Emisión termoiónica

La energía de Fermi

Vamos a determinar cómo los electrones ocupan los niveles de energía. En la página titulada Distribución de la energía entre las moléculas de un gas ideal calculamos g(E), el número de niveles de energía comprendidos entre E y E+dE disponibles para una partícula libre encerrada en una caja de volumen V

g(E)= 4πV (2 m 3 ) 1/2 h 3 E 1/2

Cada nivel puede acomodar dos electrones (uno con espín hacia arriba y otro con espín hacia abajo).

g(E)= 8πV (2 m 3 ) 1/2 h 3 E 1/2

Si el metal está en su estado fundamental (en el cero absoluto de temperatura), todos los electrones ocupan los niveles más bajos de energía posibles, compatibles con el principio de exclusión de Pauli. Se denomina energía de Fermi, εF la energía del nivel más alto ocupado.

N= 0 ε F g(E)dE = 8πV (2 m 3 ) 1/2 h 3 0 ε F E 1/2 dE = 16πV (2 m 3 ) 1/2 3 h 3 ε F 3/2

Si n0=N/V es el número de electrones por unidad de volumen, la energía de Fermi εF es

ε F = h 2 8m ( 3 n 0 π ) 2/3

MetalεF (eV)
Litio4.72
Sodio3.12
Potasio2.14
Cobre7.04
Plata5.51
Oro5.514

Fuente: Física. Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. Marcelo Alonso. Edward J. Finn. Fondo Educativo Interamericano. (1971), pág. 536

Supongamos que calentamos el metal a una temperatura T. Los electrones más próximos al nivel de Fermi pueden ser excitados térmicamente, ascendiendo de nivel de energía, tal como se muestra en la figura.

Hemos obtenido la fórmula la distribución de energía de las moléculas de un gas ideal. De un modo similar, el número de electrones por unidad de volumen cuya energía está comprendida entre E y E+dE viene dado por.

dn= 1 exp( E ε F kT )+1 8π (2 m 3 ) 1/2 h 3 E 1/2 dE

El primer término indica que los electrones obedecen a la estadística de Fermi.

k=1.6021e-19/1.3805e-23; %electron-voltios/constante Boltzmann
EF=3.12; %energía de Fiemi del sodio
hold on
for T=[0,300,5000]
    f=@(x) sqrt(x)./(exp((x-EF)*k/T)+1);
    fplot(f,[0,6], 'displayName',num2str(T))
end
hold off
grid on
xlabel('E (eV)')
ylabel('dn/dE')
legend('-DynamicLegend','location','northeast')
title('Distribución de electrones')

A temperatura ambiente, los electrones ocupan los niveles de energía hasta la energía de Fermi, εF. Para extraer un electrón del metal es necesario suministrarle una energía φ, esto es lo que ocurre por ejemplo, en el efecto fotoeléctrico, en el cual solamente se emiten fotoelectrones si hf>φ, la cantidad φ se denomina energía de arranque del metal. A temperaturas altas, sin embargo, la ocupación de estados electrónicos se extiende bien por encima de εF. Si la temperatura es suficientemente alta, los electrones adquieren energías mayores que εF y escapan del metal (se evaporan). Este proceso se denomina emisión termoiónica y es la base del funcionamiento de las válvulas electrónicas.

Para los electrones cuya energía E es mayor que la del nivel de Fermi, εF, la exponencial en el denominador es mucho mayor que la unidad y se puede aproximar a la expresión,

1 exp( E ε F kT )+1 exp( E ε F kT )

k=1.6021e-19/1.3805e-23; %electron-voltios/constante Boltzmann
EF=3.12; %energía de Fiemi del sodio
hold on
T=3000;
f=@(x) sqrt(x)./(exp((x-EF)*k/T)+1);
g=@(x) sqrt(x).*exp(-(x-EF)*k/T);
fplot(f,[0,6])
fplot(g,[EF,6])
line([EF,EF],[0,g(EF)],'lineStyle','--')
hold off
grid on
xlabel('E (eV)')
ylabel('dn/dE')
legend('Fermi','Aproximación')
title('Distribución de electrones')

Emisión termoiónica

La fórmula de Richardson calcula la densidad de corriente Jx de los electrones que escapan en la dirección perpendicular a la superficie del metal calentado a la temperatura T, es decir, de aquellos cuya componente vx de la velocidad es superior a la mínima

1 2 m v x,.min 2 = ε F +φ

La densidad de corriente Jx es el producto de la carga q del electrón por el número de electrones dn cuya velocidad está comprendida entre vx y vx+dvx y por la velocidad vx de estos electrones siempre que sea superior a la mínima

Procedemos de forma similar al estudio de la sublimación de un sólido

J x = v x,min q v x dn=q 8π (2 m 3 ) 1/2 h 3 v x,min v x 1 exp( E ε F kT )+1 E 1/2 dE q 2 m 3 h 3 v x,min v x exp( m v 2 /2 ε F kT )4π v 2 dv

Recordando la equivalencia de las dos formas en las que se expresa la fórmula de la distribución de velocidades de las moléculas de un gas ideal.

J x q 2 m 3 h 3 exp( ε F kT ) v x,min v x exp( m v x 2 2kT )d v x exp( m v y 2 2kT )d v y exp( m v z 2 2kT )d v z

Teniendo en cuenta, los resultados de las integrales

a xexp( α x 2 ) dx= exp( α a 2 ) 2α exp( α x 2 ) dx= π α

Llegamos a la ecuación de Richardson

J x q 4π ( kT ) 2 m h 3 exp( ε F kT )exp( ε F +φ kT )=q 4π ( kT ) 2 m h 3 exp( φ kT )= A T 2 exp( φ kT )

Calculamos el valor del parámetro A a partir de las constantes fundamentales: k=1.3805·10-23 J/K, h=6.6256·10-34 J·s, q=1.6021·10-19 C, m=9.1091·10-31 kg. El valor de A=1 201 634 A/(m2K2)

Metalφ (eV)A Acm-2K-2
Cesio1.8120
Cromo4.448
Volframio4.575
Platino6.232
Niquel4.630
Calcio3.260
Molibdeno4.360

Fuente: Física. Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. Marcelo Alonso. Edward J. Finn. Fondo Educativo Interamericano. (1971), pág. 539

k=1.6021e-19/1.3805e-23; %electron-voltios/constante Boltzmann
phi=1.8; %energía de arranque del Cesio
A=120;
f=@(x) A*(x.^2).*exp(-phi*k./x);
T=1500:10:3000;
semilogy(T,f(T))
grid on
xlabel('T')
ylabel('J (A/cm^2)')
title('Ecuación de Richardson')

La emisión de electrones es muy sensible a las condiciones de la superficie y a la orientación de ésta respecto a la red cristalina del metal. La tabla proporciona algunos valores experimentales de la energía de arranque φ en eV y del parámetro A para diversos metales.

Referencias

Física. Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. Marcelo Alonso. Edward J. Finn. Fondo Educativo Interamericano. (1971)