Supongamos una esfera de radio R que baja rodando sin deslizar a lo largo de un carril acanalado cuyas vías están separadas una distancia d<2R, y a continuación, se mueve sobre un plano horizontal. Se tratará de determinar la velocidad final v_c del centro de masas (c.m.) de la esfera.

Movimiento sobre un carril inclinado

La esfera tiene dos puntos de contacto con el carril. Hay por tanto, dos fuerzas de rozamiento F_r y dos reacciones N del carril. La fuerza de rozamiento F_r tiene la dirección del carril, la reacción N es perpendicular al carril y pasa por el centro de la esfera.

• La resultante de las fuerzas de rozamiento es F₁=2F_r

• La resultante de las dos reacciones iguales y simétricas es N₁=2Nr/R.

Siendo r la distancia entre el plano que contiene las dos vías del carril y el centro de la esfera r²=R²-d²/4.

Las fuerzas que actúan sobre la esfera son:

• El peso mg
• La resultante de las reacciones  N₁
• La resultante de las fuerzas de rozamiento F₁

Las ecuaciones del movimiento de la esfera son

• Equilibrio en la dirección perpendicular al plano inclinado

N₁=mg·cosθ

• Movimiento de traslación del c.m.

mg·sinθ-F₁=ma_c

• Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

F₁·r=I_c·α

• La esfera rueda sin deslizar si

a_c=α·r

Teniendo en cuenta que el momento de inercia de una esfera es I_c=2mR²/5. Despejamos la aceleración del centro de masas

${\displaystyle a_c=g\text{sin}\theta \frac{5-5d^2/(4R^2)}{7-5d^2/(4R^2)}}$

Calculamos la fuerza de rozamiento F_r y la reacción N en cada uno de los puntos de apoyo

${\displaystyle F_r=\frac{mg\text{sin}\theta }{2(1+m{r}^2/I_c)}N=\frac{R}{2r}mg\cos \theta }$

Condición de rodar sin deslizar

La esfera rueda sin deslizar siempre que F_r sea menor que la fuerza de rozamiento máxima F_r<μ_s·N. Teniendo en cuenta que el momento de inercia de la esfera es I_c=2mR²/5. La inecuación se transforma en esta otra equivalente.

${\displaystyle {\mu }_s\ge \frac{2}{7}\tan \theta \frac{\sqrt{1-\frac{d^2}{4R^2}}}{\left(1-\frac{5d^2}{28R^2}\right)}}$

Representamos gráficamente la función f(d/R) que multiplica a 2·tanθ/7. Esta función crece desde el valor d/R=1.0 hasta alcanzar un máximo en $d/R=\sqrt{2.4}$ y luego, decrece rápidamente hasta que se hace cero para d/R=2.

La fracción es mayor que la unidad para d/R<1.8. Si fijamos el valor del ángulo θ, el coeficiente de rozamiento tiene que ser μ_s>2·tanθ/7. Por ejemplo, si θ=30º, μ_s>0.165, siempre que d/R<1.8

Balance energético

Cuando la esfera rueda sin deslizar. La velocidad del c.m. v₀ cuando llega al final del plano inclinado de longitud x, es

${\displaystyle v_0^2=2a_{c}x}$

Cuando la esfera baja rodando sin deslizar, la energía potencial de la esfera se transforma en energía cinética de traslación y de rotación

${\displaystyle mgx·\text{sin}\theta =\frac{1}{2}m{v}_0^2+\frac{1}{2}{I}_c{\omega }_0^2{v}_0={\omega }_0·r}$

Despejamos v₀ y obtenemos la misma expresión que la deducida a través de las ecuaciones del movimiento.

${\displaystyle v_0^2=2g\text{sin}\theta \frac{5-\frac{5d^2}{4R^2}}{7-\frac{5d^2}{4R^2}}x}$

Movimiento sobre el plano horizontal

Cuando la esfera se pone en contacto con el  plano horizontal la velocidad de su c.m. es v₀ y su velocidad angular de rotación es ω₀=v₀/r. Como en general, r<R no se cumple la condición de rodar sin deslizar v₀=ω₀·R.

La fuerza de rozamiento actúa sobre el punto de contacto de la esfera con el plano horizontal a fin de restablecer la condición de equilibrio entre ambos movimientos.

Estamos en la situación en el que la velocidad del punto P de contacto de la rueda con el suelo no es nula v_p=v₀-ω₀·R sino que está dirigida hacia la izquierda es decir, v_p<0. La fuerza de rozamiento F_r tiene sentido hacia la derecha.

Las ecuaciones del movimiento son

• Equilibrio en sentido perpendicular al plano horizontal

N=mg

• Movimiento de traslación del c.m.

m·a_c=F_r

• Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

I_cα =-F_r·R

• Valor de la fuerza de rozamiento que actúa en el punto de contacto P que desliza a lo largo del plano horizontal.

F_r=μ_k·N

La velocidad v del centro de masa aumenta

v_c=v₀+μ_k·gt

La velocidad angular ω de rotación disminuye. Recordando que la velocidad inicial de rotación es ω₀=v₀/r.

${\displaystyle \omega =\frac{v_0}{r}-\frac{5{\mu }_{k}g}{2R}t}$

La velocidad del punto P de la esfera en contacto con el plano horizontal es

v_P=v_c-ω ·R

que se hace cero v_P=0, en el instante t.

${\displaystyle t=\frac{2v_0}{7{\mu }_{k}g}\left(\frac{R}{r}-1\right)}$

El desplazamiento s del c.m. y el desplazamiento angular φ, ángulo girado por la esfera en el tiempo t son respectivamente

${\displaystyle s=v_{0}t+\frac{1}{2}\mu g{t}^2\phi =\frac{v_0}{r}t-\frac{1}{2}\frac{5{\mu }_{k}g}{2R}{t}^2}$

Movimiento de rodar sin deslizar

En dicho instante t se establece el movimiento de rodar sin deslizar, v=ω·R.

La velocidad final constante v_c del c.m. de la esfera es

${\displaystyle v_c=v_0\left(1+\frac{2}{7}\left(\frac{R}{r}-1\right)\right)}$

Balance energético

Determinamos la relación entre la energía inicial E_i, la final E_f y el trabajo de la fuerza de rozamiento W. La energía inicial de la esfera es

${\displaystyle E_i=mgx·\sin \theta =\frac{1}{2}m{v}_0^2+\frac{1}{2}{I}_c{\omega }_0^2=\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{5}\frac{R^2}{r^2}\right)v_0^2}$

La energía final de la esfera cuando rueda sin deslizar v_c=ω·R es

${\displaystyle E_f=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}{I}_c{\omega }^2=\frac{7}{10}m{v}^2=m{v}_0^2\left(\frac{5}{14}+\frac{2}{7}\frac{R}{r}+\frac{2}{35}\frac{R^2}{r^2}\right)}$

La fuerza de rozamiento favorece el movimiento de traslación y se opone al movimiento de rotación. El trabajo de la fuerza de rozamiento es

W=F_r·s-M_r·φ =-mμ_k g(-s+Rφ)

Hemos calculado anteriormente los valores de los desplazamientos s y φ hasta el instante t, a partir del cual el disco rueda sin deslizar. Después de hacer algunas operaciones se obtiene

${\displaystyle W=-\frac{1}{7}m{v}_0^2{\left(\frac{R}{r}-1\right)}^2}$

Comprobamos finalmente, que

W=E_f-E_i

Ejemplo:

• Cociente entre radios, d/R=1.5.

• Radio de la esfera, R=10 cm

• Coeficiente de la fuerza de rozamiento del plano horizontal e inclinado, μ=0.45

• Distancia que recorre la esfera a lo largo del plano inclinado, x=1 m

• Ángulo del plano inclinado, 30º

 r²=R²-d²/4. Tendremos que r=0.066 m

Obtenemos mediante las ecuaciones de la dinámica o del balance energético la velocidad v₀ del c.m. de la esfera al abandonar el plano inclinado.

${\displaystyle v_0^2=2·9.8\text{sin30º}\frac{5-5·{1.5}^2/4}{7-5·{1.5}^2/4}1.0v_0=2.26\text{m/s}}$

La velocidad angular de rotación de la esfera será es

${\displaystyle {\omega }_{\text{0}}=\frac{v_0}{r}=\frac{2.26}{0.066}=34.21\text{rad/s}}$

La esfera comienza a rodar sobre el plano horizontal, pero no se cumple la condición v₀=ω₀·R. La velocidad del punto P de contacto de la esfera con el plano horizontal no es cero, sino que vale

v_P=v₀-ω₀ ·R=-1.16 m/s

La fuerza de rozamiento tratará de restablecer el equilibrio, entre los movimientos de traslación y rotación hasta que v_P=0. Por lo que incrementa la velocidad de traslación v_c y disminuye la velocidad angular de rotación ω.

Al cabo de un tiempo de

${\displaystyle t=\frac{2v_0}{7\mu g}\left(\frac{R}{r}-1\right)=\frac{2·2.26}{7·0.45·9.8}\left(\frac{0.1}{0.066}-1\right)=0.075\text{s}}$

se restablece el equilibrio y la esfera rueda sin deslizar con una velocidad constante de

${\displaystyle v_c=v_0\left(1+\frac{2}{7}\left(\frac{R}{r}-1\right)\right)=2.26\left(1+\frac{2}{7}\left(\frac{0.1}{0.066}-1\right)\right)=2.59\text{m/s}}$

Balance energético

La energía inicial de la esfera es

E_i=mgx·sinθ=m·9.8·1.0·sin30º=4.9·m J

Esta energía se va trasformando en energía cinética de traslación y de rotación

Como v_c=ω·r. Con R=0.1 y r=0.066. La energía cinética de rotación representa el

${\displaystyle \frac{\frac{1}{2}{I}_c{\omega }^2}{\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}{I}_c{\omega }^2}=\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}m{R}^2\right)\frac{v^2}{r^2}}{\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}m{R}^2\right)\frac{v^2}{r^2}}=\frac{2R^2}{5r^2+2R^2}=0.48}$

48% de la energía cinética total

Cuando rueda sin deslizar a lo largo del plano horizontal se cumple v_c=ω·R

${\displaystyle \frac{\frac{1}{2}{I}_c{\omega }^2}{\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}{I}_c{\omega }^2}=\frac{2}{7}=0.29}$

La energía cinética de rotación representa los 2/7=29% de la energía cinética total

Actividades

Se introduce

• La posición inicial x de la rueda en el plano inclinado, en el control titulado Posición inicial
• El cociente entre el ancho del carril d y el radio R de la esfera, en el control titulado Cociente ancho/radio.
• El radio R de la esfera está fijado en el programa en 10 cm=0.1 m
• El coeficiente μ_s= μ_k de la fuerza de rozamiento del plano horizontal e inclinado, en el control titulado Coef. rozamiento.
• El ángulo del plano inclinado se ha fijado en 30º

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En el caso de que no se cumpla la condición μ>0.165, para d/R<1.8, el programa no prosigue y un mensaje nos invita a incrementar el coeficiente de rozamiento μ, a fin de que la esfera baje rodando sin deslizar a lo largo del plano inclinado.

Si se cumple la citada condición, se observa el movimiento de la esfera a lo largo del plano inclinado y luego, sobre el plano horizontal.

Cuando la esfera desliza sobre el plano horizontal, la velocidad del punto P de contacto de la esfera con dicho plano no vale cero, v_P<0 y va disminuyendo (en módulo) hasta que se cumple la condición de rodar sin deslizar v_P=0. Un vector de color rojo muestra el valor de dicha velocidad v_P.

En la parte derecha, se muestran las transformaciones energéticas. Cuando la esfera rueda sin deslizar a lo largo del plano inclinado la energía potencial se trasforma en energía cinética de traslación del centro de masas y de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas. La fuerza de rozamiento no realiza un trabajo neto.

Cuando se pone en contacto con el plano horizontal, no se cumple en general que v_c=ω·R, por lo que la fuerza de rozamiento tratará de restablecer el equilibrio entre el movimiento de traslación y el de rotación. Durante un cierto tiempo t se pierde energía debido al trabajo de la fuerza de rozamiento. A partir de dicho instante, la velocidad final del c.m.v_c se mantiene constante y la fuerza de rozamiento no realiza un trabajo neto.

Referencias

Cromer A. An unusual rolling-sphere phenomenon. The Physics Teacher Vol 34, January 1996, pp. 48-50.

Quing-gong-Song. The requirement of a sphere rolling without slipping down a grooved track for the coeffcient of static friction. Am. J. Phys. 56 (12) December 1988, pp. 1145-1146