Modelos simples de gas ideal. Transformación adiabática

Un gas ideal contenido en un cilindro con un émbolo móvil

En la deducción de la ley de los gases ideales a partir de los choques de las moléculas con las paredes del recipiente, hemos supuesto que el émbolo está fijo. De modo, que la molécula rebota cuando choca con el émbolo cambiando el signo de la componente X su velocidad.

Mediante un modelo simple, se han interpretado microscópicamente las magnitudes macroscópicas presión y temperatura. Los pasos han sido los siguientes:

  1. Se determina el cambio de momento lineal que experimenta una molécula cuando choca con el émbolo.
  2. Se determina el número de choques que experimentan las moléculas con el émbolo en la unidad de tiempo.
  3. Se calcula la fuerza que ejerce el émbolo sobre las moléculas del gas para producirles dicho cambio de momento lineal.
  4. Se relaciona la temperatura con la energía cinética media de las moléculas.

En la derivación de la ecuación de la transformación adiabática, no se emplea ni el primer principio ni la ecuación de estado de un gas ideal, solamente la relación entre energía cinética media de las moléculas del gas y su temperatura, es decir, la definición cinética de temperatura.

Choque de una molécula contra un émbolo móvil

Cuando un émbolo se mueve hacia la izquierda comprimiendo el gas encerrado en el recipiente, las moléculas que chocan contra el émbolo, como vemos en las figuras, incrementan su velocidad a causa de su choque con una pared móvil.

Cada molécula del gas cambia su velocidad en el choque contra el émbolo móvil desde vx a –vx-2ve.

Se supone que el émbolo no cambia de velocidad como resultado del choque con las moléculas ya que su masa M es muy grande comparada con la masa m de una molécula.

Deducción alternativa

Una partícula de masa m y velocidad vx choca elásticamente con un émbolo de masa M que se mueve con velocidad (–ve).

Conservación del momento lineal y la igualdad de la energía cinética antes y después del choque

m v x +M( v e )=m v x ' +M v e ' 1 2 m ( v x ) 2 + 1 2 M ( v e ) 2 = 1 2 m ( v x ' ) 2 + 1 2 M ( v e ' ) 2

Escribimos las dos ecuaciones en la forma equivalente

m( v x v x ' )=M( v e ' + v e ) m( v x v x ' )( v x + v x ' )=M( v e ' + v e )( v e ' v e )

Despejando las incógnitas

v x ' = 2M v e +(mM) v x m+M v e ' = 2m v x (Mm) v e m+M v x ' = 2 v e +(m/M1) v x m/M+1 v e ' = 2(m/M) v x (1m/M) v e m/M+1

Como la masa M del émbolo es muy grande comparado con masa m de la partícula

v x ' =2 v e v x v e ' = v e

El émbolo no cambia de velocidad como resultado del choque con las moléculas ya que su masa M es muy grande comparada con la masa m de una molécula. Sin embargo, como el número de choques es muy grande, para que el émbolo se mantenga con velocidad constante es necesario ejercer una fuerza.

Mediante este mecanismo, el émbolo incrementa la energía de las partículas encerradas en el recipiente. La velocidad de desplazamiento del émbolo es muy pequeña comparada con la velocidad de las moléculas, la energía ganada por una molécula en su choque con el émbolo es rápidamente redistribuida entre las otras moléculas del gas, de modo que el gas está siempre en equilibrio.

Supongamos que el gas consiste en N partículas contenidas en el volumen cilíndrico de longitud L, tal como se muestra en la figura.

Si el gas tiene N partículas, el tiempo medio entre dos colisiones es

Δt= 2L N v x

La ganancia de energía cinética que experimenta el gas en cada choque con el émbolo es

1 2 m ( v x 2 v e ) 2 1 2 m v x 2 =2m v x v e ( 1+ v e 2 v x )2m v x v e

Hemos supuesto que la velocidad con la que se mueve el émbolo ve es mucho más pequeña que la velocidad promedio vx de las moléculas del gas.

Cambio en la temperatura del gas

El incremento de energía cinética en cada choque se redistribuye entre todas las moléculas del gas. La energía media ganada por partícula es 2m v x v e /N y este incremento de energía se refleja en un incremento de temperatura

3 2 kΔT= 2m v x v e N

donde la velocidad de desplazamiento del émbolo es ve=-ΔL/Δt, el desplazamiento ΔL del émbolo que ocurre entre dos choques sucesivos Δt.

Introducimos el valor de Δt (tiempo medio entre dos colisiones) calculado en el apartado anterior.

3 2 kΔT=m v x 2 ΔL L

Como hemos visto, las velocidades a lo largo del eje X no estarán relacionadas con las velocidades a lo largo del eje Y o Z, por tanto, <v2>=3<v2x>.

3 2 kΔT=m v 2 3 ΔL L   

Como el término mv2 es el doble de la energía cinética media, expresándolo en función de la temperatura T, queda la relación

3 2 kΔT=kT ΔL L

Finalmente, la relación entre las magnitudes macroscópicas volumen y temperatura es,

ΔT T = 2 3 ΔV V

Integrando obtenemos la relación entre el volumen y la temperatura del gas ideal o bien, la relación entre la presión y el volumen

T V 2/3 =cteP V 5/3 =cte

Para un gas monoatómico, los calores específicos son: cv=3R/2 y cp=cv+R=5R/2. De modo que γ =cp/cv=5/3

La ecuación para una transformación adiabática es por tanto,

p V γ =cte

Un gas ideal formado por una sola partícula

Movimiento de la partícula

Consideremos una partícula que se mueve libremente entre una pared fija situada en x=0, y una pared móvil situada inicialmente en la posición x0 en el instante t=0.

La pared móvil se mueve con velocidad constante u hacia la pared fija.

La posición de la pared móvil en el instante t es x=x0-u·t

Primer choque:

La partícula parte en el instante t=0, de la posición x0, y se mueve hacia la pared fija con velocidad constante v0. Choca con la pared fija cambiando el sentido de su velocidad y se dirige al encuentro de la pared móvil, que se produce en el instante t1.

t 1 = 2 x 0 u+ v 0

La posición de la pared móvil en dicho instante es x1=x0-u·t1

Segundo choque:

Después del choque, velocidad de la partícula es v1=v0+2u y se dirige hacia la pared fija. Choca con la pared fija, cambiando el sentido de su velocidad y se dirige al encuentro de la pared móvil, que se produce en el instante t2.

t 2 = t 1 + 2 x 1 u+ v 1

La posición de la pared móvil en dicho instante es x2=x0-u·t2

Tercer choque:

Después del choque, la velocidad de la partícula es v2=v1+2u=v0+2(2u) y se dirige hacia la pared fija. Choca con la pared fija, cambiando el sentido de su velocidad y se dirige al encuentro de la pared móvil, que se produce en el instante t3.

t 3 = t 2 + 2 x 2 u+ v 2

La posición de la pared móvil en dicho instante es x3=x0-u·t3

Choque n+1:

Después del choque n la velocidad de la partícula es vn=vn-1+2u=v0+n(2u) y se dirige hacia la pared fija. Choca con la pared fija, cambiando el sentido de su velocidad y se dirige al encuentro de la pared móvil, que se produce en el instante tn+1.

t n+1 = t n + 2 x n u+ v n

La posición de la pared móvil en dicho instante es xn+1=x0-u·tn+1

La velocidad de la partícula va creciendo, con el número n de choques, alcanzando el valor

vn =v0+2nu

El desplazamiento de la pared móvil entre dos choques sucesivos que se producen en los instantes tn y tn+1 es

x n+1 x n = x 0 u( t n + 2 x n u+ v n )( x 0 u t n )= 2 x n u u+ v 0 +2nu x n+1 x n = 2 x n (2n+1)+ v 0 /u

De la formulación discreta a la continua.

El parámetro macroscópico observable es la posición x de la pared móvil o el volumen del recipiente que contiene la partícula. Expresaremos la fuerza que ejerce la pared sobre la partícula, el trabajo y la energía cinética de la partícula en función de x.

Como x es una función de n podemos escribir de forma aproximada

dx(n) dn = 2x(n) (2n+1)+ v 0 /u

Separando variables e integrando

x 0 x dx 2x = 0 n dn (2n+1)+ v 0 /u 1 2 ln x x 0 = 1 2 ln 2n+1+ v 0 /u 1+ v 0 /u

Despejando x

x= x 0 (1+ v 0 /u) 2n+1+ v 0 /u

El desplazamiento Δx de la pared móvil durante el intervalo de tiempo entre dos choques consecutivos es

x n+1 x n Δx= 2x 2n+1+ v 0 /u

La posición x de la pared móvil es función del número de choques n. La velocidad de la partícula v es también función del número de choques n, v=v0+2nu. Expresamos la velocidad v de la partícula en función de la posición x de la pared móvil

v=(u+ v 0 ) x 0 x u

Expresamos, igualmente el desplazamiento Δx en función de x

Δx= 2xu v+u = 2 x 2 u (u+ v 0 ) x 0

A partir de la expresión de x en función del número n de choques, despejamos n y derivamos respecto del tiempo.

2 dn dt = x 0 (1+ v 0 /u) x 2 dx dt

Teniendo en cuenta que dx/dt=-u, la frecuencia f de los choques (número de choques en la unidad de tiempo) es

f= dn dt = x 0 (u+ v 0 ) 2 x 2

El incremento de la frecuencia entre los choques se debe a dos causas:

Trabajo de la fuerza F que ejerce la pared móvil

El cambio de momento lineal en cada choque es  m(v+2u)-m(-v)=2m(u+v)

La fuerza F que ejerce la pared móvil se emplea en cambiar el momento lineal p de la partícula F=dp/dt. La fuerza F es el producto de la frecuencia de los choques por el cambio de momento lineal en cada choque.

F=2m(u+v)f=m (u+ v 0 ) 2 x 0 2 x 3

El trabajo de la fuerza F cuando la pared móvil se desplaza Δx es

F·Δx=m (u+ v 0 ) 2 x 0 2 x 3 · 2 x 2 u (u+ v 0 ) x 0 =2mu(u+ v 0 ) x 0 x

La variación de energía cinética en un choque es

Δ E k = 1 2 m ( v+2u ) 2 1 2 m v 2 =2mu(u+ v 0 ) x 0 x

El trabajo de de la fuerza F se invierte en incrementar la energía cinética de la partícula.

-F·ΔxEk

Relación entre las magnitudes microscópicas y los parámetros macroscópicos.

La energía cinética está relacionada con la temperatura, la fuerza con la presión y la posición de la pared móvil con el volumen del recipiente. Sustituimos:

-p·dV=k·dT

La ecuación de estado de los gases ideales relaciona, presión p, el volumen V y temperatura absoluta T.

nRT V dV=kdT dT T +(γ-1) dV V =0

Integrando miembro a miembro, obtenemos la ecuación de una transformación adiabática.

T V γ1 =cteP V γ =cte

donde γ al igual que k son constantes.

Actividades

Se introduce

Se pulsa en el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento de la partícula. En la parte superior izquierda, se proporciona el dato de la velocidad v de la partícula en cada instante t.

En la parte superior, se representan en dos gráficas la velocidad v de la partícula en función de la posición x del émbolo móvil.

Referencias

Miranda E. N. Adiabatic reversible compression: a molecular view. Eur. J. Phys. 23 (2002), pp. 389-393

Vermillon, R. Compresing a classical particle in a 1-D box. Am. J. Phys. 40, September 1978, pp. 1340-1342