m sin 2 θ 2( m+M ) )( Rr ) d 2 θ d t 2 + m m+M ( Rr ) ( dθ dt ) 2 cosθsinθ+gsinθ=0 ( 3M+m+2m sin 2 θ 2 )( Rr ) d 2 θ d t 2 +m( Rr ) ( dθ dt ) 2 cosθsinθ+( m+M )gsinθ=0

Obteniendo la misma ecuación diferencial que aplicando la Segunda Ley de Newton

Movimiento de los cuerpos

En este apartado describimos el movimiento de la cúpula y la partícula

Movimiento relativo del c. m. del cilindro

Resolvemos la ecuación diferencial por el procedimiento ode45 de MATLAB para una cúpula de radio R=1 m y un cilindro de radio r=0.125 m. El cociente de m/M=0.2, entre la masa de la partícula y de la cúpula. El c. m. del cilindro parte de la posición θ0=π/3,

Representamos la posición θ del c. m. del cilindro θ que rueda sin deslizar sobre la cúpula en función del tiempo t

R=1; %radio de la cúpula
r=0.125; %radio del cilindro
m=0.2; %masa partícula
M=1; %masa cúpula
th_0=pi/3; %posición inicial
f=@(t,x) [x(2); -(m*(R-r)*x(2)^2*cos(x(1))*sin(x(1))+(m+M)*9.8*sin(x(1)))
/((R-r)*(3*M+m+2*m*sin(x(1))^2)/2)]; 
[t,x]=ode45(f,[0,2],[th_0,0]);
plot(t,x(:,1)*180/pi)
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Movimiento del cilindro')
%energías
E0=m*9.8*(R-r)*(1-cos(th_0)); %inicial
V=-m*(R-r)*x(:,2).*cos(x(:,1))/(m+M); %velocidad cúpula
E=3*m*(R-r)^2*x(:,2).^2/4+m*(R-r)*x(:,2).*V.*cos(x(:,1))+(m+M)*V.^2/2+
m*9.8*(R-r)*(1-cos(x(:,1)));

Comprobamos la conservación de la energía

E0 =
    0.8575
>> E
E =
    0.8575
    0.8575
    ....
    0.8574
    0.8574

Movimiento de la cúpula

No es necesario resolver la ecuación diferencial en x para calcular la posición del centro de la cúpula. En este sistema de dos partículas, el centro de masas permanece fijo, ya que el cilindro y la cúpula parten del reposo

x cm = Mx+m( x+( Rr )sinθ ) m+M =0 x= m m+M ( Rr )sinθ

Añadimos esta porción de código, para representar la posición del centro de la cúpula x en función del tiempo

...
figure
xx=-m*(R-r)*sin(x(:,1))/(m+M);
plot(t,xx)
grid on
xlabel('t')
ylabel('x')
title('Movimiento de la cúpula invertida móvil')

De modo similar, la velocidad de la cúpula es

V= m m+M ( Rr ) dθ dt cosθ

Añadimos esta porción de código, para representar la velocidad del centro de la cúpula V en función del tiempo

...
figure
plot(t,V)
grid on
xlabel('t')
ylabel('V')
title('Movimiento de la cúpula invertida móvil')

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte superior, se proporcionan los siguientes datos:


Referencias

HE Qin,XIE Bing-chuan. The period of vibration of a homogeneous cylinder in a non-fixed inner semicylindrical surface. College Physics Volume 26, Issue 11, 20 November 2007