Consideremos una esfera cargada próxima a un plano conductor a potencial cero, tal como se aprecia en la figura

Sustituiremos la esfera y el plano por una sucesión de cargas puntuales de signos contrarios que converge a cero rápidamente y que hacen que las dos superficies (esfera y plano) sean equipotenciales.

Supongamos que la esfera de radio r, está a un potencial V y su centro dista d>r del plano a potencial cero.

Los pasos para aplicar el método de las imágenes son los siguientes:

1. Colocamos una carga q₀ en el centro de la esfera. Esto hace que la superficie esférica de radio r esté a un potencial V.

${\displaystyle V=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_0}{r}}$



2. Colocamos una carga –q₀ a una distancia 2d del centro de la esfera. Esto hace que el plano sea una superficie equipotencial, pero ya no lo es la esfera.



3. Colocamos una carga q₁ en el interior de la esfera. Calculamos el valor de q₁ y su posición x₁ para que la esfera sea una superficie equipotencial, aunque deje de serlo el plano



El potencial en A (-r, 0) debido a las cargas –q₀ y q₁ lo hacemos cero

${\displaystyle \frac{-q_0}{2d+r}+\frac{q_1}{r+x_1}=0}$

El potencial en B (r, 0) debido a las cargas –q₀ y q₁ lo hacemos cero

${\displaystyle \frac{-q_0}{2d-r}+\frac{q_1}{r-x_1}=0}$

Despejamos q₁ y x₁ de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

${\displaystyle x_1=\frac{r^2}{2d}{q}_1=q_0\frac{r}{2d}}$

4. Colocamos una carga –q₁ simétrica a q₁ para el plano sea equipotencial, pero deja de serlo la superficie esférica



5. Colocamos una carga q₂ en el interior de la esfera, para que esta sea equipotencial, aunque el plano deje de serlo



El potencial en A (-r, 0) debido a las cargas –q₁ y q₂ lo hacemos cero

${\displaystyle \frac{-q_1}{2d+r-x_1}+\frac{q_2}{r+x_2}=0}$

El potencial en B (r, 0) debido a las cargas –q₁ y q₂ lo hacemos cero

${\displaystyle \frac{-q_1}{2d-r-x_1}+\frac{q_2}{r-x_2}=0}$

Despejamos q₂ y x₂ en este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

${\displaystyle x_2=\frac{r^2}{2d-x_1}{q}_2=q_1\frac{r}{2d-x_1}=q_0\frac{r^2}{4d^2-r^2}}$

Continuamos el proceso que converge rápidamente hasta que tenemos la precisión deseada

Relaciones recursivas

Calculamos la sucesión de cargas q_i y sus posiciones x_i mediante las relaciones recursivas

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}_{i+1}=\frac{r^2}{2d-x_i}{q}_{i+1}=q_i\frac{r}{2d-x_i}i=\mathrm{0,}\text{ 1}\text{, 2}\text{, 3}\mathrm{...}\\ x_0=0q_0=q\end{array}}$

Ejemplo:

Tomamos d=3r, q₀=1 y r=1

d=3;
r=1;
x=0;
q=1;
i=0;
disp('Paso, posición, carga')
fprintf('%i, %1.8f, %1.8f\n',i,x,q)   
format long;
for i=1:5
    x=r^2/(2*d-x);
    q=q*r/(2*d-x);
    fprintf('%i, %1.8f, %1.8f\n',i,x,q)   
end

Paso, posición, carga
0, 0.00000000, 1.00000000
1, 0.16666667, 0.17142857
2, 0.17142857, 0.02941176
3, 0.17156863, 0.00504626
4, 0.17157275, 0.00086580
5, 0.17157287, 0.00014855

Sustituímos la distribución de carga formada por una esfera de radio r y un plano a potencial cero situado a una distancia d>r del centro de la esfera, por una sucesión de cargas puntuales positivas situadas en la esfera y sus correspondientes cargas negativas situadas simétricamente respecto del plano. Esta sucesión tiende a cero rápidamente.

Así la carga q_i está en la posición x_i y su simétrica –q_i está en la posición 2d-x_i

La carga total de la esfera es

${\displaystyle Q={\displaystyle \sum _0^{\infty }{q}_i}}$

Solamente q₀ contribuye al potencial de la esfera, las cargas q₁, q₂, ... anulan el potencial de la esfera y lo mismo ocurre con todos los restantes pares de cargas. El potencial de la esfera es, por tanto, V=q₀/(4πє₀r)

La capacidad

${\displaystyle C=\frac{Q}{V}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{q}_i}}{\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q_0}{r}}}$

Representamos

${\displaystyle \frac{C}{4\pi {\epsilon }_{o}r}=\frac{1}{q_0}{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{q}_i}}$

en función de r<d

d=3;
q0=1;
rr=linspace(0,2.8,50);
j=1;
C=zeros(1,length(rr));
for r=rr
    x=0;
    q=q0;
    Q=q;
    for i=1:50
        x=r^2/(2*d-x);
        q=q*r/(2*d-x);
        Q=Q+q;
    end
    C(j)=Q/q0;
    j=j+1;
end
plot(rr,C)
xlabel('r')
ylabel('C')
grid on
title('Capacidad')

Líneas de campo y equipotenciales

Calculamos el campo y el potencial producido en el punto P (x, y) por el par de cargas q_i situada en el punto x_i y su simétrica –q_i en la posición 2d-x_i

El módulo del campo E₁ producido por la carga q_i es

${\displaystyle E_1=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_i}{{\left(x-x_i\right)}^2+y^2}}$

El módulo del campo E₂ producido por la carga simétrica -q_i es

${\displaystyle E_2=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_i}{{\left(2d-x-x_i\right)}^2+y^2}}$

Las componentes del campo $\overrightarrow{E_i}=\overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{E_2}$ son

E_ix=E₁·cosθ₁+E₂·cosθ₂
E_iy=E₁·sinθ₁-E₂·sinθ₂

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{ix}=\frac{q_i}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{x-x_i}{{\left({\left(x-x_i\right)}^2+y^2\right)}^{3/2}}+\frac{q_i}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2d-x-x_i}{{\left({\left(2d-x-x_i\right)}^2+y^2\right)}^{3/2}}\\ E_{iy}=\frac{q_i}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{y}{{\left({\left(x-x_i\right)}^2+y^2\right)}^{3/2}}-\frac{q_i}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{y}{{\left({\left(2d-x-x_i\right)}^2+y^2\right)}^{3/2}}\end{array}}$

El potencial V_i en el punto P debido a las dos cargas es

${\displaystyle V_i=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_i}{\sqrt{{\left(x-x_i\right)}^2+y^2}}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{-q_i}{\sqrt{{\left(2d-x-x_i\right)}^2+y^2}}}$

El campo y el potencial total es la suma de todos los campos y potenciales producidos por los pares de cargas dispuestas simétricamente al plano

${\displaystyle \overrightarrow{E}={\displaystyle \sum }_0^{\infty }\overrightarrow{E_i}V={\displaystyle \sum }_0^{\infty }{V}_i}$

Actividades

Se introduce

• La distancia d entre el centro de la esfera cargada y el plano a potencial cero en unidades del radio r de la esfera, en el control titulado Distancia

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se trazan las líneas de campo (en color blanco) y las superficies equipotenciales (en color azul claro).

Las superficies equipotenciales se han trazado, en intervalos de 0.05 unidades arbitrarias, tomando el potencial de la esfera como la unidad.

Referencias

Lorrain P. Corson D. Campos y ondas electromagnéticas. Selecciones Científicas (1972), págs. 159-162