Campo eléctrico de un sistema de dos o más cargas eléctricas

Cuando varias cargas están presentes el campo eléctrico resultante es la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada una de las cargas. Consideremos el sistema de dos cargas eléctricas de la figura.

El módulo del campo eléctrico producido por cada una de las cargas es

E 1 = 1 4π ε 0 Q 1 r 1 2 E 2 = 1 4π ε 0 Q 21 r 2 2

Y las componentes del campo total son

E x = E 1x + E 2x = E 1 cos θ 1 + E 2 cos θ 2 E y = E 1y + E 2y = E 1 sin θ 1 + E 2 sin θ 2

Ejemplo

Calcular el vector campo eléctrico y el potencial del sistema de cargas de la figura en P y en Q.

Datos: q1=28 10-9 C, q2= -16 10-9 C, Puntos P(1, 0), y Q(0,1.5) metros

Campo eléctrico y potencial en P

E 1 =9· 10 9 28· 10 9 3 2 =28 E 1 =28· i ^ E 2 =9· 10 9 16· 10 9 1 2 =144 E 2 =144· i ^ E = E 1 + E 2 =116· i ^ N/C V P = V 1 + V 2 =9· 10 9 28· 10 9 3 +9· 10 9 16· 10 9 1 =60V

Campo eléctrico y potencial en Q

E 1 =9· 10 9 28· 10 9 2 2 + 1.5 2 =40.32 E 1 = E 1 cosθ· i ^ + E 1 sinθ· j ^ E 1 =32.256· i ^ +24.192· j ^ E 2 =9· 10 9 16· 10 9 1.5 2 =64N/C E 2 =64· j ^ E = E 1 + E 2 =32.256· i ^ 39.808· j ^ N/C V Q = V 1 + V 2 =9· 10 9 28· 10 9 2 2 + 1.5 2 +9· 10 9 16· 10 9 1.5 =4.8V

Líneas de fuerza

Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las líneas de fuerza es

dy dx = E y E x

tal como se muestra en la figura.

Superficies equipotenciales

El potencial en el punto P debido a las dos cargas es la suma de los potenciales debidos a cada una de las cargas en dicho punto.

V= 1 4π ε 0 Q 1 r 1 + 1 4π ε 0 Q 2 r 2

Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. Representaremos la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.

La ecuación de las líneas equipotenciales es

dx dy = E y E x

En el caso de una carga puntual. Las líneas de fuerza son rectas que parten del origen y las equipotenciales son superficies eféricas concéntricas, tal como se muestra en la figura

Actividades

Se introduce

Se pulsa en el botón titulado Nuevo

Observar las líneas de fuerza (en color blanco) y las equipotenciales (en color azul claro) de este sistema de dos cargas.

Obtener el mapa de las líneas de fuerza y equipotenciales de:

El dipolo eléctrico

Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas, una positiva +Q y otra negativa -Q del mismo valor, separadas una distancia d.

El potencial en el punto P distante r1 de la carga –Q y r2 de la carga +Q es

V= Q 4π ε 0 ( 1 r 2 1 r 1 )

Expresamos r1 y r2 en función de r y θ, que es la posición del punto P expresada en coordenadas polares.

r 1 2 = r 2 + d 2 +2rdcosθ r 2 2 = r 2 + d 2 2rdcosθ

Teniendo en cuenta que d es pequeño frente a r, obtenemos una buena aproximación empleando el desarrollo en serie

( 1+x ) 1/2 =1 1 2 x+ 3 8 x 2 ...

para expresar de forma aproximada los cocientes r/r1 y r/r2.

r r 1 = ( 1+ d 2 r 2 + 2d r cosθ ) 1 2 1 1 2 ( d 2 r 2 + 2d r cosθ )+ 3 8 ( d 2 r 2 + 2d r cosθ ) 2 +...

Despreciando los términos de orden superior a d2/r2

r r 1 1 d r cosθ+ d 2 2 r 2 ( 3 cos 2 θ1 ) r r 2 1+ d r cosθ+ d 2 2 r 2 ( 3 cos 2 θ1 )

El potencial se expresa en función de r y θ

V= Q 4π ε 0 r ( r r 2 r r 1 ) 2Qd 4π ε 0 r 2 cosθ

Es interesante destacar, que el potencial debido a un dipolo disminuye con la inversa del cuadrado de la distancia r, mientras que para una carga puntual disminuye con la inversa de r.

Componentes del campo eléctrico

Las componentes de E en coordenadas polares se pueden calcular a partir del gradiente de V expresado en coordenadas polares

E = V r r ^ 1 r V θ θ ^

Las componentes del campo eléctrico E son

E r = 1 4π ε 0 4Qd r 3 cosθ E θ = 1 4π ε 0 2Qd r 3 sinθ

La intensidad del campo eléctrico disminuye como el cubo de la distancia r.

Definimos momento dipolar al vector p , cuyo módulo es p=Qd, el producto de la carga Q por la separación d, y que se dirige desde la carga negativa a la positiva.

Utilizamos MATLAB para representar las líneas equipotenciales, pero es difícil representar los vectores campo eléctrico en diversos puntos ya que disminuye rápidamente con la distancia al dipolo

hold on
%equipotenciales 
for V=1:5
    ang=(-90:1:90)*pi/180;
    r=sqrt(cos(ang)/V);
    x=r.*cos(ang);
    y=r.*sin(ang);
    plot(x,y);
end
%campo eléctrico  en los puntos de esta malla
[X,Y]=meshgrid(0.2:0.1:1,-0.7:0.1:0.7);
r=sqrt(X.^2+Y.^2);
ang=atan(Y./X);
Er=2*cos(ang)./r.^3; %componentes polares
Ea=sin(ang)./r.^3;
Ex=Er.*cos(ang)-Ea.*sin(ang); %componentes rectangulares
Ey=Er.*sin(ang)+Ea.*cos(ang);
quiver(X,Y,Ex,Ey)
hold off
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Dipolo eléctrico')

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa las líneas de fuerza (en color blanco) y las equipotenciales (en color azul claro) de un dipolo.

Las equipotenciales se han trazado de modo que su separación es de 10 unidades arbitrarias de energía potencial.

Las líneas de fuerza y equipotenciales son similares a las obtenidas en para el sistema de dos cargas, cuando las cargas son iguales y opuestas.

El cuadripolo

Un cuadripolo es un sistema formado por tres cargas +2Q en el origen y –Q en los puntos (-d, 0) y (+d, 0).

El potencial en el punto P distante r1 de la carga –Q, r2 de la carga –Q y r de la carga +2Q es

V= Q 4π ε 0 ( 2 r 1 r 2 1 r 1 ) r 1 =r ( 1+ 2d r cosθ+ d 2 r 2 ) 1 2 r 2 =r ( 1 2d r cosθ+ d 2 r 2 ) 1 2

Como r>>d expresamos de forma aproximada los cocientes r/r1 y r/r2.

r r 1 1 d r cosθ+ d 2 2 r 2 ( 3 cos 2 θ1 ) r r 2 1+ d r cosθ+ d 2 2 r 2 ( 3 cos 2 θ1 )

El potencial se expresa en función de r y θ

V= Q 4π ε 0 1 r ( 2 r r 1 r r 2 ) Q 4π ε 0 r ( 2[ 1 d r cosθ+ 1 2 (3 cos 2 θ1) d 2 r 2 +1+ d r cosθ+ 1 2 (3 cos 2 θ1) d 2 r 2 ] ) V Q 4π ε 0 d 2 r 3 (3 cos 2 θ1)

Utilizamos MATLAB para trazar las líneas equipotenciales, de modo similar al dipolo

hold on
for V=1:5
    ang=(0:1:360)*pi/180;
    z=(3*cos(ang).^2-1)/V;
    r=nthroot(z,3);
    x=r.*cos(ang);
    y=r.*sin(ang);
    plot(x,y);
end
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Cuadripolo eléctrico')
axis equal

Es interesante destacar, que el potencial debido a un cuadripolo disminuye con la inversa del cubo de la distancia r, mientras que para un dipolo disminuye como la inversa del cuadrado y para una carga puntual disminuye con la inversa de r.

Las componentes del campo eléctrico E son

E r = V r = 1 4π ε 0 3Qd2 r 4 (3 cos 2 θ1) E θ = 1 r V θ = 1 4π ε 0 3Qd2 r 4 sin(2θ)

Actividades

Observar las líneas de campo (en color blanco) y las equipotenciales (en color azul claro) de un cuadripolo.

Las equipotenciales se han trazado de modo que su separación es de 10 unidades arbitrarias de energía potencial.

Movimiento de una carga en el campo producido por un dipolo

Consideremos el campo eléctrico producido por un dipolo de momento p , módulo, Q(2d), a lo largo del eje Y, tal como se muestra en la figura. El dipolo está formado por dos cargas +Q y -Q separadas una distancia 2d. E+ es el campo eléctrico producido por la carga positiva y E- el producido por la negativa en el punto P de coordenadas (r, θ). Se señalan las componentes tangencial Eθ y radial Er del campo resultante.

La energía potencial vale

V= Q 4π ε 0 ( 1 r 2 1 r 1 ) r 1 2 = r 2 + d 2 2rdcosθ r 2 2 = r 2 + d 2 +2rdcosθ

Despreciando los términos de orden superior a d2/r2, obtenemos

V= Qd 2π ε 0 r 2 cosθ

Las componentes del campo eléctrico E son

E r = 1 4π ε 0 4Qd r 3 cosθ E θ = 1 4π ε 0 2Qd r 3 sinθ

La fuerza que ejerce este campo eléctrico sobre una carga positva +q situada en el punto P tiene la misma dirección y sentido que el campo F =q E

Analogía con el péndulo simple

Sea un péndulo formado por una masa puntual m unida a un hilo inextensible de longitud r. En la dirección radial, la fuerza sobre la partícula está dirigida hacia el centro y su valor es T-mgcosθ. La fuerza en la dirección tangencial es mgsinθ

Como la partícula de masa m está describiendo un movimiento circular de radio r, la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme es

m v 2 r =Tmgcosθ

La velocidad v se calcula aplicando el principio de conservación de la energía a un péndulo que se ha desviado π/2 (90°) y se suelta. Situando el nivel cero de energía potencial en O

1 2 m v 2 mgrcosθ=0

La tensión T=3mgcosθ, y la fuerza en la dirección radial sobre la partícula es Fr=2mgcosθ

En ambos casos (carga en el campo eléctrico producido por un dipolo y péndulo simple) tenemos:

Donde la constante de proporcionalidad, k=mg en el caso del péndulo y k= 1 4π ε 0 2Qqd r 3 , en el caso de la carga

Esta analogía solamente se produce en el caso de que la partícula cargada parta (en reposo) de un punto del eje X situado a una distancia r del origen y el péndulo de longitud r se desvíe un ángulo θ0=π/2 (90°) y se suelte.

Movimiento de la carga

La carga se mueve en el campo eléctrico producido por el dipolo a lo largo de una semicircunferencia de radio r tal como se muestra en la figura en color negro. Repetiremos aquí los cálculos realizados para el péndulo en el caso particular de que la desviación θ0=π/2

El principio de conservación de la energía para la carga q de masa m que se mueve en el campo producido por el dipolo es

1 2 m v 2 +qV=0 1 2 m v 2 q Qd 2π ε 0 r 2 cosθ=0

Cuando θ=π/2, la energía es cero, como en el caso del péndulo. Como la carga se mueve en una trayectoria circular su velocidad v=r·dθ/dt

( dθ dt ) 2 = 1 r 4 qQd π ε 0 m cosθ 0 θ dθ cosθ = 1 r 2 qQd π ε 0 m t

donde t es un cuarto de periodo. Teniendo en cuenta la relación trigonométrica

cosθ= cos 2 ( θ 2 ) sin 2 ( θ 2 )=12 sin 2 ( θ 2 )

la integral se expresa

0 θ dθ 12 sin 2 ( θ 2 ) = 1 r 2 qQd π ε 0 m t

Haciendo el cambio de variable

sin( θ 2 )= 2 2 sinφ 1 2 cos( θ 2 )dθ= 2 2 cosφ·dφ

Obtenemos la integral elíptica

0 φ dφ 1 1 2 sin 2 φ = 1 r 2 qQd 2π ε 0 m t

Para el límite θ=π/2, le corresponde el límite a φ=π/2 y t es un cuarto de periodo P. A la izquierda tendremos una integral elíptica completa de primera especie

P=4 r 2 2π ε 0 m qQd K( 2 2 )

>> ellipke(1/2)
ans =    1.8541

El movimiento de la carga se describe mediante la función elíptica de Jacobi sn

0 φ dφ 1 1 2 sin 2 φ =4K( 2 2 ) t P θ=2arcsin( 2 2 sn( 4K( 2 2 ) t P , 1 2 ) )

Representamos la posición angular θ en función del tiempo t/P, para tres periodos P. Supondremos que la carga sale de la posición θ=0, y alcanza la posición θ=π/2 después de un cuarto de periodo, el movimiento se repite como en el péndulo

k=sqrt(2)/2;
x=@(t) 2*asin(k*ellipj(4*ellipke(k^2)*t,k^2));
fplot(x, [0,3]);
xlabel('t/P')
ylabel('\theta')
title('Posición angular en función del tiempo')
grid on

Referencias

George C. McGuire Using computer algebra to investigate the motion of an electric charge in magnetic and electric dipole fields. Am. J. Phys. 71(8), August 2003 pp. 809-812