Un trozo de barro que se desprende de una rueda

En la figura, observamos la trayectoria de este cuerpo, desde la posición de desprendimiento hasta que llega al suelo.

Este problema es interesante, ya que la altura máxima que alcanza el cuerpo depende del ángulo, siempre que su valor sea mayor que un valor crítico.

Velocidad inicial del cuerpo

El movimiento de rodar sin deslizar es la composición de dos movimientos:

Movimiento de traslación del centro de masas con velocidad v₀
Movimiento de rotación con velocidad angular ω alrededor de un eje perpendicular a la rueda y que pasa por el c.m.

El punto de contacto de la rueda con el suelo está en reposo, su velocidad es cero. La relación entre la velocidad de traslación del c.m. v₀ y de rotación ω alrededor del eje que pasa por el c.m. es v₀=ω·R

Para describir el movimiento del trozo de barro que se desprende del borde de la rueda establecemos un sistema de referencia de modo que en el instante inicial la posición de dicho cuerpo es x=0, y=0.

Posición y velocidad del cuerpo en el instante t₀

Al cabo de un cierto tiempo t=t₀, el cuerpo se ha trasladado v₀·t₀ y ha girado un ángulo φ=ω·t₀. Su posición en el instante en el que desprende de la rueda es

$\begin{array}{l} x_{0} = v_{0} t_{0} - R \sin φ \\ y_{0} = R - R \cos φ \end{array}$

Las componentes de la velocidad inicial del cuerpo son

$\begin{array}{l} v_{0 x} = v_{0} - v_{0} \cos φ \\ v_{0 y} = v_{0} \sin φ \end{array}$

El módulo y la dirección de la velocidad inicial son, respectivamente

$\begin{array}{l} v = \sqrt{v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}} = v_{0} \sqrt{2 (1 - \cos φ)} \\ \tan θ = \frac{v_{0 y}}{v_{0 x}} = - \frac{\sin φ}{1 - \cos φ} \end{array}$

Ejemplo:

Cuando φ=0, v=0
Cuando φ=π/2, $v = \sqrt{2} v_{0}$ , θ=π/4
Cuando φ=π, v=2v₀, θ=0

Posición y velocidad en el instante t

Las componentes de la velocidad del cuerpo en el instante t son

$\begin{array}{l} v_{x} = v_{0} - v_{0} \sin φ \\ v_{y} = - v_{0} \cos φ - g (t - t_{0}) \end{array}$

La posición del cuerpo en el instante t es

$\begin{array}{l} x = x_{0} + v_{0 x} (t - t_{0}) = v_{0} t_{0} + R \cos φ + v_{0} (1 - \sin φ) (t - t_{0}) \\ y = y_{0} + v_{0 y} (t - t_{0}) - \frac{1}{2} g {(t - t_{0})}^{2} = R - R \sin φ - v_{0} \cos φ (t - t_{0}) - \frac{1}{2} g {(t - t_{0})}^{2} \end{array}$

Alcance y altura máxima

El cuerpo llega al suelo cuando y=0.

$t - t_{0} = \frac{- v_{0} \cos φ + \sqrt{v_{0}^{2} \cos^{2} φ + 2 g R (1 - \sin φ)}}{g} φ = \frac{v_{0}}{R} t_{0}$

Una vez calculado (t-t₀) se obtiene el alcance horizontal x_m

x_m= v₀·t₀-R·sinφ+ v₀(1-cosφ) ·(t-t₀)

La altura máxima se alcanza cuando v_y=0

$t - t_{0} = \frac{v_{0} \sin φ}{g}$

Para que este cociente sea positivo, el ángulo φ debe estar en el intervalo 0<φ<π. El cuerpo se lanza hacia arriba si el ángulo φ está en este intervalo

$y_{m} = R - R \cos φ + \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} φ}{2 g}$

La altura y_m también se puede calcular aplicando el principio de conservación de la energía.

En la posición de lanzamiento y₀=R-Rcosφ las componentes de la velocidad del cuerpo son

v_0x=v₀-v₀·cosφ
v_0y= v₀·sinφ

La energía del cuerpo de masa m es

$E_{i} = \frac{1}{2} m (v_{0}^{2} \sin^{2} φ + v_{0 x}^{2}) + m g (R - R \cos φ)$

En la posición de máxima altura y_m la componente v_y=0 de la velocidad, la componente v_x no cambia. La energía E_f es

$E_{f} = \frac{1}{2} m v_{0 x}^{2} + m g y_{m}$

Aplicamos el principio de conservación de la energía E_i=E_f y despejamos y_m obteniendo el mismo resultado.

Máximo valor de la altura máxima

En la figura, se representa la altura máxima y_m que alcanza el trozo de barro en función del ángulo φ cuando la velocidad de traslación de la rueda es de v₀= 2 m/s. El radio de la rueda se ha fijado en R=1 m. El valor máximo de la altura máxima se alcanza cuando φ=π=180º

R=1;
v0=2;
f=@(x) R-R*cos(x*pi/180)+v0^2*sin(x*pi/180).^2/(2*9.8);
fplot(f,[0,180])
xlabel('\phi')
ylabel('y_m')
title('Altura máxima')
grid on

Cuando la velocidad de traslación de la rueda es de v₀= 5 m/s. El valor máximo de la altura máxima se alcanza cuando φ<π.

Calculamos el ángulo φ para el cual y_m presenta un máximo

$\frac{d y_{m}}{d φ} = R \sin φ + \frac{v_{0}^{2}}{g} \cos φ \cdot \sin φ = 0$

Esta ecuación tiene dos soluciones

La primera solución, se obtiene haciendo sinφ=0, φ=π, por lo que y_m=2R
La segunda solución, se obtiene haciendo

$\cos φ = - \frac{R g}{v_{0}^{2}}$

Para que el coseno sea menor que la unidad, en valor absoluto, se tiene que cumplir que $v_{0}^{2} > R g$

Para que el coseno sea negativo, y al la vez que la trayectoria sea hacia arriba implica que el ángulo φ debe de estar en el intervalo π/2<φ<π.

La máxima altura y_m alcanzada por el cuerpo que se desprende de esta posición es

$y_{m} = R + \frac{R^{2} g}{2 v_{0}^{2}} + \frac{v_{0}^{2}}{2 g}$

R=1;
v0=5;
f=@(x) R-R*cos(x*pi/180)+v0^2*sin(x*pi/180).^2/(2*9.8);
fplot(f,[0,180])
%máximo
phi=acosd(-R*9.8/v0^2);
ym=R+R^2*9.8/(2*v0^2)+v0^2/(2*9.8);
line([phi,phi],[0,ym], 'linestyle','--')
xlabel('\phi')
ylabel('y_m')
title('Altura máxima')
grid on

Ejemplo:

Se ha fijado el radio de la rueda en R =1 m
Si v₀=2 m/s
Si el trozo de barro se desprende cuando φ=π/2, el instante t₀ en el que se alcanza esta posición es t₀=φ·R/v₀=π/4=0.79 s

Calculamos la altura máxima y_m

$y_{m} = 1 - 1 \cdot \cos (\frac{π}{2}) + \frac{2^{2} \sin^{2} π}{2 \cdot 9.8} = 1.2 m$

Para v₀=5 m/s se cumple que 5²>1·9.8

El ángulo φ que hace que la altura y_m sea la máxima posible, véase la figura más arriba, es

$\begin{array}{l} \cos φ = - \frac{1 \cdot 9.8}{5^{2}} φ = 1.97 rad = 11 3º \\ y_{m} = 1 + \frac{1^{2} \cdot 9.8}{2 \cdot 5^{2}} + \frac{5^{2}}{2 \cdot 9.8} = 2.47 m \end{array}$

El instante t₀ en el que se alcanza esta posición es t₀=φ·R/v₀=1.97/5=0.39 s

Actividades

Se introduce

La velocidad v₀, del c.m. de la rueda en el control titulado Velocidad.
El radio R de la rueda se ha fijado en R=1 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Para desprender el trozo de barro del borde de la rueda, pulsamos el botón titulado Suelta

Velocidad:

Referencias

Newby N. D., Mud thrown from a wheel: a critical speed. Am. J. Phys. 45 (11) November 1977, pp. 1116-1117

Goodman F. O. Mud thrown from a wheel again. Am. J. Phys. 63 (1) January 1995, pp. 82-8