Aplicando una fuerza sobre una rueda
Supongamos que una fuerza externa F actúa a una distancia r<R por encima del centro de masas de una rueda. El punto P de contacto entre la rueda y el plano tiende a deslizar. Existe en dicho punto una fuerza de rozamiento Fr (estática) con un valor límite μsN, que actúa en P para oponerse a que dicho punto (o línea de contacto) deslice. N es la reacción del plano sobre la rueda.
Movimiento de rodar sin deslizar

Esta fuerza de rozamiento Fr se puede calcular a partir de las ecuaciones del movimiento
- Dinámica de la traslación del c.m.
- Dinámica de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.
F-Fr=m·ac
F·r+Fr·R=Ic·α
Además, de la condición de rodar (sin deslizar) ac=α ·R
Consideremos que el cuerpo que rueda es un cilindro o un disco de masa m y de radio R, cuyo momento de inercia respecto de a su eje de simetría es Ic=mR2/2,
Resolviendo las ecuaciones anteriores, obtenemos
En la figura se muestra el vector Fr cuando r=0, r=R/2 y r=R.
Para que la rueda se mantenga rodando sin deslizar se debe de cumplir que el valor absoluto de la fuerza de rozamiento estático Fr sea menor que el valor límite μsN
|Fr|≤ μsN
con N=mg. Si el coeficiente de rozamiento estático µs es tal que
El cilindro rodará sin deslizar. En caso contrario, el cilindro rodará y deslizará a la vez bajo la acción de la fuerza F. Analicemos esta situación
Movimiento de rodar deslizando
Pueden ocurrir dos casos:
- Si ac>α·R, entonces vP>0. La fuerza de rozamiento f=µk·mg es de sentido contrario a vP.
- Si ac<α·R, entonces vP<0. La fuerza de rozamiento f es de sentido contrario a vP.

Las ecuaciones del movimiento son
F-f=mac
F·r+f·R=Icα
Para que ac>α·R, se tiene que cumplir que

Las ecuaciones del movimiento son
F+f=mac
F·r-f·R=Icα
Para que ac<α·R, se tiene que cumplir que
Casos posibles | Rodar sin deslizar
|
Rodar deslizando
|
---|---|---|
0<r<R/2 | vP=0, Fr<0 | vP>0, f<0 |
r=R/2 | vP=0, Fr=0 | vP=0, f=0 |
R/2<r<R | vP=0, Fr>0 | vP<0, f>0 |
Ejemplo

Un cilindro de masa M y radio R tiene enrollada una cuerda en una hendidura de radio r<R, de masa despreciable que le hace rodar sin deslizar a lo largo de un plano horizontal. La cuerda pasa por una polea y de su extremo cuelga un bloque de masa m. Determinar la aceleración del bloque y su velocidad cuando haya descendido h metros partiendo del reposo.
Dinámica
Planteamos las ecuaciones de la dinámica de dos cuerpos, el bloque y el cilindro.

Sobre el bloque actúan dos fuerzas la tensión de la cuerda y el peso. La ecuación del movimiento es
mg-T=ma
Las ecuaciones correspondientes al movimiento de traslación y al movimiento de rotación del cilindro son:
T-Fr=mac
RFr+rT=Icα
El momento de inercia de un cilindro es Ic=MR2/2. Si el cilindro rueda sin deslizar sobre el plano horizontal ac=α·R

Nos queda finalmente establecer la relación entre la aceleración del bloque a y la aceleración del centro de masas del cilindro ac. La aceleración del punto P es la suma de la aceleración debida al movimiento de traslación ac y la aceleración debida al movimiento de rotación α·r
Una de las particularidades que se pueden observar es que la fuerza de rozamiento Fr no tiene una fórmula concreta ni tampoco su sentido está definido. Para unos valores del cociente r/R la fuerza tiene sentido positivo (por ejemplo, para r/R=0) y en otros caso tiene sentido negativo (por ejemplo para r/R=1). Existe incluso un valor para de r/R para el cual Fr tiene un valor nulo.
Así pues, la fuerza de rozamiento viene determinada por las ecuaciones del movimiento.
Balance de la energía
Cuando el bloque desciende una altura h partiendo del reposo, determinamos a partir de los cambios energéticos observados, la velocidad que alcanza el bloque o la velocidad del c.m. del cilindro.
- La energía potencial del bloque disminuye en mgh
- La energía cinética del bloque aumenta en
- La energía del cilindro aumenta en (energía cinética de traslación del c.m. más la energía cinética de rotación)
El balance energético se expresa mediante la ecuación
Nos queda ahora relacionar la velocidad del bloque con la velocidad del c.m. del cilindro
vc=ω R es la condición de rodar sin deslizar. La velocidad del punto P es
Actividades
Se introduce
- La masa m del bloque, en el control titulado Masa bloque
- La masa M del cilindro, en el control titulado Masa cilindro
- La relación r/R entre radios, en el control titulado Relación radios.
Se pulsa el botón titulado Nuevo.
Observar la magnitud y dirección de las fuerzas sobre el bloque y el cilindro y en particular, la fuerza de rozamiento que actúa en el punto de contacto entre le cilindro y el plano horizontal.
Medir el tiempo que tarda en descender el bloque una determinada altura h, partiendo del reposo. Calcular la aceleración del bloque a.
Comparar este resultado con el obtenido a partir de las ecuaciones de la dinámica.
Determinar la velocidad del bloque
v=at
Comparar el resultado con la velocidad obtenida a partir de la aplicación del balance energético.