Esfera cargada próxima a un plano conductor a potencial cero

Consideremos una esfera cargada próxima a un plano conductor a potencial cero, tal como se aprecia en la figura

Sustituiremos la esfera y el plano por una sucesión de cargas puntuales de signos contrarios que converge a cero rápidamente y que hacen que las dos superficies (esfera y plano) sean equipotenciales.

Supongamos que la esfera de radio r, está a un potencial V y su centro dista d>r del plano a potencial cero.

Los pasos para aplicar el método de las imágenes son los siguientes:

  1. Colocamos una carga q0 en el centro de la esfera. Esto hace que la superficie esférica de radio r esté a un potencial V.

  2. V= 1 4π ε 0 q 0 r

  3. Colocamos una carga –q0 a una distancia 2d del centro de la esfera. Esto hace que el plano sea una superficie equipotencial, pero ya no lo es la esfera.

  4. Colocamos una carga q1 en el interior de la esfera. Calculamos el valor de q1 y su posición x1 para que la esfera sea una superficie equipotencial, aunque deje de serlo el plano

  5. El potencial en A (-r, 0) debido a las cargas –q0 y q1 lo hacemos cero

    q 0 2d+r + q 1 r+ x 1 =0

    El potencial en B (r, 0) debido a las cargas –q0 y q1 lo hacemos cero

    q 0 2dr + q 1 r x 1 =0

    Despejamos q1 y x1 de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

    x 1 = r 2 2d q 1 = q 0 r 2d

  6. Colocamos una carga –q1 simétrica a q1 para el plano sea equipotencial, pero deja de serlo la superficie esférica

  7. Colocamos una carga q2 en el interior de la esfera, para que esta sea equipotencial, aunque el plano deje de serlo

  8. El potencial en A (-r, 0) debido a las cargas –q1 y q2 lo hacemos cero

    q 1 2d+r x 1 + q 2 r+ x 2 =0

    El potencial en B (r, 0) debido a las cargas –q1 y q2 lo hacemos cero

    q 1 2dr x 1 + q 2 r x 2 =0

    Despejamos q2 y x2 en este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

      x 2 = r 2 2d x 1 q 2 = q 1 r 2d x 1 = q 0 r 2 4 d 2 r 2

Continuamos el proceso que converge rápidamente hasta que tenemos la precisión deseada

Relaciones recursivas

Calculamos la sucesión de cargas qi y sus posiciones xi mediante las relaciones recursivas

  x i+1 = r 2 2d x i q i+1 = q i r 2d x i i=0, 1, 2, 3... x 0 =0  q 0 =q

Ejemplo:

Tomamos d=3r, q0=1 y r=1

Paso Posición xi Carga qi
0 0 1
1 0.166667 0.16667
2 0.171429 0.02857
3 0.171569 0.00490
4 0.171573 0.00084
5 0.171573 0.00014

Sustituímos la distribución de carga formada por una esfera de radio r y un plano a potencial cero situado a una distancia d>r del centro de la esfera, por una sucesión de cargas puntuales positivas situadas en la esfera y sus correspondientes cargas negativas situadas simétricamente respecto del plano. Esta sucesión tiende a cero rápidamente.

Así la carga qi está en la posición xi y su simétrica –qi está en la posición 2d-xi

La carga total de la esfera es

Q= 0 q i

Solamente q1 contribuye al potencial de la esfera, las cargas -q1, q2 anulan el potencial de la esfera y lo mismo ocurre con todos los restantes pares de cargas. El potencial de la esfera es, por tanto, V=q1/(4πє0)

d=3;
r=1;
x=0;
q=1;
i=0;
disp('Paso, posición, carga')
fprintf('%i, %1.8f, %1.8f\n',i,x,q)   
format long;
for i=1:5;
    x=r^2/(2*d-x);
    q=q*r/(2*d-x);
    fprintf('%i, %1.8f, %1.8f\n',i,x,q)   
end
Paso, posición, carga
0, 0.00000000, 1.00000000
1, 0.16666667, 0.17142857
2, 0.17142857, 0.02941176
3, 0.17156863, 0.00504626
4, 0.17157275, 0.00086580
5, 0.17157287, 0.00014855

Campo y potencial producido por el conjunto de cargas puntuales

Calculamos el campo y el potencial producido en el punto P (x, y) por el par de cargas qi situada en el punto xi y su simétrica –qi en la posición 2d-xi

El módulo del campo E1 producido por la carga qi es

E 1 = 1 4π ε 0 q i ( x x i ) 2 + y 2

El módulo del campo E2 producido por la carga simétrica -qi es

E 2 = 1 4π ε 0 q i ( 2dx x i ) 2 + y 2

Las componentes del campo total Ei son

Eix=E1·cosθ1+E2·cosθ2
Eiy
=E1·sinθ1-E2·sinθ2

E ix = q i 4π ε 0 x x i ( ( x x i ) 2 + y 2 ) 3/2 + q i 4π ε 0 2dx x i ( ( 2dx x i ) 2 + y 2 ) 3/2 E iy = q i 4π ε 0 y ( ( x x i ) 2 + y 2 ) 3/2 q i 4π ε 0 y ( ( 2dx x i ) 2 + y 2 ) 3/2

El potencial Vi en el punto P debido a las dos cargas es

V i = 1 4π ε 0 q i ( x x i ) 2 + y 2 + 1 4π ε 0 q i ( 2dx x i ) 2 + y 2

El campo y el potencial total es la suma de todos los campos y potenciales producidos por los pares de cargas dispuestas simétricamente al plano

E= 0 E i V= 0 V i

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se trazan las líneas de fuerza (en color blanco) y las superficies equipotenciales (en color azul claro).

Las superficies equipotenciales se han trazado, en intervalos de 0.05 unidades arbitrarias, tomando el potencial de la esfera como la unidad.

Referencias

Lorrain P. Corson D. Campos y ondas electromagnéticas. Selecciones Científicas (1972), págs. 159-16