Fuerza entre dos esferas conductoras

El método de las imágenes

En esta página, vamos a medir la fuerza de repulsión F entre dos esferas conductoras del mismo radio R con la misma carga Q y del mismo signo. Vamos a comprobar que la fuerza difiere de la ley de Coulomb de atracción o repulsión entre cargas puntuales q1 y q2

F c = 1 4π ε 0 q 1 q 2 d 2

Donde d es la separación entre las cargas puntuales.

Método de las imágenes

Aplicaremos el método de las imágenes a dos esferas del mismo radio R y de la misma carga Q, separadas entre sus centros una distancia d>2R. Situaremos el origen en el centro de la primera esfera.

La simetría del problema nos permite reemplazar las esferas cargadas por dos sucesiones idénticas de cargas puntuales q0, q1qn situadas en la línea que une los centros en las posiciones x0, x1xn … y d-x0, d-x1d-xn …, respectivamente. Nos fijaremos exclusivamente en la primera esfera cuyo centro está en el origen.

  1. Colocamos una carga q0 en el centro de la primera esfera, en el origen x0=0. La superficie de la primera esfera de radio R es equipotencial. Colocamos una carga idéntica q0 en el centro de la segunda esfera. La superficie de la primera esfera deja de ser equipotencial.

  2. Colocamos una carga q1 a una distancia x1 del centro de la primera esfera.

  3. El potencial producido por la carga q0 situada en el centro de la segunda esfera y por la carga adicional q1 debe cancelarse en la superficie de la primera esfera, para que siga siendo equipotencial. El potencial en el punto A (R, 0) y B(-R, 0) producido por ambas cargas debe ser cero

    1 4π ε 0 q 0 dR + 1 4π ε 0 q 1 R x 1 =0 1 4π ε 0 q 0 d+R + 1 4π ε 0 q 1 R+ x 1 =0

    Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es

    x 1 = R 2 d q 1 = q 0 R d = q 0 β

  4. Si colocamos una carga q1 en la posición d-x1, la superficie de la primera esfera deja de ser equipotencial.

  5. Colocamos una carga q2 en la posición x2, tal como se muestra en la figura.

  6. El potencial producido por la carga q1 situada en la segunda esfera y por la carga adicional q2 debe cancelarse en la superficie de la primera esfera, para que siga siendo equipotencial. El potencial en el punto A (R, 0) y B(-R, 0) producido por ambas cargas debe ser cero

    q 1 dR x 1 + q 2 R x 2 =0 q 1 d+R x 1 + q 2 R+ x 2 =0

    Primero eliminamos q1 y q2 y despejamos x2, luego, despejamos q2 de la primera o de la segunda ecuación

    x 2 = R 2 d x 1 q 2 = q 1 R d x 1

    o bien,

    x 2 = R 2 d d 2 R 2 q 2 = q 0 R 2 d 2 R 2 = q 0 β 2 1 β 2

  7. Si colocamos una carga q2 en la posición d-x2 la superficie de la primera esfera deja de ser equipotencial.

  8. Colocamos una carga q3 en la posición x3, tal como se muestra en la figura.

  9. El potencial producido por la carga q2 situada en la segunda esfera y por la carga adicional q3 debe cancelarse en la superficie de la primera esfera, para que siga siendo equipotencial. El potencial en el punto A (R, 0) y B(-R, 0) producido por ambas cargas debe ser cero

    q 2 dR x 2 + q 3 R x 3 =0 q 2 d+R x 2 + q 3 R+ x 3 =0

    Primero eliminamos q2 y q3 y despejamos x3, luego, despejamos q3 de la primera o de la segunda ecuación

    x 3 = R 2 d x 2 q 3 = q 2 R d x 2

    o bien,

    x 3 = R 2 ( d 2 R 2 ) d( d 2 2 R 2 ) q 3 = q 0 R 3 d( d 2 2 R 2 ) = q 0 β 3 12 β 2

  10. Continuamos es proceso iterativo, obteniendo el valor de la carga imagen q4 en la posición x4.

  11. x 4 = R 2 d( d 2 2 R 2 ) ( d 4 3 R 2 d 2 + R 4 ) q 4 = q 0 R 4 d 4 3 R 2 d 2 + R 4 = q 0 β 4 13 β 2 + β 4

La carga total de cada esfera es

Q= q 0 + q 1 +...+ q n +...= i=0 q i

que es proporcional a q0

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se trazan las líneas de fuerza y equipotenciales del sistema formado por dos esferas conductoras del mismo radio y con la misma carga.

Fuerza entre las dos esferas conductoras

La fuerza entre las dos esferas es la suma de las fuerzas entre cada par de cargas imagen una carga correspondiente a la primera esfera y la otra correspondiente a la segunda esfera

F= 1 4π ε 0 i,j=0 q i q j ( d x j x i ) 2

Cálculo aproximado de la fuerza de repulsión entre dos esferas

Para calcular la fuerza de repulsión entre dos esferas del mismo radio R y la misma carga Q, se emplea el siguiente procedimiento numérico.

El programa interactivo calcula las cargas imágenes q0qn y sus posiciones x0..xn correspondientes a la primera esfera, que son las misma que las de la segunda esfera pero en las posiciones d-x0..d-xn, mediante las relaciones de recurrencia

x n = R 2 d x n1 q n = R d x n1 q n1 n>0 x 0 =0

Se calcula la carga inicial q0 teniendo en cuenta que la carga de cada esfera es Q.

Q= i=0 n q i

Se calcula la fuerza entre los dos conjuntos de cargas imágenes

F n = 1 4π ε 0 i,j=0 n q i q j ( d x j x i ) 2

Se detiene el proceso iterativo cuando el cociente

F n+1 F n F n <ε

es menor que una cantidad prefijada, cuyo valor tomaremos ε=10-6.

d=3; %distancia entre las esferas d>2.1
fuerza2=1/d^2;  %fuerza entre cargas puntuales
fuerza1=0;
nCargas=1;
q=zeros(1,10);
x=zeros(1,10);
while(1)
    x(1)=0;
    q(1)=1;
    for i=2:nCargas+1
        x(i)=1/(d-x(i-1));
        q(i)=-q(i-1)/(d-x(i-1));
    end
    q=q/sum(q); %la suma de las cargas es la unidad
    fuerza1=0;
    for i=1:nCargas+1
        for j=1:nCargas+1
            fuerza1=fuerza1+q(i)*q(j)/(d-x(i)-x(j))^2;
        end
    end
    if(abs((fuerza1-fuerza2)/fuerza2)<0.000001) 
        fprintf('La fuerza es %1.5f para la distancia  %1.2f\n',fuerza2, d)
        break;
    end
    fuerza2=fuerza1;
    nCargas=nCargas+1;
end
La fuerza es 0.09444 para la distancia  3.00

La fuerza entre dos cargas puntuales q=1, separadas d=3 es 1/32=0.1111

Transformamos el script en una función para calcular y representar la fuerza de repulsión entre las dos esferas cargadas en función de la distancia d entre los centros de las esferas. Comparamos esta fuerza con la fuerza de repulsión entre dos cargas puntuales (ley de Coulomb) separadas la misma distancia

function fuerza2 =coulomb(d)
    fuerza2=1/d^2;
    fuerza1=0;
    nCargas=1;
    q=zeros(1,10);
    x=zeros(1,10);
    while(1)
        x(1)=0;
        q(1)=1;
        for i=2:nCargas+1
            x(i)=1/(d-x(i-1));
            q(i)=-q(i-1)/(d-x(i-1));
        end
        q=q/sum(q);
        fuerza1=0;
        for i=1:nCargas+1
            for j=1:nCargas+1
                fuerza1=fuerza1+q(i)*q(j)/(d-x(i)-x(j))^2;
            end
        end
        if(abs((fuerza1-fuerza2)/fuerza2)<0.000001) 
            break;
        end
        fuerza2=fuerza1;
        nCargas=nCargas+1;
    end
end
x=2.2:0.05:10;
y=zeros(1,length(x));
for i=1:length(x)
    y(i)=coulomb(x(i));
end
hold on
z=1./x.^2;
plot(x,y,x,z)
grid on
legend('esferas','cargas puntuales')
xlabel('d')
ylabel('Fuerza')
title('Fuerza entre esferas cargas')

El programa interactivo calcula la fuerza F en unidades Fu

F u = 1 4π ε 0 Q 2 R 2

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Calcula.

Para volver a empezar a tomar medidas se pulsa el botón titulado Nuevo.

El programa interactivo calcula la fuerza de repulsión entre las dos esferas conductoras para distancias entre sus centros mayores que 2.01R, e indica el número de cargas imagen necesarias para calcularla

Referencias

Slisko J., Brito-Orta R. A., On approximate formulas for the electrostatic force between two conducting spheres. Am. J. Phys. 66 (4) April 1998, pp. 352-355.