Dos esferas conductoras una de las cuales está a potencial cero

Consideremos el caso de dos esferas de radios r y R cuyos centros están separados una distancia d>r+R. La primera esfera está a una potencial V y la segunda esfera está conectada a Tierra, V=0

Sustituiremos las dos esferas por dos sucesiones de cargas puntuales que convergen rápidamente a cero y que hacen que las dos superficies esféricas sean equipotenciales.

Los pasos para aplicar el método de las imágenes son los siguientes:

  1. Colocamos en el centro de la primera esfera de radio r una carga q0, de modo que, el potencial de la esfera sea V.

  2. V= 1 4π ε 0 q 0 r

  3. La superficie esférica de radio R deja de ser equipotencial, por lo que ponemos una carga Q1 en el interior de la segunda esfera a una distancia X1 de su centro

  4. Calculamos el valor de Q1 y su posición X1 para que la segunda esfera de radio R sea una superficie equipotencial, aunque deje de serlo la primera esfera de radio r.

    El potencial en C (d-R, 0) debido a las cargas q0 y Q1 lo hacemos cero

    q 0 dR + Q 1 R X 1 =0

    El potencial en D (d+R, 0) debido a las cargas q0 y Q1 lo hacemos cero

    q 0 d+R + Q 1 R+ X 1 =0

    Despejamos Q1 y X1 de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

    X 1 = R 2 d Q 1 = q 0 R d

  5. La superficie esférica de radio r deja de ser equipotencial, por lo que ponemos una carga q1 en el interior de primera esfera a una distancia x1 de su centro

  6. Calculamos el valor de q1 y su posición x1 para que la primera esfera de radio r sea una superficie equipotencial, aunque deje de serlo la segunda esfera de radio R.

    El potencial en A (-r, 0) debido a las cargas q1 y Q1 lo hacemos cero

    q 1 r+ x 1 + Q 1 d+r X 1 =0

    El potencial en B (r, 0) debido a las cargas q1 y Q1 lo hacemos cero

    q 1 r x 1 + Q 1 dr X 1 =0

    Despejamos q1 y x1 en este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

    x 1 = r 2 d X 1 q 1 = Q 1 r d X 1 = q 0 rR d 2 R 2

  7. La superficie esférica de radio R deja de ser equipotencial, por lo que ponemos una carga Q2 en el interior de la segunda esfera a una distancia X2 de su centro

  8. Calculamos el valor de Q2 y su posición X2 para que la segunda esfera de radio R sea una superficie equipotencial, aunque deje de serlo la primera esfera de radio r.

    El potencial en C (d-r, 0) debido a las cargas Q2 y q1 lo hacemos cer 

    Q 2 R X 2 + q 1 dR x 1 =0

    El potencial en D (d+r, 0) debido a las cargas Q2 y q1 lo hacemos cero

    Q 2 R+ X 2 + q 1 d+R x 1 =0

    Despejamos Q2 y X2 en este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

    X 2 = R 2 d x 1 Q 2 = q 1 R d x 1 = q 0 r R 2 d 3 d R 2 d r 2

  9. La superficie esférica de radio r deja de ser equipotencial, por lo que ponemos una carga q2 en el interior de primera esfera a una distancia x2 de su centro

  10. Calculamos el valor de q2 y su posición x2 para que la primera esfera de radio r sea una superficie equipotencial, aunque deje de serlo la segunda esfera de radio R.

    El potencial en A (-r, 0) debido a las cargas q2 y Q2 lo hacemos cero

    q 2 r+ x 2 + Q 2 d+r X 2 =0

    El potencial en B (r, 0) debido a las cargas q2 y Q2 lo hacemos cero

    q 2 r x 2 + Q 2 dr X 2 =0

    Despejamos q2 y x2 en este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

    x 2 = r 2 d X 2 q 2 = Q 2 r d X 2 = q 0 r 2 R 2 d 4 2 R 2 d 2 r 2 d 2 + R 4

y así, sucesivamente

Relaciones recursivas

Calculamos la sucesión de cargas qi, Qi y sus posiciones xi, Xi  mediante las relaciones recursivas

X i+1 = R 2 d x i Q i+1 = q i R d x i i=0, 1, 2... x i+1 = r 2 d X i+1 q i+1 = Q i+1 r d X i+1       x 0 =0 X 0 =0 Q 0 =0

Ejemplo:

 Sea d=5, r=1, R=0.5, V1=1, V2=0

Ponemos una carga q0 en el centro de la primera esfera

V1=q0/r, q0=1

Paso Posición xi> Carga qi Posición Xi Carga Qi
0 0 1 0 0
1 0.20202 0.020202 0.05 -0.1
2 0.20211 0.000425 0.05211 -0.002105
3 0.20211 0.000009 0.05211 -0.000044
d=5;
r=1;
R=0.5;
x=0;
X=0;
q=1;
Q=0;
i=0;
disp('Paso, posición x, carga q, posición X, carga Q')
fprintf('%i, %1.8f, %1.8f, %1.8f, %1.8f\n',i,x,q,X,Q)   
format long;
for i=1:5;
    X=R^2/(d-x);
    Q=-q*R/(d-x);
    x=r^2/(d-X);
    q=-Q*r/(d-X);
    fprintf('%i, %1.8f, %1.8f, %1.8f, %1.8f\n',i,x,q,X,Q)   
end
Paso, posición x, carga q, posición X, carga Q
0, 0.00000000, 1.00000000, 0.00000000, 0.00000000
1, 0.20202020, 0.02020202, 0.05000000, -0.10000000
2, 0.20210616, 0.00042549, 0.05210526, -0.00210526
3, 0.20210620, 0.00000896, 0.05210620, -0.00004434
4, 0.20210620, 0.00000019, 0.05210620, -0.00000093
5, 0.20210620, 0.00000000, 0.05210620, -0.00000002

Campo y potencial producido por la sucesión de cargas

Calculamos el campo y el potencial producido en el punto P (x, y) por el par de cargas qi situada en el punto xi y Qi en la posición d-Xi

El campo E1 producido por la carga qi es

E 1 = 1 4π ε 0 q i ( x x i ) 2 + y 2

El campo E2 producido por la carga Qi es

E 2 = 1 4π ε 0 Q i ( dx X i ) 2 + y 2

Las componentes del campo total Ei son

Eix=E1·cosθ1-E2·cosθ2
Eiy
=E1·sinθ1+E2·sinθ2

E ix = q i 4π ε 0 x x i ( ( x x i ) 2 + y 2 ) 3/2 Q i 4π ε 0 dx X i ( ( dx X i ) 2 + y 2 ) 3/2 E iy = q i 4π ε 0 y ( ( x x i ) 2 + y 2 ) 3/2 + Q i 4π ε 0 y ( ( dx X i ) 2 + y 2 ) 3/2

El potencial Vi en el punto P debido a las dos cargas es

V i = 1 4π ε 0 q i ( x x i ) 2 + y 2 + 1 4π ε 0 Q i ( dx X i ) 2 + y 2

El campo y el potencial total es la suma de todos los campos y potenciales producidos por los pares de cargas dispuestas simétricamente al plano

E= 0 E i V= 0 V i

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Si la distancia d entre los centros de las dos esferas es menor que r+R+0.5, el programa no prosigue e invita al usuario a modificar los datos de entrada

Se trazan las líneas de fuerza (en color blanco) y las superficies equipotenciales (en color azul claro).