Oscilador no lineal

Sea un bloque de masa m unido a dos muelles elásticos iguales de constante k. La longitud de los muelles si deformar es l0, cuando el sistema está en la posición de equilibrio estable x=0.

Cuando se separa el bloque una distancia x de la posición de equilibrio y se suelta, empieza a oscilar con un periodo P.

Ecuación del movimiento

La fuerza F que ejerce cada uno de los muelles sobre el bloque es

F=k( x 2 + l 0 2 l 0 )

La resultante es

R=2Fcosθ=2F x x 2 + l 0 2 =2k( 1 l 0 x 2 + l 0 2 )x

La ecuación del movimiento es

m d 2 x d t 2 =2k( 1 l 0 x 2 + l 0 2 )x

Se transforma en

d 2 x d t 2 + 2k m x{ 1 ( 1+ ( x l 0 ) 2 ) 1/2 }

Esta ecuación, se resuelve aplicando procedimientos numéricos con las condiciones iniciales siguientes: en el instante inicial t=0, x=A, y v=dx/dt=0, siendo A la amplitud de la oscilación.

Utilizamos el procedimiento ode45 de MATLAB para resolver numéricamente la ecuación diferencial de segundo orden, para los valores de k/m=60, l0=1 y una amplitud A=0.3

k_m=60;
l0=1;
x0=zeros(1,2);
x0(1)=0.3;
x0(2)=0;
f=@(t,x) [x(2);-2*k_m*x(1)*(1-1/sqrt(1+(x(1)/l0)^2))]; 
tspan=[0 25];
[t,x]=ode45(f,tspan,x0);
plot(t,x(:,1),'r')
grid on
xlabel('t')
ylabel('x');
title('Dos muelles')

Solución analítica

Cuando x<<l0 la ecuación diferencial se aproxima a

d 2 x d t 2 + k m l 0 2 x 3 =0

Las condiciones iniciales son: en el instante t=0, la partícula parte de la posición x=A, con velocidad nula, v=dx/dt=0

d 2 x d t 2 = dv dt = dv dx · dx dt =v dv dx v dv dx = k m l 0 2 x 3

Integramos esta ecuación diferencial

0 v vdv = k m l 0 2 A x x 3 dx v= k 2m l 0 2 ( A 4 x 4 )

es el módulo de la velocidad

Como la partícula parte de x=+A y se dirige hacia el origen la velocidad es negativa en el primer cuarto de periodo

v= k 2m l 0 2 ( A 4 x 4 )

Para obtener la posición x del oscilador en función del tiempo t tenemos que integrar nuevamente

dx dt = k 2m l 0 2 ( A 4 x 4 ) t= 2m l 0 2 k A x dx A 4 x 4

Hacemos el cambio de variable

x=A 1 z 2

La integral se transforma

t= 1 A 2m l 0 2 k 0 z dz 1 z 2 2 z 2 A l 0 k m t= 0 z dz 1 z 2 1 1 2 z 2

Se hace el cambio de variable z=sinφ

A l 0 k m t= 0 θ dφ 1 1 2 sin 2 φ A l 0 k m t=u snu=sinθ=z

Las funciones sn y cn están relacionadas

sn2 u+cn2 u=1

Deshacemos el cambio de variable de z a x.

x=A 1 z 2 =A 1 sn 2 u =Acnu x=A·cn( A l 0 k m t )

Tomando l0=1, k/m=60, representamos el desplazamiento x del oscilador en función del tiempo t, para dos valores de la amplitud A=0.15 y A=0.3

k_m=sqrt(60);
A=0.15;
t=0:0.1:25;
[sn,cn,dn]=ellipj(A*k_m*t,1/2);
hold on
plot(t,cn*A,'b')
A=0.3;
[sn,cn,dn]=ellipj(A*k_m*t, 1/2);
plot(t,cn*A,'r')
hold off
xlabel('t')
ylabel('x')
legend ('0.15','0.3')
title('Dos muelles')
grid on

Periodo del movimiento

El tiempo que tarda en describir un cuarto de periodo P es

P 4 = 2m l 0 2 k A 0 dx A 4 x 4

Haciendo el cambio de variable x=Acosφ

P 4 = l 0 A m k 0 π/2 dφ 1 1 2 sin 2 φ

El último término es la integral elíptica completa de primera especie. Su valor aproximado es 1.8541. Véase tabla de integrales elípticas de primera especie (Puig Adam P., Cálculo Integral. Editorial Biblioteca Matemática 1972, pág. 72)

>> k2=1/2;
>> ellipke(k2)
ans =    1.8541

P 7.4164 l 0 A m k

En la figura, se muestra cómo el periodo P depende de la amplitud A

Referencias

Mohazzabi P. Theory and examples of intrinsically nonlinear oscillators. Am. J. Phys. 72 (4) April 2004, pp. 492-498

Detcheva V., Spassov V., A simple nonlinear oscillator: analytical and numerical solution.  Phys. Educ. 28 (1993) pp. 39-42

Puig Adam P., Curso teórico práctico de Cálculo Integral aplicado a la Física y Técnica. Editorial Biblioteca Matemática 1972, págs. 71-76