Movimiento de un carrete que rueda

Aplicamos una fuerza F al carrete haciendo un ángulo θ con la horizontal tal como se indica en la figura. La fuerza F tiene una componente horizontal F·cosθ .

rodar4.gif (2647 bytes)

Las ecuaciones del movimiento son ahora.

Si se cumple que |Fr|≤μ·N y además, el carrete rueda sin deslizar ac=α·R, despejamos la aceleración del centro de masas ac y la fuerza de rozamiento Fr.

a = c F mk ( cosθ r R )k=1+ I c m R 2

F r = F k ( I c m R 2 cosθ+ r R )

Consecuencias

  1. La aceleración del c.m. ac es nula para cosθ=r/R
  2. Para estos dos ángulos críticos la aceleración del c.m. cambia de signo

    θ c1 =arccos( r R ) θ c2 =2πarccos( r R )

  3. La fuerza de rozamiento Fr se anula cuando cosθr=-mrR/Ic
  4. Existen dos ángulos para los cuales la fuerza de rozamiento cambia de signo, siempre que se cumpla que Ic>mrR

    θ r1 =arccos( mrR I c ) θ r2 =2πarccos( mrR I c )

Equilibrio

Cuando se cumple que cosθ=r/R. La aceleración del c. m. es cero.

Como vemos en la figura, la dirección de la fuerza F pasa por el punto P de contacto entre el carrete y la superficie horizontal. El momento de la fuerza aplicada respecto de P es cero, no hay rotación alrededor del eje instantáneo que pasa por P.

El ángulo θc tal que cosθc=r/R, se denomina ángulo crítico

Condición de rodar sin deslizar

Queda por determinar el intervalo de ángulos θ para cada fuerza F, para los cuales se cumple que el valor absoluto de la fuerza de rozamiento Fr no exceda el valor máximo μ·N

| F k ( I c m R 2 cosθ+ r R ) | μ s ( mgFsinθ )

Cuando rueda y desliza

Cuando el valor absoluto de la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo |Fr|=μ·N, el carrete empieza a rodar deslizando, se deja de cumplir la relación entre las dos aceleraciones ac≠α·R

Carrete de forma cilíndrica

Consideremos un carrete de forma cilíndrica de masa m y radio R, con una pequeña hendidura de radio r, donde se enrolla la cuerda de cuyo extremo se tira con una fuerza F haciendo una ángulo θ con la horizontal. Se supone que la hendidura no contribuye a la masa m o al momento de inercia Ic=mR2/2 del cilindro.

a c = 2F 3m ( cosθ r R ) F r = F 3 ( cosθ+2 r R )

El máximo valor de la fuerza de rozamiento vale, μ(mg-Fsinθ)

Ejemplo:

Sea la masa del carrete m=1 kg, cociente r/R=0.3 y μ=0.6

  1. Si θ=30º, tirando con una fuerza F>2g el carrete deja de tener contacto con el suelo
  2. θc=72.5º, la aceleración ac=0. Para θ<θc, el carrete se mueve hacia la derecha, para θ>θc, el carrete se mueve hacia la izquierda
  3. θr=126.8º la fuerza de rozamiento se hace cero

Dado el valor de la fuerza F, el cociente r/R y el coeficiente μ, vamos a investigar los ángulos 0<θ<π para los que se cumple que |Fr|≤μ·N

Representamos las funciones:

| F 3 ( cosθ+2 r R ) | μ ( mgFsinθ )

F=5;  %fuerza aplicada 
r_R=0.3; %cociente de radios r/R
mu=0.6;  %coeficiente de rozamiento
fr=@(x) abs(F*(cos(x)+2*r_R)/3);
fMax=@(x) mu*(9.8-F*sin(x));
hold on
fplot(fr,[0,pi],'r')
fplot(fMax,[0,pi],'b')
set(gca,'XTick',0:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3','5\pi/6','\pi'})
hold off
grid on
legend('F_r','F_r máx')
xlabel('\theta')
ylabel('F_r')
title('Carrete  que rueda')

Para μ=0.6, la fuerza de rozamiento Fr se mantiene inferior al valor máximo μN para todos los ángulos 0<θ

Para μ=0.2, la fuerza de rozamiento Fr alcanza un valor superior al máximo μN para varios ángulos 0<θ<θm

Calculamos el ángulo de intersección θm con la función fzero de MATLAB

>> f=@(x) fr(x)-fMax(x);
>> fzero(f,pi/2)*180/pi
ans =   91.3655

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte superior se proporcionan los datos d ela aceleración del centro de masa ac y de la acleración angular α de rotación alrededor de un eje perpendicular al plano del carrete y que pasa por el c.m. Ambas aceleraciones son iguales si el carrete rueda sin deslizar: ac= α·R. El radio R=1 del carrete

Se proporciona el valor de la fuerza de rozamiento Fr y del máximo valor de la fuerza de rozamiento μN


Referencias

Clemens Wagner, Andreas Vaterlaus. Non-slipping domains of a pulled spool. Eur. J. Phys. 35 (2014) 065002