Carga inducida en un conductor esférico

Supongamos un sistema formado por una carga puntual Q en las proximidades de una esfera conductora a potencial cero a una distancia d de su centro. El método de las imágenes nos permite sustituir el conductor por una carga "imagen" q que anulará el potencial sobre la superficie esférica de radio R.

El potencial en el punto P1 de la superficie esférica deberá ser cero

Q d+R + q b+R =0

El potencial en el punto P3 diametralmente opuesto deberá ser cero.

Q dR + q Rb =0

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de las que despejamos q y b.

q= R d Qb= R 2 d

Demostramos haciendo algunas operaciones que estos valores de q y b hacen que el potencial en cualquier punto P2 de la superficie esférica, sea también cero.

Q r 1 + q r 2 =0

El potencial

Vamos a calcular el campo en cualquier punto P exterior a la esfera conductora. Primero calculamos el potencial

V= 1 4π ε 0 ( Q r 1 + q r 2 )

Se expresa r1 y r2 en coordenadas polares en función de la distancia radial r del centro de la esfera al punto P y del ángulo θ .

r 1 = d 2 + r 2 +2drcosθ r 2 = b 2 + r 2 +2brcosθ

De este modo V es una función de r y θ .

La carga inducida en el conductor esférico

Para calcular el vector campo E se halla el gradiente del potencial cambiado de signo. El valor de la componente radial del campo es

E r = V r = 1 4π ε 0 ( r+dcosθ r 1 3 Q+ r+bcosθ r 2 3 q )

El campo en las proximidades de una superficie conductora es perpendicular a dicha superficie luego, el campo en la superficie esférica conductora es radial. Calculamos Er para r=R y a continuación la densidad superficial de carga inducida en la esfera, teniendo en cuenta que el campo en las proximidades de la superficie de un conductor es Er=σ 0

σ= Q( d 2 R 2 ) 4πR ( d 2 + R 2 +2dRcosθ ) 3/2

Evidentemente, si integramos esta densidad de carga sobre la superficie de la esfera, obtenemos la carga total inducida q.

q= 0 π σ2π R 2 sinθdθ = R d Q

La carga total inducida sobre la esfera conductora es igual a la carga imagen que sustituye a la esfera.

Este resultado es consecuencia de la ley de Gauss: si dibujamos una superficie cerrada que abarque a la esfera pero que esté muy próxima a ésta, el flujo del campo eléctrico a través de esta superficie debe ser la misma, independientemente, de que la carga esté distribuida sobre la esfera conductora o haya sido sustituida por la carga puntual imagen situada en su interior.

Energía electrostática

Cuando la carga Q está a una distancia x del centro de la esfera conductora conectada a tierra, la fuerza de atracción F (flecha de color rojo) entre ambas es igaul a la fuerza de atracción entre la carga Q y su imagen q situada a una distancia x-b

F= 1 4π ε 0 Qq (xb) 2 = Q 2 R 4π ε 0 x ( x 2 R 2 ) 2

Calculamos el trabajo de la fuerza Fm=F que hay que hacer para traer la carga Q desde el infinito hasta una distancia d del centro de la esfera conductora.

U= d F m ·dx= Q 2 R 4π ε 0 d x ( x 2 R 2 ) 2 dx = 1 2 Q 2 4π ε 0 R d 2 R 2

U es la energía electrostática del sistema formado por la carga Q y su imagen q o bien, por la carga Q y la esfera conductora de radio R conectada a Tierra y separada una distancia d

Actividades

Se muestra las líneas de fuerza y las superficies equipotenciales de un sistema formado por una carga puntual y una esfera conductora conectada a tierra.

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

La esfera conductora a potencial cero se sustituye por una carga imagen que aparece como un pequeño círculo de color azul. Observar que la carga imagen es negativa (color azul) si la carga puntual es positiva (color rojo). La carga imagen disminuye al aumentar la separación d y aumenta con la carga puntual Q.

Observar que las líneas de fuerza que llegan al conductor esférico son perpendiculares a su superficie.

Se han trazado las líneas equipotenciales a la izquierda separadas 0.1 unidades. Sin embargo, las  líneas equipotenciales de la derecha se han trazado separadas 0.01 unidades arbitrarias.

Activando la casilla de titulada carga inducida desaparece la carga imagen y aparece una distribución de carga sobre la superficie de la esfera conductora en forma de pequeños puntos de color azul que pretenden darnos una idea de la dependencia de la densidad de carga σ con el ángulo θ .

Observamos que la densidad de carga es mayor en la parte de la esfera que está más cerca de la carga puntual positiva y es pequeña, en la parte opuesta, más alejada.

Calculamos la fuerza de atracción entre la carga puntual positiva y la esfera conductora, aplicando la ley de Coulomb a la carga puntual Q y a la carga imagen q, separadas una distancia d-b.


Referencias

Lorrain P. Corson D. Campos y ondas electromagnéticas. Selecciones Científicas (1972), págs. 156-158