Choque frontal de dos esferas que ruedan

Velocidades inmediatamente después del choque

Sean dos esferas de masas m1 y m2 que tienen velocidades iniciales u1 y u2 antes del choque. Calculamos las velocidades v1 y v2 de los c.m. de las esferas después del choque.

  1. El principio de conservación del momento lineal
  2. m1u1+m2u2=m1v1+m2v2

  3. La definición del coeficiente de restitución e.
  4. v1-v2=-e(u1-u2)

Despejamos del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las velocidades v1 y v2 del c.m. de las esferas después del choque

v 1 = (1Me) u 1 +M(1+e) u 2 1+M v 2 = (1+e) u 1 +(Me) u 2 1+M                 (1)

donde M=m2/m1.

Si suponemos que el rozamiento entre las esferas en el momento en el que entran en contacto es despreciable, las velocidades angulares de rotación no cambian.

ω1=u1/r        ω2=u2/r          (2)

Movimiento después del choque

Inmediatamente después del choque no se cumple en general, que las esferas rueden sin deslizar, vc≠ω·r. Por tanto, como vimos en la página Equilibrio entre el movimiento de traslación y rotación, las fuerzas de rozamiento entre las esferas y el carril sobre el que se mueven restablecerán este equilibrio hasta que se cumpla vc=ω·r. Más abajo, estudiaremos con detalle ejemplos concretos de los distintos movimientos.

Sean μ1 y μ2 o bien μi (i=1, 2), los coeficientes se las fuerzas de rozamiento entre cada una de las esferas y el carril. Puede ocurrir que la velocidad del punto P de contacto de la rueda con el carril sea positiva o negativa

Si vp=vc-ω·r>0

La fuerza de rozamiento Fr en P es de signo contrario (hacia la izquierda) tal como se muestra en la figura. Fri·N=μi·mg.

Las ecuaciones del movimiento de la esfera serán:

A partir de las ecuaciones de la cinemática del movimiento rectilíneo y circular uniformemente acelerado, calculamos la velocidad del c.m. vc y la velocidad angular de rotación ω .

vc=v0+ac·t
ω=ω0+α·t

Movimiento de rodar sin deslizar

En ambos casos vP<0 y vP>0, la velocidad del punto P de contacto de la esfera con el carril se anula vP=0, en el instante t tal que Vc=ω·r, la esfera rueda sin deslizar. La velocidad final del c.m. de la esfera es independiente del coeficiente de rozamiento μi (i=1, 2) entre la esfera y el carril.

V c = 5 v 0 +2 ω 0 r 7

Para cada una de las esferas, los instantes t1 y t2 para los cuales empiezan a rodar sin deslizar a partir del momento del choque, son respectivamente.

t 1 = 2| v 1 ω 1 r | 7 μ 1 g t 2 = 2| v 2 ω 2 r | 7 μ 2 g

Las velocidades finales constantes V1 y V2 de las esferas, a partir de los instantes t1 y t2 cuando ruedan sin deslizar son, respectivamente:

V 1 = 5 v 1 +2 ω 1 r 7 V 2 = 5 v 2 +2 ω 2 r 7

donde v1 y v2 son las velocidades del c.m. de cada una de las esferas justamente después del choque, y ω1 y ω2 son las velocidades angulares que adquieren las esferas en dicho instante, fórmulas (1) y (2).

Los coeficientes de rozamiento μ1 y μ2 no intervienen en la velocidad final V1 y V2 de las esferas. Solamente en el tiempo t1 y t2 que tardan en alcanzar estas velocidades.

Ejemplo

  1. Velocidades v1 y v2 de las esferas inmediatamente después del choque, fórmulas (1)

  2. v1=-0.325
    v2=0.575

  3. Velocidades angulares ω1 y ω2, no cambian en el choque

  4. 1=u1=0.75
    2=u2=-0.5

  5. Movimiento de las esferas después del choque.

Actividades

Se introduce

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Vemos el balance energético de la colisión. La energía antes del choque, (suma de la energía cinética correspondiente al movimiento de traslación del c.m. y de la energía cinética correspondiente al movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.) y la energía después del choque en colores más claros.

Se muestra mediante flechas, la velocidad del c.m. de la esfera y la velocidad del punto P de contacto entre la esfera y el carril.

Se sugiere al lector, que estudie los choques elásticos e=1 de dos bolas de billar de la misma masa y radio