Un hilo rectilíneo cargado paralelo a un conductor plano conectado a tierra

En la página titulada Principio de superposición de campos, calculamos el campo eléctrico y el potencial producido por dos hilos rectilíneos cargados con +λ y -λ C/m, paralelos y distantes 2a. Representamos las líneas de fuerza (en color rojo) y equipotenciales (en color azul)

a=1; % 2a es la distancia entre los dos hilos
hold on
for k=[1:4, -(1:4)]
   R=sqrt(a^2+k^2);
   y1=k;
   fplot(@(t) R*cos(t), @(t) y1+R*sin(t),[0,2*pi],'r')
end
for k=[0.3:0.1:0.6, 1./(0.3:0.1:0.6)]
   R=2*a*sqrt(k)/(1-k);
   x1=(1+k)*a/(1-k);
   fplot(@(t) x1+R*cos(t), @(t) R*sin(t),[0,2*pi],'b')
end
plot(-a,0,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r') %hilos
plot(a,0,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
hold off
axis equal
% grid on
xlabel('x')
ylabel('y');
title('Líneas de fuerza y equipotenciales')

Un hilo rectilíneo cargado paralelo a un conductor plano conectado a tierra es equivalente a dos hilos conductores, el hilo imagen cargado con -λ C/m, situado detrás del plano conductor x=0, a la misma distancia a

El campo eléctrico en los puntos del plano x=0, es perpendicular al placa conductora

El campo eléctrico en las proximidades de un conductor, tiene por módulo E=σ/ε₀. Donde σ es la densidad de de carga. Como el sentido del campo eléctrico es hacia el conductor, la densidad de carga σ es negativa σ=-E·ε₀

${\displaystyle \sigma =-{\epsilon }_{0}E=-{\epsilon }_0\left(2\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}\cos \theta \right)=-\frac{\lambda }{\pi }\frac{a}{a^2+y^2}}$

a=1;
f=@(x) -a./(a^2+x.^2);
fplot(f,[-5,5])
grid on
xlabel('y')
ylabel('\sigma')
title('Densidad de carga')

La carga dq inducida en la franja de longitud unidad y anchura dy es dq=σ(1·dy). La carga total inducida en el plano conductor (por unidad de longitud) se calcula integrando respecto de y entre -∞ e +∞

${\displaystyle Q={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\left(-\frac{\lambda }{\pi }\frac{a}{a^2+y^2}\right)(1·dy})=-\frac{\lambda a}{\pi }\frac{1}{a}{\arctan \left(\frac{y}{a}\right)|}_{-\infty }^{\infty }=-\frac{\lambda }{\pi }\left(\frac{\pi }{2}-\left(-\frac{\pi }{2}\right)\right)=-\lambda }$

que es la carga imagen por unidad de longitud

Sistema formado por el conductor cilíndrico y el hilo cargado paralelo

El sistema formado por una superficie cilíndica conductora de radio R infinitamente larga, conectada a tierra y un hilo unifomemente cargado con carga λ C/m paralelo al eje del cilindro y distante d del mismo, es equivalente a dos hilos rectilíneos paralelos cargados con λ' situado a una distancia b del eje del cilindro y λ, tal como se muestra en la dibujo inferior derecha

Determinaremos λ' y b a partir de que el campo eléctrico en las proximidades a la superficie conductora es perpendicular a dicha superficie.

El potencial en P debido a las densidades lineales de carga λ' y λ de cada uno de los hilos rectilíneos es

${\displaystyle {\begin{array}{l}V(r,\theta )=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln r_1+\frac{\lambda \text{'}}{2\pi {\epsilon }_0}\ln r_2+c\\ r_1^2=d^2+r^2-2dr\cos \theta \\ r_2^2=b^2+r^2-2br\cos \theta \end{array}}_{}}$

c es una constante a determinar sabiendo que el potencial en la superficie cilíndrica conductora es nulo, V(R, θ)=0

${\displaystyle V(r,\theta )=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_0}\ln \left(d^2+r^2-2dr\cos \theta \right)+\frac{\lambda \text{'}}{4\pi {\epsilon }_0}\ln \left(b^2+r^2-2br\cos \theta \right)+c}$

Las componentes del campo eléctrico son en coordenadas polares

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{\theta }=-\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta }=-\frac{1}{r}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left\{\lambda \frac{2dr\sin \theta }{d^2+r^2-2dr\cos \theta }+\lambda \text{'}\frac{2br\sin \theta }{b^2+r^2-2br\cos \theta }\right\}=\\ -\frac{\sin \theta }{2\pi {\epsilon }_0}\left\{\frac{\lambda d}{d^2+r^2-2dr\cos \theta }+\frac{\lambda \text{'}b}{b^2+r^2-2br\cos \theta }\right\}\\ E_r=-\frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{1}{2\pi {\epsilon }_0}\left\{\lambda \frac{r-d\cos \theta }{d^2+r^2-2dr\cos \theta }+\lambda \text{'}\frac{r-b\cos \theta }{b^2+r^2-2br\cos \theta }\right\}\end{array}}$

Hilo rectilíneo imagen

El campo eléctrico en las proximidades del conductor es perpendicular a su superficie, por lo que E_θ(R,θ)=0 en la superficie del conductor cilíndrico

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\lambda d}{d^2+R^2-2dR\cos \theta }+\frac{\lambda \text{'}b}{b^2+R^2-2bR\cos \theta }=0\\ \lambda d\left(b^2+R^2\right)+\lambda \text{'}b\left(d^2+R^2\right)-dbR\left(\lambda +\lambda \text{'}\right)\cos \theta =0\end{array}}$

Como ha de ser válido cualquiera que sea θ, el coeficiente de cosθ deberá ser cero, λ=-λ'. Las densidades de carga del hilo rectilíneo y su imagen son iguales y opuestas

La otra ecuación es

${\displaystyle \begin{array}{l}d\left(b^2+R^2\right)-b\left(d^2+R^2\right)=0\\ d{b}^2-\left(d^2+R^2\right)b+d{R}^2=0\\ b=\frac{d^2+R^2\pm \sqrt{{\left(d^2+R^2\right)}^2-4d^2{R}^2}}{2d}=\frac{d^2+R^2\pm \left(d^2-R^2\right)}{2d}=\{\begin{array}{l}d\\ \frac{R^2}{d}\end{array}\end{array}}$

nos porporciona la distancia b=R²/d de hilo rectilíneo imagen al eje del cilindro

Deducción alternativa

En la página titulada Principio de superposición de campos, estudiamos un sistema formado por dos hilos rectilíneos paralelos cargados con +λ y -λ C/m. Representamos sus líneas de fuerza y superficies equipotenciales

En el plano XY perpendicular a los hilos rectilíneos, las superficies equipotenciales se representan por circunferencias de centro (x₁, 0) y radio R

${\displaystyle x_1=\frac{1+k}{1-k}a,R=\frac{2\sqrt{k}}{1-k}a}$

La separación entre los dos hilos rectilíneos es 2a, k<1 especifica el potencial en el lado derecho (en el lado izquierdo k>1)

Una hilo rectilíneo cargado +λ C/m (en color rojo) paralelo de una superficie cilíndrica conductora de radio R a un potencial k (circunferencia azul), separados una distancia d, es equivalente a dos hilos rectilíneos: el hilo imagen de carga -λ C/m (en color azul) está situado a una distancia b del eje del cilindro. Los datos son d y R, la incógnita es b

${\displaystyle \begin{array}{l}b=x_1-a=\frac{2k}{1-k}a\\ b^2=k{R}^2\\ b=d-2a,b=d-2\frac{1-k}{2k}b,b=kd\\ b=\frac{R^2}{d}\end{array}}$

Para representar parte de la figura anterior, se ha empleado el código

a=1; % 2a es la distancia entre los dos hilos
hold on
k=0.4; %potencial
R=2*a*sqrt(k)/(1-k); %radio 
x1=(1+k)*a/(1-k); %posición
fplot(@(t) x1+R*cos(t), @(t) R*sin(t),[0,2*pi],'b')
plot(x1,0,'ko','markersize',4,'markerfacecolor','k') %centro
plot(-a,0,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r') %hilo +
plot(a,0,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b') %hilo -
hold off
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y');
title('Equipotencial')

Campo eléctrico y potencial producido por el hilo rectilíneo y su imagen

El potencial en la superficie cilíndrica r=R deberá ser nulo, lo que nos permite calcular la constante c

${\displaystyle \begin{array}{l}V(R,\theta )=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_0}\ln \left(d^2+R^2-2dR\cos \theta \right)-\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_0}\ln \left(b^2+R^2-2bR\cos \theta \right)+c=\\ \frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_0}\ln \left(\frac{d^2+R^2-2dR\cos \theta }{d^2+R^2-2dR\cos \theta }\frac{d^2}{R^2}\right)+c=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln \left(\frac{d}{R}\right)+c=0\end{array}}$

El potencial en P es

${\displaystyle V(r,\theta )=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_0}\left\{\ln \frac{d^2+r^2-2dr\cos \theta }{b^2+r^2-2br\cos \theta }-2\ln \left(\frac{d}{R}\right)\right\}=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{d^2+r^2-2dr\cos \theta }{R^2+\frac{r^2}{R^2}{d}^2-2dr\cos \theta }}$

Las componentes del campo eléctrico son

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_r(r,\theta )=-\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\left\{\frac{r-d\cos \theta }{d^2+r^2-2dr\cos \theta }-\frac{r{d}^2-R^{2}d\cos \theta }{R^4+r^2{d}^2-2R^{2}dr\cos \theta }\right\}\\ E_{\theta }(r,\theta )=-\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\sin \theta \left\{\frac{d}{d^2+r^2-2dr\cos \theta }-\frac{R^{2}d}{R^4+r^2{d}^2-2R^{2}dr\cos \theta }\right\}\end{array}}$

Densidad de carga en la superficie del conductor

La componente radial E_r en la superficie del conductor cilíndrico r=R está relacionada con la densidad de carga σ. La carga total (por unidad de longitud) sobre la superficie cilíndrica tiene que ser negativa, el campo eléctrico apunta hacia el conductor

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_r(R,\theta )=-\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}\\ \sigma =\frac{\lambda }{2\pi }\left(R-\frac{d^2}{R}\right)\frac{1}{d^2+R^2-2dR\cos \theta }\end{array}}$

A partir de la densidad de carga, calculamos la carga total por unidad de longitud.

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sigma \left(R·d\theta \right)}=\frac{\lambda }{2\pi }\left(R^2-d^2\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{d\theta }{d^2+R^2-2dR\cos \theta }}=\frac{\lambda }{\pi }\left(R^2-d^2\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{d\theta }{d^2+R^2-2dR\cos \theta }}}$

Es una integral del tipo

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{dx}{a+b\cos x}}\{\begin{array}{l}a=d^2+R^2\\ b=-2dR\end{array}}$

Hacemos el cambio de variable

${\displaystyle \tan \left(\frac{x}{2}\right)=t,\frac{1}{2}\frac{dx}{{\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)}=dt}$

Empleamos las relaciones trigonométricas

${\displaystyle \begin{array}{l}{\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+t^2},{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{t^2}{1+t^2}\\ \cos x={\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{array}}$

La integral se expresa en términos de la variable t

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{dx}{a+b\cos x}}=\frac{2}{a+b}{\displaystyle \int \frac{dt}{1+\frac{a-b}{a+b}{t}^2}}}$

Hacemos el cambio de variable

${\displaystyle u=\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}t,du=\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}dt}$

La integral es inmediata. Deshacemos los cambios

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int \frac{dx}{a+b\cos x}}=\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}}{\displaystyle \int \frac{du}{1+u^2}}=\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}}\arctan u=\\ \frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}}\arctan \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}t\right)=\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}}\arctan \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \left(\frac{x}{2}\right)\right)\end{array}}$

La integral definida vale

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{d\theta }{d^2+R^2-2dR\cos \theta }}={\frac{2}{\sqrt{{\left(d^2+R^2\right)}^2-{\left(-2dR\right)}^2}}\arctan \left(\sqrt{\frac{d^2+R^2+2dR}{d^2+R^2-2dR}}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)|}_0^{\pi }=\\ {\frac{2}{d^2-R^2}\arctan \left(\frac{d+R}{d-R}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)|}_0^{\pi }=\frac{2}{d^2-R^2}\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{d^2-R^2}\end{array}}$

Obtenemos la carga por unidad de longitud del hilo rectilíneo imagen

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sigma \left(R·d\theta \right)}=\frac{\lambda }{\pi }\left(R^2-d^2\right)\frac{\pi }{d^2-R^2}=-\lambda }$

Actividades

Se muestran las líneas de fuerza y las equipotenciales de un sistema formado por una superficie cilíndica conductora de radio R infinitamente larga, conectada a tierra y un hilo unifomemente cargado con carga λ C/m paralelo al eje del cilindro y distante d del mismo

Se introduce

• la distancia d entre la línea rectilínea cargada y el y el eje de la superficie cilíndrica conductora, en el control titulado Distancia.
• el radio R de la esfera se ha fijado en la unidad.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

La superficie cilíndrica conductora a potencial cero se sustituye por una línea rectilínea imagen que aparece como un pequeño círculo de color azul. La línea rectilínea imagen tiene carga negativa (color azul). La carga de la línea rectilínea es positiva (color rojo).

Observar que las líneas de fuerza que llegan al conductor cilíndrico son perpendiculares a su superficie.

Como las cargas por unidad de longitud de la línea rectilínea y su imagen son iguales y opuestas, las líneas de fuerza y equipotenciales tiene simetría, son similares a un dipolo eléctrico

Dos conductores cilíndricos de distinto radio

En un sistema formado por dos hilo rectilíneos cargados con +λ y -λ C/m, respectivamente, separados una distancia 2a. Las superficies equipotenciales son cilindros infinitamente largos. Tomemos dos de ellos de centos x₁ y x₂ y radios R₁ y R₂.

${\displaystyle x_i=\frac{1+k}{1-k}a,R_i=\frac{2\sqrt{k}}{1-k}a,i=\mathrm{1,2}}$

Donde k<1 especifica el potencial de la superficie de radio R₁ y k>1 especifica el potencial de la superficie de radio R₂.

Para representar parte de la figura anterior, se ha empleado el código

a=1; % 2a es la distancia entre los dos hilos
hold on
for k=[0.4, 1/0.3] %potencial
    R=2*a*sqrt(k)/(1-k); %radio 
    x1=(1+k)*a/(1-k); %posición
    fplot(@(t) x1+R*cos(t), @(t) R*sin(t),[0,2*pi],'b')
    plot(x1,0,'ko','markersize',4,'markerfacecolor','k') %centro
end
plot(-a,0,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r') %hilo +
plot(a,0,'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b') %hilo -
hold off
axis equal
xlim([-4,5])
xlabel('x')
ylabel('y');
title('Equipotencial')

Los cilindros conductores de radios R₁ y R₂ separados una distancia d, se pueden sustituir por dos hilos rectilíneos cargados con +λ y -λ C/m separados 2a. Dados d, R₁ y R₂, calculamos b₁ y b₂, distancias de los centros de los cilindros a los hilos rectilíneos cargados (Véase el apartado, Deducción alternativa)

${\displaystyle \begin{array}{l}{b}_1=x_1-a=\frac{2k}{1-k}a,k<1\\ b_1^2=k{R}_1^2\\ b_1=d-b_2-2a,b=d-b_2-2\frac{1-k}{2k}b,b_1=k\left(d-b_2\right)\end{array}}$

Eliminando k, obtenemos b₁. Volviendo a repetir el mismo cálculo, obtenemos b₂

${\displaystyle b_1=\frac{R_1^2}{d-b_2},b_2=\frac{R_2^2}{d-b_1}}$

Despejamos b₁ y b₂

${\displaystyle \begin{array}{l}{b}_1=\frac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2d}\pm \sqrt{{\left(\frac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2d}\right)}^2-R_1^2}\\ b_2=\frac{d^2+R_2^2-R_1^2}{2d}\pm \sqrt{{\left(\frac{d^2+R_2^2-R_1^2}{2d}\right)}^2-R_2^2}\end{array}}$

Tomamos la raíz con (-)

Diferencia de potencial entre los dos conductores cilíndricos

En la página titulada Principio de superposición de campos, calculamos el campo eléctrico y el potencial producido por dos hilos rectilíneos cargados con +λ y -λ C/m, paralelos y distantes 2a

${\displaystyle V(r)=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln \left(\frac{r_2}{r_1}\right)}$

r₂ es la distancia del hilo rectilíneo -λ al punto P, y r₁ es la distancia del hilo rectilíneo +λ a dicho punto.

Para calcular la diferencia de potencial V_A-V_B, podemos elegir dos puntos A y B cualesquiera en cada una de de las superficies cilíndricas. Sean A y B dos puntos situados en cada superficie cilíndrica a uno y otro lado del eje Y, tal como se indica en la figura anterior.

• Distancias al punto A, r₁=d-b₂-R₁, r₂=R₁-b₁

${\displaystyle V_A=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln \left(\frac{R_1-b_1}{d-b_2-R_1}\right)}$

• Distancias al punto B, r₁=R₂-b₂, r₂=d-b₁-R₂

${\displaystyle V_B=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln \left(\frac{d-b_1-R_2}{R_2-b_2}\right)}$

La diferencia de potencial es

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_A-V_B=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln \left(\frac{R_1-b_1}{\frac{R_1^2}{b_1}-R_1}·\frac{R_2-b_2}{\frac{R_2^2}{b_2}-R_2}\right)=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln \left(\frac{b_1{b}_2}{R_1{R}_2}\right)=\\ =\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln \left(\frac{\left(\frac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2d}-\sqrt{{\left(\frac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2d}\right)}^2-R_1^2}\right)\left(\frac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2d}-\sqrt{{\left(\frac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2d}\right)}^2-R_1^2}\right)}{R_1{R}_2}\right)\\ =\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln \left(\frac{\frac{d^4-R_1^4-R_2^4+2R_1^2{R}_2^2}{4d^2}-d\sqrt{\frac{d^4+R_1^4+R_2^4-2R_1^2{R}_2^2-2d^2{R}_1^2-2d^2{R}_2^2}{4d^2}}+\frac{d^4+R_1^4+R_2^4-2R_1^2{R}_2^2-2d^2{R}_1^2-2d^2{R}_2^2}{4d^2}}{R_1{R}_2}\right)=\\ \frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln \left(\frac{\frac{d^2-R_1^2-R_2^2}{2}-d\sqrt{{\left(\frac{d^2-R_1^2-R_2^2}{2d}\right)}^2-\frac{R_1^2{R}_1^2}{d^2}}}{R_1{R}_2}\right)=\\ \frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln \left(\frac{d^2-R_1^2-R_2^2}{2R_1{R}_2}-\sqrt{{\left(\frac{d^2-R_1^2-R_2^2}{2R_1{R}_2}\right)}^2-1}\right)\end{array}}$

Teniendo en cuenta la identidad

${\displaystyle \begin{array}{l}y=\text{arccosh}(x)\\ y=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\end{array}}$

La expresión de la diferencia de potencial se simplifica aún más

${\displaystyle V_A-V_B=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\text{arccosh}\left(\frac{d^2-R_1^2-R_2^2}{2R_1{R}_2}\right)}$

Capacidad por unidad de longitud

La capacidad por unidad de longitud es

${\displaystyle C=\frac{\lambda }{\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\text{arccosh}\left(\frac{d^2-R_1^2-R_2^2}{2R_1{R}_2}\right)}=\frac{2\pi {\epsilon }_0}{\text{arccosh}\left(\frac{d^2-R_1^2-R_2^2}{2R_1{R}_2}\right)}}$

Fuerza de atracción

La fuerza de atracción entre los dos hilos rectilíneos cargados con +λ y -λ y separados 2a, es

${\displaystyle F=\frac{{\lambda }^2}{2\pi {\epsilon }_0\left(2a\right)}=\frac{{\lambda }^2}{2\pi {\epsilon }_0\left(d-b_1-b_2\right)}}$

Evaluamos el denominador

${\displaystyle \begin{array}{l}d-\frac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2d}+\sqrt{{\left(\frac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2d}\right)}^2-R_1^2}-\frac{d^2+R_2^2-R_1^2}{2d}+\sqrt{{\left(\frac{d^2+R_2^2-R_1^2}{2d}\right)}^2-R_2^2}=\\ 2\sqrt{{\left(\frac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2d}\right)}^2-R_1^2}\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle F=\frac{{\lambda }^2}{4\pi {\epsilon }_0\sqrt{{\left(\frac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2d}\right)}^2-R_1^2}}}$

Referencias

D. K. Ghosh. Lecture 19: Electromagnetic Theory. Example: Line charge near a conducting cylinder. Physics Department, I.I.T., Bombay

Markus Zahn. Electromagnetic field theory. A problem solving approach. pp. 96-102