Supongamos que una fuerza externa F actúa a una distancia r<R por encima del centro de masas de una rueda. El punto P de contacto entre la rueda y el plano tiende a deslizar. Existe en dicho punto una fuerza de rozamiento F_r (estática) con un valor límite μ_sN, que actúa en P para oponerse a que dicho punto (o línea de contacto) deslice. N es la reacción del plano sobre la rueda.

Movimiento de rodar sin deslizar

Esta fuerza de rozamiento F_r se puede calcular a partir de las ecuaciones del movimiento

• Dinámica de la traslación del c.m.

F-F_r=m·a_c

• Dinámica de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

F·r+F_r·R=I_c·α

Además, de la condición de rodar (sin deslizar) a_c=α ·R

Consideremos que el cuerpo que rueda es un cilindro o un disco de masa m y de radio R, cuyo momento de inercia respecto de a su eje de simetría es I_c=mR²/2,

Resolviendo las ecuaciones anteriores, obtenemos

${\displaystyle a_c=\frac{2F(1+r/R)}{3m}{F}_r=\frac{F}{3}\left(1-2\frac{r}{R}\right)}$

En la figura se muestra el vector F_r cuando r=0, r=R/2 y r=R.

Para que la rueda se mantenga rodando sin deslizar se debe de cumplir que el valor absoluto de la fuerza de rozamiento estático F_r sea menor que el valor límite μ_sN

|F_r|≤ μ_sN

con N=mg. Si el coeficiente de rozamiento estático µ_s es tal que

${\displaystyle {\mu }_s\ge \frac{F}{3mg}\left|1-\frac{2r}{R}\right|}$

El cilindro rodará sin deslizar. En caso contrario, el cilindro rodará y deslizará a la vez bajo la acción de la fuerza F. Analicemos esta situación

Movimiento de rodar deslizando

Pueden ocurrir dos casos:

• Si a_c>α·R, entonces v_P>0. La fuerza de rozamiento f=µ_k·mg es de sentido contrario a v_P.



Las ecuaciones del movimiento son

F-f=ma_c
F·r+f·R=I_cα

Para que a_c>α·R, se tiene que cumplir que

${\displaystyle f<\frac{F}{3}\left(1-\frac{2r}{R}\right){\mu }_s<\frac{F}{3mg}\left(1-\frac{2r}{R}\right)}$

• Si a_c<α·R, entonces v_P<0. La fuerza de rozamiento f es de sentido contrario a v_P.

Las ecuaciones del movimiento son

F+f=ma_c
F·r-f·R=I_cα

Para que a_c<α·R, se tiene que cumplir que

${\displaystyle f<\frac{F}{3}\left(\frac{2r}{R}-1\right){\mu }_s<\frac{F}{3mg}\left(\frac{2r}{R}-1\right)}$

Ejemplo

Un cilindro de masa M y radio R tiene enrollada una cuerda en una hendidura de radio r<R, de masa despreciable que le hace rodar sin deslizar a lo largo de un plano horizontal. La cuerda pasa por una polea y de su extremo cuelga un bloque de masa m. Determinar la aceleración del bloque y su velocidad cuando haya descendido h metros partiendo del reposo.

Dinámica

Planteamos las ecuaciones de la dinámica de dos cuerpos, el bloque y el cilindro.

Sobre el bloque actúan dos fuerzas la tensión de la cuerda y el peso. La ecuación del movimiento es

mg-T=ma

Las ecuaciones correspondientes al movimiento de traslación y al movimiento de rotación del cilindro son:

T-F_r=ma_c
RF_r+rT=I_cα

El momento de inercia de un cilindro es I_c=MR²/2. Si el cilindro rueda sin deslizar sobre el plano horizontal  a_c=α·R

Nos queda finalmente establecer la relación entre la aceleración del bloque a y la aceleración del centro de masas del cilindro a_c. La aceleración del punto P es la suma de la aceleración debida al movimiento de traslación a_c y la aceleración debida al movimiento de rotación α·r

${\displaystyle a=a_c+\alpha r=a_c\left(1+\frac{r}{R}\right)}$

Una de las particularidades que se pueden observar es que la fuerza de rozamiento F_r no tiene una fórmula concreta ni tampoco su sentido está definido. Para unos valores del cociente r/R la fuerza tiene sentido positivo (por ejemplo, para r/R=0) y en otros caso tiene sentido negativo (por ejemplo para r/R=1). Existe incluso un valor para de r/R para el cual F_r tiene un valor nulo.

Así pues, la fuerza de rozamiento viene determinada por las ecuaciones del movimiento.

Balance de la energía

Cuando el bloque desciende una altura h partiendo del reposo, determinamos a partir de los cambios energéticos observados, la velocidad que alcanza el bloque o la velocidad del c.m. del cilindro.

• La energía potencial del bloque disminuye en mgh
• La energía cinética del bloque aumenta en $\frac{1}{2}m{v}^2$
• La energía del cilindro aumenta en $\frac{1}{2}M{v}_c^2+\frac{1}{2}{I}_c{\omega }^2$ (energía cinética de traslación del c.m. más la energía cinética de rotación)

El balance energético se expresa mediante la ecuación

${\displaystyle mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}M{v}_c^2+\frac{1}{2}{I}_c{\omega }^2}$

Nos queda ahora relacionar la velocidad del bloque con la velocidad del c.m. del cilindro

v_c=ω R es la condición de rodar sin deslizar. La velocidad del punto P es

${\displaystyle v=v_c+\omega r=v_c\left(1+\frac{r}{R}\right)}$

Actividades

Se introduce

• La masa m del bloque, en el control titulado Masa bloque
• La masa M del cilindro, en el control titulado Masa cilindro
• La relación r/R entre radios, en el control titulado Relación radios.

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Observar la magnitud y dirección de las fuerzas sobre el bloque y el cilindro y en particular, la fuerza de rozamiento que actúa en el punto de contacto entre le cilindro y el plano horizontal.

Medir el tiempo que tarda en descender el bloque una determinada altura h, partiendo del reposo. Calcular la aceleración del bloque a.

${\displaystyle h=\frac{1}{2}a{t}^2}$

Comparar este resultado con el obtenido a partir de las ecuaciones de la dinámica.

Determinar la velocidad del bloque

v=at

Comparar el resultado con la velocidad obtenida a partir de la aplicación del balance energético.