Movimiento de un vehículo

Un vehículo está formado por una plataforma de masa m situada sobre dos cilindros iguales (delantero y trasero) de masa M y radio R. La separación entre los ejes de los cilindros es 2d, la plataforma se eleva h sobre los ejes de las ruedas. El vehículo se mueve a lo largo de un plano inclinado θ.

Supondremos que el momento de inercia de cada rueda es I=MR²/2 y que el coeficiente estático μ_s y el coeficente cinético μ_k coinciden y son iguales a μ

Ecuaciones del movimiento

Dibujamos las fuerzas sobre la plataforma y sobre cada uno de los dos cilindros

Las fuerzas de interacción mutua entre las ruedas y la plataforma son n₁, n₂, f₁ y f₂

Movimiento de la plataforma

La plataforma está en equilibrio en la dirección perpendicular al plano inclinado

n₁+n₂=mgcosθ

El momento de las fuerzas sobre la plataforma deberá ser cero. Elegimos el centro de la plataforma para calcular los momentos

n₁d-n₂d-f₁h-f₂h=0

Si la plataforma se mueve con aceleración a a lo largo del plano, la segunda ley de Newton se escribe

mgsinθ-f₁-f₂=ma

Movimiento de la rueda delantera

Equilibrio en la dirección perpendicular al plano inclinado

Mgcosθ+n₁=N₁

Movimiento de traslación del eje de la rueda a lo largo del plano inclinado

Mgsinθ+f₁-F₁=Ma

Movimiento de rotación alrededor del eje del cilindro

F₁R=I·α₁

Movimiento de la rueda trasera

Equilibrio en la dirección perpendicular al plano inclinado

Mgcosθ+n₂=N₂

Movimiento de traslación del eje de la rueda a lo largo del plano inclinado

Mgsinθ+f₂-F₂=Ma

Movimiento de rotación alrededor del eje del cilindro

F₂R=I·α₂

En el sistema de ecuaciones hemos de eliminar las fuerzas: n₁, n₂, f₁ y f₂, quedando el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{array}{l} N_{1} + N_{2} = (m + 2 M) g \cos θ \\ (N_{1} - N_{2}) d - (F_{1} + F_{2} + 2 M a - 2 M g \sin θ) h = 0 \\ (m + 2 M) g \sin θ - F_{1} - F_{2} = (m + 2 M) a \end{array}$

Denominaremos t=h/d y a la masa de la plataforma m=n·M. La masa total (m+2M), suma de la plataforma y las dos ruedas es (n+2) veces la masa M de una rueda.

$\begin{array}{l} N_{1} + N_{2} = (n + 2) M g \cos θ \\ N_{1} - N_{2} = (F_{1} + F_{2} + 2 M a - 2 M g \sin θ) t \\ (n + 2) M g \sin θ - F_{1} - F_{2} = (n + 2) M a \end{array}$

Tenemos tres ecuaciones con cinco incógnitas: N₁, N₂, F₁, F₂ y la aceleración a. Las otras dos ecuaciones F₁R=I·α₁ y F₂R=I·α₂, nos permiten calcular las aceleraciones angulares α₁ y α₂ de cada uno de los cilindros

Estableceremos relaciones entre las cinco incógnitas para resolver los diferentes casos

Los cilindros ruedan sin deslizar

Para que haya movimiento de rodar sin deslizar a=α·R, se tiene que cumplir que F_r≤μ_s·N

Si los cilindros ruedan sin deslizar, la aceleración a de traslación de eje y la aceleración angular de rotación α alrededor del eje del cilindro, están relacionadas, a=α·R, por lo que se establece las siguientes relaciones entre las fuerzas de rozamiento F₁, F₂ y la aceleración a del vehículo

$\begin{array}{l} F_{1} R = I α_{1} = I \frac{a}{R} \\ F_{2} R = I α_{2} = I \frac{a}{R} \end{array}$

Introducimos F₁=Ma/2 y F₂=Ma/2 en el sistema de tres ecuaciones. Despejamos la aceleración a.

$a = \frac{n + 2}{n + 3} g \sin θ$

Las aceleraciones angulares de rotación de los cilindros son iguales α₁=α₂=a/R

Despejamos N₁ y N₂ en el sistema de tres ecuaciones

$\begin{array}{l} N_{1} = \frac{n + 2}{2} M g \cos θ + \frac{n}{2 (n + 3)} t M g \sin θ \\ N_{2} = \frac{n + 2}{2} M g \cos θ - \frac{n}{2 (n + 3)} t M g \sin θ \end{array}$

Las fuerzas F₁=F₂ valen

$F_{1} = \frac{1}{2} \frac{n + 2}{n + 3} M g \sin θ$

Los valores de las fuerzas F₁=F₂, se deberán mantener inferiores a F₁<μ_sN₁ y F₂<μ_sN₂, para que los dos cilindros rueden sin deslizar

Como N₂ es menor que N₁, el cilindro trasero empieza a deslizar para el ángulo límite θ₂

$\tan θ_{2} = \frac{(n + 2) (n + 3) μ}{(n + 2) + n μ t}$

Para que los cilindros rueden sin deslizar el ángulo θ del plano inclinado deberá cumplir θ<θ₂. En caso contrario, el cilindro trasero empieza a deslizar y el delantero rueda sin deslizar

El cilindro trasero desliza y el delantero rueda

En este caso, tendremos las siguientes relaciones

El cilindro delantero rueda sin deslizar, F₁R=I·α₁=Ia/R
El cilindro trasero desliza, F₂=μ_kN₂ y rueda F₂R=I·α₂, por lo que a≠α₂R

Introducimos en el sistema de tres ecuaciones F₁=Ma/2 y F₂=μ_kN₂. Despejamos la aceleración a.

$a = g \frac{2 (n + 2) \sin θ - μ ((n + 2) \cos θ - n t \sin θ)}{(2 n + 5) + n μ t}$

Despejamos N₁, N₂

$\begin{array}{l} N_{1} = \frac{n + 2}{2} M g \cos θ + \frac{n}{2} (M g \sin θ - M a) t \\ N_{2} = \frac{n + 2}{2} M g \cos θ - \frac{n}{2} (M g \sin θ - M a) t \end{array}$

Las aceleraciones angulares de rotación de los cilindros son distintas, α₁=a/R, α₂=2F₂/MR=μN₂/MR

La fuerza F₁ vale

$F_{1} = \frac{1}{2} M g \frac{2 (n + 2) \sin θ - μ ((n + 2) \cos θ - n t \sin θ)}{(2 n + 5) + n μ t}$

El valor de la fuerza F₁, se deberá mantener inferior a F₁<μ_sN₁, para que el cilindro delantero ruede sin deslizar

El cilindro delantero empieza a deslizar para el ángulo límite θ₁

$\tan θ_{1} = μ ((n + 3) + n μ t)$

Para que el cilindro delantero ruede sin deslizar el ángulo θ del plano inclinado deberá cumplir θ₂<θ<θ₁. Si se supera este ángulo θ>θ₁, el cilindro delantero empieza a deslizar

Ambos cilindros deslizan

En este caso, tendremos las siguientes relaciones

El cilindro delantero desliza, F₁=μ_kN₁ y rueda F₁R=I·α₁, por lo que a≠α₁R
El cilindro trasero desliza, F₂=μ_kN₂ y rueda F₂R=I·α₂, por lo que a≠α₂R

Introducimos F₁=μN₁ y F₂=μN₂ en el sistema de tres ecuaciones. Despejamos la aceleración a.

$a = g (\sin θ - μ \cos θ)$

Despejamos N₁, N₂

$\begin{array}{l} N_{1} = \frac{(n + 2) + n μ t}{2} M g \cos θ \\ N_{2} = \frac{(n + 2) - n μ t}{2} M g \cos θ \end{array}$

Las aceleraciones angulares de rotación de los cilindros son distintas, α₁=2F₁/MR=μN₁/MR y α₂=μN₂/MR

Resultados

Representamos las reacciones del plano inclinado N₁/Mg y N₂/Mg en función del ángulo θ, para t=h/d=0.3, n=5 y μ=0.2

t=0.3;    %h/d
mu=0.2; %coeficiente de rozamiento
n=5; %masa plataforma
ang2=atan(mu*(n+2)*(n+3)/((n+2)+mu*t*n));
ang1=atan(mu*(n*mu*t+(n+3)));

ang=linspace(0,ang2,50);
N1=(n+2)*cos(ang)/2+n*t*sin(ang)/(2*(n+3));
N2=(n+2)*cos(ang)/2-n*t*sin(ang)/(2*(n+3));
hold on
plot(ang,N1,'r')
plot(ang,N2,'b')
line([ang2,ang2],[0,N2(end)], 'color','b','lineStyle','--');

ang=linspace(ang2,ang1,50);
aa=(2*(n+2)*sin(ang)-mu*((n+2)*cos(ang)-n*t*sin(ang)))/(2*n+5+n*t*mu);
N1=(n+2)*cos(ang)/2+n*(sin(ang)-aa)*t/2;
N2=(n+2)*cos(ang)/2-n*(sin(ang)-aa)*t/2;
plot(ang,N1,'r')
plot(ang,N2,'b')
line([ang1,ang1],[0,N1(end)],'color','r','lineStyle','--');

ang=linspace(ang1,1.4,50);  %1.4 es 80º
N1=((n+2)+mu*t*n)*cos(ang)/2;
N2=((n+2)-mu*t*n)*cos(ang)/2;
plot(ang,N1,'r')
plot(ang,N2,'b')

hold off
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('N/(Mg)')
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4', '\pi/3', '5\pi/12'})
legend('N_1', 'N_2')
title('Reacción N_1 y N_2')

En la figura, se señalan los ángulo θ₂ y θ₁. Los tres regímenes de movimiento son:

θ<θ₂, los dos cilindros ruedan sin deslizar
θ₂<θ<θ₁, el cilindro trasero desliza y el delantero rueda sin deslizar
θ>θ₁, los dos cilindros deslizan

Representamos la aceleración a del vehículo en función del ángulo θ, para t=h/d=0.3, n=5 y μ=0.2

t=0.3;    %h/d
mu=0.2; %coeficiente de rozamiento
n=5; %masa plataforma
ang2=atan(mu*(n+2)*(n+3)/((n+2)+mu*t*n));
ang1=atan(mu*(n*mu*t+(n+3)));

ang=linspace(0,ang2,50);
a=9.8*(n+2)*sin(ang)/(n+3);
hold on
plot(ang,a);
line([ang2,ang2],[0,a(end)],'lineStyle','--');

ang=linspace(ang2,ang1,50);
a=9.8*(2*(n+2)*sin(ang)-mu*((n+2)*cos(ang)-n*t*sin(ang)))/(2*n+5+n*t*mu);
plot(ang,a)
line([ang1,ang1],[0,a(end)],'lineStyle','--');

ang=linspace(ang1,1.4,50);  %1.4 es 80º
a=9.8*(sin(ang)-mu*cos(ang));
plot(ang,a)

hold off
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('a (m/s^2)')
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4', '\pi/3', '5\pi/12'})
title('Aceleración')

Referencias

Problema propuesto en XXXIII Olimpiada Internacional de Física. Nusa Dua (Indonesia), 2002