Supongamos un sistema formado por una carga puntual Q en las proximidades de una esfera conductora a potencial cero a una distancia d de su centro. El método de las imágenes nos permite sustituir el conductor por una carga "imagen" q que anulará el potencial sobre la superficie esférica de radio R.

El potencial en el punto P₁ de la superficie esférica deberá ser cero

${\displaystyle \frac{Q}{d+R}+\frac{q}{b+R}=0}$

El potencial en el punto P₃ diametralmente opuesto deberá ser cero.

${\displaystyle \frac{Q}{d-R}+\frac{q}{R-b}=0}$

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de las que despejamos q y b.

${\displaystyle q=-\frac{R}{d}Qb=\frac{R^2}{d}}$

Demostramos haciendo algunas operaciones que estos valores de q y b hacen que el potencial en cualquier punto P₂ de la superficie esférica, sea también cero.

${\displaystyle \frac{Q}{r_1}+\frac{q}{r_2}=0}$

El potencial

Vamos a calcular el campo en cualquier punto P exterior a la esfera conductora. Primero calculamos el potencial

${\displaystyle V=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{Q}{r_1}+\frac{q}{r_2}\right)}$

Se expresa r₁ y r₂ en coordenadas polares en función de la distancia radial r del centro de la esfera al punto P y del ángulo θ .

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}_1=\sqrt{d^2+r^2+2dr\cos \theta }\\ r_2=\sqrt{b^2+r^2+2br\cos \theta }\end{array}}$

De este modo V es una función de r y θ .

La carga inducida en el conductor esférico

Para calcular el vector campo E se halla el gradiente del potencial cambiado de signo. El valor de la componente radial del campo es

${\displaystyle E_r=-\frac{\partial V}{\partial r}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{r+d\cos \theta }{r_1^3}Q+\frac{r+b\cos \theta }{r_2^3}q\right)}$

El campo en las proximidades de una superficie conductora es perpendicular a dicha superficie luego, el campo en la superficie esférica conductora es radial. Calculamos E_r para r=R y a continuación la densidad superficial de carga inducida en la esfera, teniendo en cuenta que el campo en las proximidades de la superficie de un conductor es E_r=σ /ε₀

${\displaystyle \sigma =-\frac{Q\left(d^2-R^2\right)}{4\pi R{\left(d^2+R^2+2dR\cos \theta \right)}^{3/2}}}$

Evidentemente, si integramos esta densidad de carga sobre la superficie de la esfera, obtenemos la carga total inducida q. La integral es inmediata

${\displaystyle q={\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sigma 2\pi R^2\sin \theta d\theta }=-\frac{R}{d}Q}$

La carga total inducida sobre la esfera conductora es igual a la carga imagen que sustituye a la esfera.

Este resultado es consecuencia de la ley de Gauss: si dibujamos una superficie cerrada que abarque a la esfera pero que esté muy próxima a ésta, el flujo del campo eléctrico a través de esta superficie debe ser la misma, independientemente, de que la carga esté distribuida sobre la esfera conductora o haya sido sustituida por la carga puntual imagen situada en su interior.

Energía electrostática

Cuando la carga Q está a una distancia x del centro de la esfera conductora conectada a tierra, la fuerza de atracción F (flecha de color rojo) entre ambas es igaul a la fuerza de atracción entre la carga Q y su imagen q situada a una distancia x-b

${\displaystyle F=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Qq}{{(x-b)}^2}=-\frac{Q^{2}R}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{x}{{\left(x^2-R^2\right)}^2}}$

Calculamos el trabajo de la fuerza F_m=F que hay que hacer para traer la carga Q desde el infinito hasta una distancia d del centro de la esfera conductora.

${\displaystyle U={\displaystyle \underset{\infty }{\overset{d}{\int }}{F}_m·dx=\frac{Q^{2}R}{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle \underset{\infty }{\overset{d}{\int }}\frac{x}{{\left(x^2-R^2\right)}^2}dx}}=-\frac{1}{2}\frac{Q^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{R}{d^2-R^2}}$

U es la energía electrostática del sistema formado por la carga Q y su imagen q o bien, por la carga Q y la esfera conductora de radio R conectada a Tierra y separada una distancia d

Actividades

Se muestra las líneas de fuerza y equipotenciales de un sistema formado por una carga puntual y una esfera conductora conectada a tierra.

Se introduce

• el valor de la carga puntual Q, en el control titulado Carga.
• la distancia d entre la carga puntual y el centro de la esfera conductora, en el control titulado Distancia.
• el radio R de la esfera se ha fijado en la unidad.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

La esfera conductora a potencial cero se sustituye por una carga imagen que aparece como un pequeño círculo de color azul. Observar que la carga imagen es negativa (color azul) si la carga puntual es positiva (color rojo). La carga imagen disminuye al aumentar la separación d y aumenta con la carga puntual Q.

Observar que las líneas de fuerza que llegan al conductor esférico son perpendiculares a su superficie.

Se han trazado las líneas equipotenciales a la izquierda separadas 0.1 unidades. Sin embargo, las  líneas equipotenciales de la derecha se han trazado separadas 0.01 unidades arbitrarias.

Activando la casilla de titulada carga inducida desaparece la carga imagen y aparece una distribución de carga sobre la superficie de la esfera conductora en forma de pequeños puntos de color azul que pretenden darnos una idea de la dependencia de la densidad de carga σ con el ángulo θ .

Observamos que la densidad de carga es mayor en la parte de la esfera que está más cerca de la carga puntual positiva y es pequeña, en la parte opuesta, más alejada.

Calculamos la fuerza de atracción entre la carga puntual positiva y la esfera conductora, aplicando la ley de Coulomb a la carga puntual Q y a la carga imagen q, separadas una distancia d-b.

Movimiento de una partícula cargada alrededor de una esfera conductora

En la página titulada Ecuación de la trayectoria, estudiamos el movimiento de un cuerpo celeste en la dirección radial, representando la energía potencial efectiva en función de r

${\displaystyle E_{ef}(r)=\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{GMm}{r}}$

Determinamos las posibles trayectorias de un cuerpo celeste para un valor dado de su energía total.

En este apartado vamos a estudiar las posibles trayectorias de una carga puntual -q que se mueve alrededor de un esfera conductora cargada con carga Q. Veremos que la carga inducida por la carga puntual -q en la esfera conductora complica considerablemente el problema.

Consideremos una esfera conductora con carga Q y radio R, y una carga puntual -q distante r de su centro.

Debido a la presencia de la carga -q la carga de la esfera se redistribuye y es equivalente a dos cargas Q₀=Q-Q₁ situada en el centro y Q₁=Rq/r situada en x₁=R²/r.

Cuanto más pequeña es la distancia r mayores son los efectos de la polarización de la carga -q, Q₁ es mayor

${\displaystyle F=-\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{Q_0}{r^2}+\frac{Q_1}{{\left(r-x_1\right)}^2}\right)=-\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{Q}{r^2}-\frac{qR}{r^3}+\frac{qRr}{{\left(r^2-R^2\right)}^2}\right)}$

Es una fuerza conservativa y la energía potencial es

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_p(r)-E_p(\infty )={\displaystyle \underset{r}{\overset{\infty }{\int }}F·dr}={-\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\left(-\frac{Q}{r}+\frac{qR}{2r^2}-\frac{qR}{2\left(r^2-R^2\right)}\right)|}_r^{\infty }\\ E_p(r)=-\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{Q}{r}-\frac{qR}{2r^2}+\frac{qR}{2\left(r^2-R^2\right)}\right)\end{array}}$

Se ha establecido el nivel cero de energía potencial en el infinito

La energía potencial efectiva es

${\displaystyle E_{ef}(r)=\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{Q}{r}-\frac{qR}{2r^2}+\frac{qR}{2\left(r^2-R^2\right)}\right)}$

Establecemos las siguientes escalas

${\displaystyle \rho =\frac{r}{R},\Theta =\frac{Q}{q},{\Lambda }^2=4\pi {\epsilon }_0\frac{L^2}{q^{2}Rm},U_{ef}=4\pi {\epsilon }_0\frac{E_{p}R}{q^2}}$

La energía potencial efectiva se expresa en términos de magnitudes adimensionaes

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{ef}(r)=\frac{L^2}{2R^{2}m{\rho }^2}-\frac{q^2}{4\pi {\epsilon }_{0}R}\left(\frac{\Theta }{\rho }-\frac{1}{2{\rho }^2}+\frac{1}{2\left({\rho }^2-1\right)}\right)\\ \frac{4\pi {\epsilon }_{0}R}{q^2}{E}_{ef}(r)=\frac{4\pi {\epsilon }_{0}R}{q^2}\frac{L^2}{2R^{2}m{\rho }^2}-\left(\frac{\Theta }{\rho }-\frac{1}{2{\rho }^2}+\frac{1}{2\left({\rho }^2-1\right)}\right)\\ U_{ef}(\rho )=\frac{{\Lambda }^2}{2{\rho }^2}-\frac{\Theta }{\rho }+\frac{1}{2{\rho }^2}-\frac{1}{2\left({\rho }^2-1\right)}\end{array}}$

Volvemos a la notación anterior, para retener el significado de los distintos términos

${\displaystyle U_{ef}(r)=\frac{L^2}{2r^2}-\frac{Q}{r}+\frac{1}{2r^2}-\frac{1}{2\left(r^2-1\right)}}$

Asignamos a Q=1. Representamos U_ef(r) para L²=2.83.

Q=1;
L2=2.83;
f=@(x) (L2+1)./(2*x.^2)-Q./x-1./(2*(x.^2-1));
fplot(f,[1.5,3.3])
grid on
xlabel('r')
ylabel ('U_{ef}')
title('Energía potencial efectiva')

La función U_ef(r) tiene un máximo y un mínimo local. Derivamos con respecto a r e igualamos a cero.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d{U}_{ef}}{dr}=-\frac{L^2+1}{r^3}+\frac{Q}{r^2}+\frac{r}{{\left(r^2-1\right)}^2}=0\\ Q{r}^5-L^2{r}^4-2Q{r}^3+2(L^2+1)r^2+Qr-(L^2+1)=0\end{array}}$

>> raices=roots([Q,-L2,-2*Q,2*(L2+1),Q,-(L2+1)])
raices =
    2.3238
    1.8721
   -1.3363
   -0.8266
    0.7970

Para r=2.32 tenemos un mínimo (una órbita circular estable) y para r=1.87 un máximo (una órbita circular inestable), como puede comprobarse con la derivada segunda. En el máximo es negativa y en el mínimo es positiva

${\displaystyle \frac{d^2{U}_{ef}}{d{r}^2}=3\frac{L^2+1}{r^4}-2\frac{Q}{r^3}-\frac{3r^2+1}{{\left(r^2-1\right)}^3}}$

ff=@(x) 3*(L2+1)/x^4-2*Q/x^3-(3*x^2+1)/(x^2-1)^3;
>> ff(raices(1))
ans =    0.0327
>> ff(raices(2))
ans =   -0.1022

Para L²=2.7, no hay máximo ni mínimo.

Lo que implica que habrá un valor de L² comprendido entre 2.83 y 2.7 crítico con un punto de inflexión donde se juntan el máximo y mínimo locales.

Se cumplirá a la vez que la derivada primera es nula y la derivada segunda también. Resolvemos el sistema de dos ecuaciones

${\displaystyle \{\begin{array}{l}-\frac{L^2+1}{r^3}+\frac{Q}{r^2}+\frac{r}{{\left(r^2-1\right)}^2}=0\\ 3\frac{L^2+1}{r^4}-2\frac{Q}{r^3}-\frac{3r^2+1}{{\left(r^2-1\right)}^3}=0\end{array}}$

Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por r y sumamos

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{Q}{r^2}-\frac{4r}{{\left(r^2-1\right)}^3}=0\\ 4\frac{r^3}{{\left(r^2-1\right)}^3}-Q=0\end{array}}$

Llamamos

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{z}{2}=\frac{r}{r^2-1}\\ z={\left(2Q\right)}^{1/3}\end{array}}$

Conocido z se calcula r_c, raíz positiva de la ecuación de segundo grado

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}^2-\frac{2}{z}r-1=0\\ r_c=\frac{1+\sqrt{z^2+1}}{z}\end{array}}$

Con Q=1, r_c=2.0704, tomamos una de las ecuaciones para calcular L²

${\displaystyle L^2=Q{r}_c+\frac{r_c^2}{{\left(r_c^2-1\right)}^2}-1}$

El resultado es L²=2.7715

>> z=nthroot(2,3)
z =    1.2599
>> (1+sqrt(z^2+1))/z
ans =    2.0704
>> r+r^4/(r^2-1)^2-1
ans =    2.7715

Representamos U_ef(r) para L²=2.83, 2.7715 y 2.7

Q=1;
hold on
for L2=[2.83, 2.7715,2.7]
    f=@(x) (L2+1)./(2*x.^2)-Q./x-1./(2*(x.^2-1));
    fplot(f,[1.6,3],'displayName',num2str(L2))
end
hold off
grid on
xlabel('r')
legend('-DynamicLegend','location','southeast')
ylabel ('U_{ef}')
title('Energía potencial efectiva')

Por debajo del valor crítico adimensional, L²=2.7715 no hay órbitas estables ni inestables. Luego, habrá que convertir L en un valor físico concreto conocidas la carga, q y la masa m de la carga puntal, el radio R y la carga Q de la esfera cargada

Referencias

Lorrain P. Corson D. Campos y ondas electromagnéticas. Selecciones Científicas (1972), págs. 156-158

Shubho Banerjee, Bradford Taylor. On the stability of electrostatic orbits. Am. J. Phys. 77 (5) May 2009, pp. 396-400