Movimiento de un carrete que rueda

Movimiento del cilindro

Sea un cilindro de masa m y radio R. Se aplica una fuerza constante F haciendo un ángulo θ (0≤θ<90°) respecto de la horizontal a una cierta altura h, tal como se muestra en la figura.

El cilindro rueda sobre un plano horizontal bajo la acción de la fuerza F y de la fuerza de rozamiento Fr en el punto de contacto P entre el cilindro y el plano horizontal. El sentido de esta fuerza viene determinado por las ecuaciones del movimiento

Supondremos que la componente vertical de la fuerza Fsinθ es menor que el peso mg del cilindro, para que la reacción del plano N=mg-Fsinθ>0.

Movimiento de rodar sin deslizar

La velocidad del punto P de contacto es nula para que el cilindro ruede sin deslizar. La relación entre aceleraciones es, ac=αR. En el sistema de dos ecuaciones eliminamos la fuerza de rozamiento Fr

a c =αR= 2F 3m ( h R cosθ b R sinθ )

Las aceleraciones se anulan para el ángulo crítico θc

tan θ c = h b = 1 2 R h 1

Para θ<θc, las aceleraciones son positivas. Para θ>θc son negativas.

La fuerza de rozamiento Fr no puede ser mayor que la valor máximo μsN=μs(mg-Fsinθ).

Calculamos la fuerza F que hace que la fuerza de rozamiento alcance su valor máximo. En el sistema de ecuaciones eliminamos la aceleración ac, y despejamos la fuerza de rozamiento

{ Fcosθ+ F r =m a c Fcosθ hR R Fsinθ b R F r = 1 2 m a c F r =F( ( 2 3 h R 1 )cosθ 2 3 b R sinθ )

Su valor máximo es |Fr|=μs(mg-Fsinθ), despejamos F que denominamos Fm

F m = μ s mg | ( 2 3 h R 1 )cosθ+( μ s 2 3 b R )sinθ |

Para que le cilindro ruede sin deslizar la fuerza aplicada F<Fm tendrá que ser menor que la máxima. Por otra parte, la reacción N=mg-Fsinθ>0

Rueda y desliza

La velocidad del punto de contacto P del cilindro con el plano horizontal no es nula. La fuerza de rozamiento es opuesta al sentido de la velocidad vP. La fuerza de rozamiento vale ahora, |Fr|=μk(mg-Fsinθ). Siendo μk el coeficiente cinético

Para que el cilindro ruede y deslice la fuerza aplicada F>Fm tiene que ser mayor que la máxima y a su vez, tendrá que cumplir que la reacción N>0, es decir, (mg-Fsinθ)>0. El intervalo de valores de la fuerza aplicada es

F m <F< mg sinθ

Véamos un ejemplo. Sea μs=μk=0 y F=mg.

F>Fm=0

La acelearación del centro del cilindro ac y la aceleración α son

a c =gcosθ αR=2g( ( h R 1 )cosθ b R sinθ )

La aceleración del centro de masas ac>0

La aceleración angular, presenta un comportamiento más complejo. Se anula para el ángulo tanθc=(h-R)/b

Ejemplos

Sea el coeficiente estático μs=1/4 y el cinético μk=1/5

  1. La fuerza F se aplica a una altura h/R=2. El ángulo θ=0

  2. N=mg-Fsinθ=mg>0

    La fuerza máxima vale, Fm=3mg/4

    Analizamos el comportamiento del cilindro para dos valores de la fuerza aplicada F

  3. La fuerza F se aplica a una altura h/R=1. El ángulo θ=90°

  4. Como vemos en la figura, b/R=1

    La fuerza máxima vale, Fm=3mg/5

    Analizamos el comportamiento del cilindro para dos valores de la fuerza aplicada F

  5. La fuerza F se aplica a una altura h/R=1/2. El ángulo θ=60°

  6. La distancia b R = 3 2

    La fuerza máxima vale,

    F m = mg | 3 2 10 3 | =0.4053·mg

    Analizamos el comportamiento del cilindro para dos valores de la fuerza aplicada F

Movimiento del carrete

Aplicamos una fuerza F al carrete haciendo un ángulo θ con la horizontal tal como se indica en la figura. La fuerza F tiene una componente horizontal F·cosθ .

Las ecuaciones del movimiento son ahora.

Si se cumple que |Fr|≤μs·N y además, el carrete rueda sin deslizar ac=α·R, despejamos la aceleración del centro de masas ac y la fuerza de rozamiento Fr.

a = c F mk ( cosθ r R )k=1+ I c m R 2

F r = F k ( I c m R 2 cosθ+ r R )

Consecuencias

  1. La aceleración del c.m. ac es nula para cosθ=r/R

  2. Para estos dos ángulos críticos la aceleración del c.m. cambia de signo

    θ c1 =arccos( r R ) θ c2 =2πarccos( r R )

    r_R=0.5; %cociente r/R
    fplot(@(x) cos(x)-r_R,[0,2*pi]) %proporcional a la aceleración del c.m.
    x1=acos(r_R);
    line([x1,x1],[-1.5,0],'lineStyle','--')
    x2=2*pi-x1;
    line([x2,x2],[-1.5,0],'lineStyle','--')
    grid on
    xlabel('\theta')
    ylabel('a_c')
    title('Aceleración')

  3. La fuerza de rozamiento Fr se anula cuando cosθr=-mrR/Ic

  4. Existen dos ángulos para los cuales la fuerza de rozamiento cambia de signo, siempre que se cumpla que Ic>mrR

    θ r1 =arccos( mrR I c ) θ r2 =2πarccos( mrR I c )

Condición de rodar sin deslizar

Queda por determinar el intervalo de ángulos θ para cada fuerza F, para los cuales se cumple que el valor absoluto de la fuerza de rozamiento Fr no exceda el valor máximo μs·N

| F k ( I c m R 2 cosθ+ r R ) | μ s ( mgFsinθ )

Cuando rueda y desliza

Cuando el valor absoluto de la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo |Fr|=μs·N, el carrete empieza a rodar deslizando, se deja de cumplir la relación entre las dos aceleraciones ac≠α·R

Carrete de forma cilíndrica

Consideremos un carrete de forma cilíndrica de masa m y radio R, con una pequeña hendidura de radio r, donde se enrolla la cuerda de cuyo extremo se tira con una fuerza F haciendo una ángulo θ con la horizontal. Se supone que la hendidura no contribuye a la masa m o al momento de inercia Ic=mR2/2 del cilindro.

a c = 2F 3m ( cosθ r R ) F r = F 3 ( cosθ+2 r R )

El máximo valor de la fuerza de rozamiento vale, μs(mg-Fsinθ)

Ejemplo:

Sea la masa del carrete m=1 kg, cociente r/R=0.3 y μ=0.6

  1. Si θ=30º, tirando con una fuerza F>2g el carrete deja de tener contacto con el suelo

  2. θc=72.5º, la aceleración ac=0. Para θ<θc, el carrete se mueve hacia la derecha, para θ>θc, el carrete se mueve hacia la izquierda

  3. θr=126.8º la fuerza de rozamiento se hace cero

Dado el valor de la fuerza F, el cociente r/R y el coeficiente μ, vamos a investigar los ángulos 0<θ<π para los que se cumple que |Fr|≤μs·N

Representamos las funciones:

| F 3 ( cosθ+2 r R ) | μ s ( mgFsinθ )

F=5;  %fuerza aplicada 
r_R=0.3; %cociente de radios r/R
mu=0.6;  %coeficiente estático
fr=@(x) abs(F*(cos(x)+2*r_R)/3);
fMax=@(x) mu*(9.8-F*sin(x));
hold on
fplot(fr,[0,pi],'r')
fplot(fMax,[0,pi],'b')
set(gca,'XTick',0:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3','5\pi/6','\pi'})
hold off
grid on
legend('F_r','F_r máx')
xlabel('\theta')
ylabel('F_r')
title('Carrete  que rueda')

Calculamos el ángulo de intersección θm con la función fzero de MATLAB

>> f=@(x) fr(x)-fMax(x);
>> fzero(f,pi/2)*180/pi
ans =   91.3655

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte superior se proporcionan los datos d ela aceleración del centro de masa ac y de la acleración angular α de rotación alrededor de un eje perpendicular al plano del carrete y que pasa por el c.m. Ambas aceleraciones son iguales si el carrete rueda sin deslizar: ac= α·R. El radio R=1 del carrete

Se proporciona el valor de la fuerza de rozamiento Fr y del máximo valor de la fuerza de rozamiento μN


Equilibrio. Estática

Plano horizontal

Plano inclinado

Supongamos que el carrete descansa sobre un plano inclinado un ángulo α

Fijados r/R y μs, representamos los valores positivos de la función f(α)

f( α )=arccos( r R sinα μ s + r R cosα )α

entre 0 y θ1-α. Para ello, evitamos try...catch que el argumento del arco coseno sea mayor que la unidad y calculamos la raíz (cero) de dicha función.

Por ejemplo, sea r/R=0.4, y μs=0.3, para una pendiente de α=pi/12 (15°), los ángulos de equilibrio están comprendidos en el intervalo -0.4885≤θ≤0.4885, (línea vertical)

r=0.4; %cociente r/R
mu=0.3; %coeficiente estático
th_1=@(x) acos(r*sin(x)/mu+r*cos(x))-x;
try
    f=@(x) sin(x)/mu+cos(x)-1/r;
    raiz=fzero(f,[0,pi/2]);
catch
    raiz=pi/2;
end
ang_max=fzero(th_1,[0,raiz]);
hold on
fplot(th_1,[0,ang_max])
fplot(@(x) -th_1(x),[0,ang_max])
th=pi/12;
th_max=th_1(th);
line([th,th],[th_max,-th_max],'color','k')
plot(th,th_max,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
plot(th,-th_max,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
hold off
grid on
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3', '5\pi/12', '\pi/2'})
set(gca,'YTick',-pi/2:pi/12:pi/2)
set(gca,'YTickLabel',{'-\pi/2','-5\pi/12','-\pi/3','-\pi/4','-\pi/6', 
'-\pi/12','0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3', '5\pi/12', '\pi/2'})
xlabel('\alpha')
ylabel('\theta')
title('Intervalo angular')

Calculamos la fuerza aplicada F, la fuerza de rozamiento Fr y su valor máximo μsN para tres ángulos θ

θFFrμsN
00.43140.1725 0.2898
0.4 (22.9°)0.49670.19870.2317
0.4885 (28.0°)0.53580.21430.2143

En los tres casos se cumple que FrμsN

Referencias

V Oliveira. Angular and linear accelerations of a rolling cylinder acted by an external force. Eur. J. Phys. 32 (2011) 381-388

Clemens Wagner, Andreas Vaterlaus. Non-slipping domains of a pulled spool. Eur. J. Phys. 35 (2014) 065002

R De Luca, O Faella. Static properties of a spool on an incline: an IBSE lecture proposal. Phys. Educ. 57 (2022) 055002