Choque frontal de dos esferas que ruedan
Choques frontales de dos esferas de distinta masa
Sean dos esferas de masas m1 y m2 que tienen velocidades iniciales u1 y u2 antes del choque. Calculamos las velocidades v1 y v2 de los c.m. de las esferas después del choque.
- El principio de conservación del momento lineal
- La definición del coeficiente de restitución e.
m1u1+m2u2=m1v1+m2v2
v1-v2=-e(u1-u2)
Despejamos del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las velocidades v1 y v2 del c.m. de las esferas después del choque
(1)
donde M=m2/m1.
Si suponemos que el rozamiento entre las esferas en el momento en el que entran en contacto es despreciable, las velocidades angulares de rotación no cambian.
ω1=u1/r (2)
Movimiento después del choque
Inmediatamente después del choque no se cumple en general, que las esferas rueden sin deslizar, vc≠ω·r. Por tanto, como vimos en la página Equilibrio entre el movimiento de traslación y rotación, las fuerzas de rozamiento entre las esferas y el carril sobre el que se mueven restablecerán este equilibrio hasta que se cumpla vc=ω·r. Más abajo, estudiaremos con detalle ejemplos concretos de los distintos movimientos.
Sean μ1 y μ2 o bien μi (i=1, 2), los coeficientes cinéticos de rozamiento entre cada una de las esferas y el carril. Puede ocurrir que la velocidad del punto P de contacto de la rueda con el carril sea positiva o negativa

Si vp=vc-ω·r>0
La fuerza de rozamiento Fr en P es de signo contrario (hacia la izquierda) tal como se muestra en la figura. Fr=μi·N=μi·mg.
Las ecuaciones del movimiento de la esfera serán:
- Movimiento de traslación del centro de masas (c.m.)
- Movimiento de rotación alrededor del un eje que pasa por el c.m.
- Movimiento de traslación del centro de masas (c.m.)
- Movimiento de rotación alrededor del un eje que pasa por el c.m.
mac=-Fr
ac=- μi g.
Como ac<0, la velocidad vc del c.m. disminuye
Icα =Fr·r
Como α>0, la velocidad angular de rotación ω aumenta

Si vp=vc-ω·r<0
La fuerza de rozamiento Fr en P es de signo contrario (hacia la derecha) tal como se muestra en la figura. Fr=μi·N=μi·mg
Las ecuaciones del movimiento de la esfera serán
mac=Fr
ac=μi g
Como ac>0, la velocidad vc del c.m. aumenta
Icα =-Fr·r
Como α<0, la velocidad angular de rotación ω disminuye
A partir de las ecuaciones de la cinemática del movimiento rectilíneo y circular uniformemente acelerado, calculamos la velocidad del c.m. vc y la velocidad angular de rotación ω .
vc=v0+ac·t
ω=ω0+α·t
Movimiento de rodar sin deslizar
En ambos casos vP<0 y vP>0, la velocidad del punto P de contacto de la esfera con el carril se anula vP=0, en el instante t tal que vc=ω·r, la esfera rueda sin deslizar. La velocidad final del c.m. de la esfera es independiente del coeficiente de rozamiento μi (i=1, 2) entre la esfera y el carril.
Para cada una de las esferas, los instantes t1 y t2 para los cuales empiezan a rodar sin deslizar a partir del momento del choque, son respectivamente.
Las velocidades finales constantes V1 y V2 de las esferas, a partir de los instantes t1 y t2 cuando ruedan sin deslizar son, respectivamente:
donde v1 y v2 son las velocidades del c.m. de cada una de las esferas justamente después del choque, y ω1 y ω2 son las velocidades angulares que adquieren las esferas en dicho instante, fórmulas (1) y (2).
Los coeficientes de rozamiento μ1 y μ2 no intervienen en la velocidad final V1 y V2 de las esferas. Solamente en el tiempo t1 y t2 que tardan en alcanzar estas velocidades.
Ejemplo
- Relación entre las masas de las esferas, M=m2/m1=1.0
- Velocidades de las esferas antes del choque, u1=0.75 y u2=-0.5.
- Coeficiente de restitución, e=0.72
- Coeficiente de rozamiento entre las esferas y el plano horizontal, μ =0.05.
Velocidades v1 y v2 de las esferas inmediatamente después del choque, fórmulas (1)
Velocidades angulares ω1 y ω2, no cambian en el choque
Movimiento de las esferas después del choque.
- Movimiento de la primera esfera
- Movimiento de la segunda esfera
v1=-0.325
v2=0.575
rω1=u1=0.75
rω2=u2=-0.5

Velocidad del punto P de contacto con el plano horizontal
vP=v1-rω1=-0.325-0.75=-1.075
La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de rotación y de traslación, tal como puede verse en la figura
Hasta que se alcanza el equilibrio rotación-traslación (velocidad final igual a velocidad inicial más aceleración por tiempo)
v1=-0.325+0.05·9.8·t
rω1=0.75-5·0.05·9.8·t/2
El instante en el que se cumple que vP=0, la esfera rueda sin deslizar
v1=rω1 por tanto, t1=0.63 s.
La velocidad final cuando la esfera rueda sin deslizar es
V1=-0.325+0.05·9.8·t1=-0.02 m/s

Velocidad del punto P de contacto con el plano horizontal
vP=v2-rω2=0.575+0.5=1.075
La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de rotación y de traslación, tal como puede verse en la figura
Hasta que se alcanza el equilibrio rotación-traslación (velocidad final igual a velocidad inicial más aceleración por tiempo)
v2=0.575-0.05·9.8·t
rω2=-0.5+5·0.05·9.8·t/2
El instante en el que se cumple que vP=0, la esfera rueda sin deslizar
v2=rω2 por tanto, t2=0.63 s.
La velocidad final cuando la esfera rueda sin deslizar es
V2=0.575-0.05·9.8· t2=0.27 m/s
Actividades
Se introduce
- Las velocidades de las esferas antes del choque, u1 y u2 en los controles titulados Velocidad esfera 1 y V. esfera 2, respectivamente
- El coeficiente de restitución e, en el control titulado Coef. restitución
- El cociente M=m2/m1 entre las masas de las dos esferas, en el control titulado Cociente masas m2/m1
- El coeficiente de rozamiento entre las esferas y el carril se ha fijado en μ1= μ2=0.05, para que se pueda ver la transición hacia el equilibrio (rodar sin deslizar) de las esferas. Este coeficiente, no interviene en las velocidades finales
- El radio de las esferas se ha fijado en r=10 cm
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Vemos el balance energético de la colisión. La energía antes del choque, (suma de la energía cinética correspondiente al movimiento de traslación del c.m. y de la energía cinética correspondiente al movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.) y la energía después del choque en colores más claros.
Se muestra mediante flechas, la velocidad del c.m. de la esfera y la velocidad del punto P de contacto entre la esfera y el carril.
Se sugiere al lector, que estudie los choques elásticos e=1 de dos bolas de billar de la misma masa y radio
Choque de dos esferas iguales que ruedan sobre un carril horizontal
En esta sección, estudiamos el choque elástico y posterior movimiento de dos esferas iguales de radio R a lo largo de un carril acanalado horizontal cuyas vías están separadas una distancia d<2R.
A la izquierda de la figura, se muestra la esfera en el carril acanalado. A la derecha arriba, las esferas antes del choque, ruedan sin deslizar, vP=v0-ω0·r=0, la velocidad del punto de contacto de la esfera derecha (la izquierda, por simetría, es similar) con el carril es nula. Inmediatamente después del choque, las esferas cambian el signo de la velocidad de traslación del c.m. de -v0 a v0, quedando la velocidad angular de rotación ω0 inalterada. Esto hace que la velocidad del punto P de contacto de la rueda con el carril ya no sea nula, sino vP=v0+ω0r=2v0
La fuerza de rozamiento es de sentido contrario a vP, disminuyendo esta velocidad hasta que se anule, entonces, la esfera vuelve a rodar sin deslizar, vP=v0-ω0·r=0
La esfera tiene dos puntos de contacto con el carril. Hay por tanto, dos fuerzas de rozamiento Fr y dos reacciones N del carril. La fuerza de rozamiento Fr tiene la dirección del carril, la reacción N es perpendicular al carril y pasa por el centro de la esfera.
- La resultante de las fuerzas de rozamiento es F1=2Fr
- La resultante de las dos reacciones iguales y simétricas es N1=2Nr/R, es igual al peso mg
Siendo r la distancia entre el plano que contiene las dos vías del carril y el centro de la esfera r2=R2-d2/4.
Las fuerzas que actúan sobre la esfera son:
- El peso mg
- La resultante de las reacciones N1
- La resultante de las fuerzas de rozamiento F1=2Fr
Las ecuaciones del movimiento de la esfera son
Equilibrio en la dirección perpendicular al plano inclinado
Movimiento de traslación del c.m.
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. (Tomando como positivo el sentido de las agujas del reloj)
N1=mg
-F1=mac
F1=2Fr=2μkN=μkmgR/r
Siendo μk el coeficiente cinético de rozamiento
F1·r=Ic·α
Teniendo en cuenta que, el momento de inercia de una esfera es Ic=2mR2/5. Despejamos las aceleraciones ac del centro de masas y α
Tomando el instante t=0, el momento del choque en el origen. La posición y velocidad del centro de masas son
El ángulo girado y la velocidad angular de rotación son
La velocidad del punto P de contacto de la esfera con el carril es
Esta velocidad se hace nula, vP=0, la esfera rueda sin deslizar a partir del instante td
La posición y velocidad de la esfera en dicho instante td son
Comprobamos que en dicho instante td, la velocidad del punto P de contacto de la esfera con el carril es nula, vP=vc-ω·r=0
Ejemplos
- Coeficiente cinético, μk=0.2
- Radio de la esfera, R=10 cm=0.1 m
- Velocidad del centro de la esfera, antes del choque, vc=-0.5 m/s
La velocidad angular inicial de rotación que no cambia, ω0=vc/r, con r2=R2-d2/4
La velocidad del centro de la esfera cambia de signo a v0=0.5 m/s, inmediatamente después del choque
Representamos la velocidad del centro de la esfera vc, la velocidad angular de rotación ω y la velocidad del punto P de contacto de la esfera con el carril vP=vc-ω·r
Ejemplo 1
- Distancia entre las vías, d=R=10 cm=0.1 m
mu=0.2; %coeficiente de rozamiento, cinético R=0.1; %radio de la esfera vCM=-0.5; %velocidad inicial antes del choque hold on d=R; %distancia entre vías r=sqrt(R^2-d^2/4); %radio v0=-vCM; %cambia de sentido después del choque w0=vCM/r; %velocidad angular inicial de rotación, la inicial antes del choque td=4*v0_CM*(r/R)/(mu*9.8*(2+5*(r/R)^2)); %tiempo hasta que rueda sin deslizar aCM=mu*9.8*R/r; %aceleración del centro de masas aRot=5*9.8*mu/(2*R); %aceleración angular de rotación fplot(@(t) (w0+aRot*t)*r,[0,td]) fplot(@(t) v0-aCM*t,[0,td]) fplot(@(t) v0-aCM*t-(w0+aRot*t)*r,[0,td]) legend('\omega·r','v_c','v_p') hold off grid on xlabel('t') ylabel('v') title('Velocidades')
La velocidad angular de rotación ω se anula en el instante
Ejemplo 2
Cambiamos la línea de código,
... d=1.8*R; %distancia entre vías ...
La velocidad del centro de la esfera vc se anula en el instante
Luego, se hace negativa, las esferas regresan al origen y vuelven a chocar, este es el caso más importante.
Ejemplo 3
La velocidad del centro de la esfera vc y la velocidad angular de rotación ω se anulan simultáneamente para un determinado valor de la separación d entre las vías
Cambiamos la línea de código,
... d=sqrt(12/5)*R; %distancia entre vías ...
Sucesivos choques
Se producen múltiples choques cuando la distancia entre las vías cumple,
- Coeficiente cinético, μk=0.2
- Radio de la esfera, R=10 cm=0.1 m
- Velocidad del centro de la esfera, antes del choque, vc=-0.5 m/s
- Distancia entre las vías, d=18 cm=0.18 m
Representamos la velocidad del centro vc de la esfera en función del tiempo
mu=0.2; %coeficiente de rozamiento, cinético R=0.1; %radio de la esfera vCM=-0.5; %velocidad inicial antes del choque hold on d=1.8*R; %distancia entre vías r=sqrt(R^2-d^2/4); %radio aCM=mu*9.8*R/r; %aceleración del centro de masas aRot=5*9.8*mu/(2*R); %aceleración angular de rotación t0=0; for i=1:4 v0=-vCM; %cambia de sentido después del choque w0=vCM/r; %velocidad angular inicial de rotación, la inicial antes del choque td=4*v0*(r/R)/(mu*9.8*(2+5*(r/R)^2)); %tiempo hasta que rueda sin deslizar fplot(@(t) v0-aCM*(t-t0),[t0,t0+td], 'color','r') vCM=v0*(-2+5*(r/R)^2)/(2+5*(r/R)^2); xf=R+20*v0^2*(r/R)^3/((2+5*(r/R)^2)^2*mu*9.8); plot(t0+td,vCM,'o','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r') tf=-(xf-R)/vCM; %tiempo hasta el choque line([t0+td, t0+td+tf],[vCM,vCM],'color','b') line([t0+td+tf,t0+td+tf],[vCM,-vCM],'color','k','lineStyle','--') t0=t0+td+tf; end hold off grid on xlabel('t') ylabel('v') title('Múltiples choques')
Las distintas etapas del movimiento de la esfera derecha (el movimiento de la esfera izquierda es simétrico) son las siguientes:
La esfera derecha se mueve hacia el origen con velocidad vc=-0.5 m/s, como rueda sin deslizar, la velocidad angular de rotación es ω=vc/r
Choca con la otra esfera, cambia el sentido de su velocidad de traslación, pero no modifica la velocidad angular de rotación. Instante t=0
La fuerza de rozamiento hace que ambas velocidades cambien durante un tiempo td, hasta que la velocidad del punto P de contacto de la esfera con la vía sea cero. La posición final y la velocidad final de la esfera en dicho instante son
Como la velocidad final vc es negativa, la esfera se dirige hacia el origen, con velocidad constante emplenado un tiempo tf=(x-R)/vc, volviendo a chocar en el instante td+tf
Se repite un nuevo ciclo. Las líneas verticales a trazos señalan el instante del choque
Después de tres choques, la esfera ha disipado casi toda su energía cinética, su velocidad es próxima cero
Actividades
Se introduce
- El coeficiente de rozamiento entre las esferas y el carril en el control titulado Coef. rozamiento
- La separación d entre las vías del carril, en el control titulado Distancia entre vías (cm)
- Las velocidades de las esferas antes del choque, se han fijado en 0.5 m/s
- El radio de las esferas se ha fijado en R=10 cm=0.1 m
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se observa el movimiento de las esferas, antes del choque y después del choque. En la parte superior izquierda, se muestra la posición y velocidad (traslación y rotación) de la esfera derecha (la izquierda es simétrica) y la velocidad del punto P de contacto de la esfera con el carril
En la parte superior derecha, se muestra la energías: suma de la energía cinética de traslación y cinética de rotación. En color negro, la energía disipada como consecuencia del trabajo de la fuerza de rozamiento
Referencias
Del apartado titulado 'Choque de dos esferas iguales que ruedan sobre un carril horizontal'
S Gröber, J Sniatecki. Collision of two balls in a groove: an interplay between translation and rotation. Eur. J. Phys. 41(2020) 035002