Oscilaciones de una partícula bajo la acción de una fuerza de módulo constante

Consideremos una partícula de masa m cargada con una carga negativa q, en las proximidades de una placa indefinida cargada con una densidad de carga positiva σ C/m2.

En la placa se ha hecho un pequeño agujero para que pueda pasar la partícula cargada, tal como se muestra en la figura

La fuerza que ejerce el campo eléctrico producido por una placa plana sobre la carga negativa q, es constante en módulo y de sentido contrario al campo eléctrico

F= σ 2 ε 0 q

La energía potencial Ep(x) correspondiente a la fuerza conservativa F, es una función que tiene forma de V con el vértice en la posición de equilibrio x=0.

E p (x)= σq 2 ε 0 | x |

Esta función no se puede desarrollar en serie alrededor de x=0.

Un ejemplo más de este tipo de oscilador, es el movimiento de una pieza de dieléctrico entre las placas de un condensador conectado a una batería.

Ecuación del movimiento

La posición y velocidad de la partícula en cualquier instante t se calculan mediante las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado

El periodo P es cuatro veces el tiempo t0 que tarda en llegar por primer a vez al origen x=0, desde la posición inicial x=A

P=4 2mA F

El periodo P depende de la amplitud A

Expresamos de forma alternativa, las ecuaciones del movimiento, en términos del periodo P y la amplitud A, teniendo en cuenta que, v0=8A/P y F/m=32A/P2

0t< P 4 { v= 8A P ( 4 t P ) x=A( 116 t 2 P 2 ) P 4 t< 3 4 P{ v= 8A P ( 2+4 t P ) x=A( 316 t P +16 t 2 P 2 ) 3 4 Pt<P{ v= 8A P ( 44 t P ) x=A( 15+32 t P 16 t 2 P 2 )

Representamos la posición x del móvil en función del tiempo t, (en color rojo) y la comparamos con el movimiento armónico simple de la misma amplitud A y periodo P, x=Acos(2πt/P)(en color azul)

Definimos la función f a representar en un fichero

function x=f(t)
    global A P;
    if t>=0 && t<P/4
        x=A*(1-16*t.^2/P^2);
    elseif t>=P/4 && t<3*P/4
        x=A*(3-16*t/P+16*t.^2/P^2);
    else
        x=A*(-15+32*t/P-16*t.^2/P^2);
    end
end

El script que llama a la función f para representar la posición x de la partícula en función del tiempo t

A=1; %amplitud
m=1; %masa 
F=1; %fuerza
P=4*sqrt(2*m*A/F); %periodo
hold on
fplot(@f,[0,6],'r')
fplot(@(t) A*cos(2*pi*t/P),[0,6],'b')
line([P,P],[-A,A],'lineStyle','--')
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('x')
legend('no armónico','armónico', 'Location','north')
title('Oscilador no armónico')

Observamos que la diferencia es pequeña

Análisis armónico

El desarrollo en serie de Fourier de la función periódica f(t) de periodo P es

f(t)= a 0 2 + k=1 ( a k cos 2kπt P + b k sin 2kπt P ) a k = 2 P 0 P f(t)cos 2kπt P dt b k = 2 P 0 P f(t)sin 2kπt P dt

El cálculo de los coeficientes ak y bk es muy laborioso por lo que preparamos un script para determinar los primeros términos del desarrollo en serie de Fourier. Al ser una función par, comprobamos que los coeficientes bk son nulos

syms t A P;
f1=A*(1-16*t^2/P^2);
f2=A*(3-16*t/P+16*t^2/P^2);
f3=A*(-15+32*t/P-16*t^2/P^2);
a=@(k) (int(f1*cos(2*k*pi*t/P),0,P/4)+int(f2*cos(2*k*pi*t/P),P/4,3*P/4)+
int(f3*cos(2*k*pi*t/P),3*P/4,P))*2/P;
b=@(k) (int(f1*sin(2*k*pi*t/P),0,P/4)+int(f2*sin(2*k*pi*t/P),P/4,3*P/4)+
int(f3*sin(2*k*pi*t/P),3*P/4,P))*2/P;
fs=(int(f1,0,P/4)+int(f2,P/4,3*P/4)+int(f3,3*P/4,P))/P;
for k=1:6
    fs=fs+a(k)*cos(2*k*pi*t/P)+b(k)*sin(2*k*pi*t/P);
end
f=subs(fs,{P,A},{4*sqrt(2),1})
ezplot(f,[0,6])
grid on
xlabel('t')
ylabel('x')
title('Oscilador no armónico')

Utilizamos el comando latext de MATLAB en combinación con MathType para mostar los primeros términos del desarrollo en serie que guarda la variable simbólica fs

>> latex(fs)
ans =
\frac{32\, A\, \cos\!\left(\frac{2\, \pi\, t}{P}\right)}{{\pi}^3} - 
\frac{32\, A\, \cos\!\left(\frac{6\, \pi\, t}{P}\right)}{27\, {\pi}^3} +
 \frac{32\, A\, \cos\!\left(\frac{10\, \pi\, t}{P}\right)}{125\, {\pi}^3}

32Acos( 2πt P ) π 3 32Acos( 6πt P ) 27 π 3 + 32Acos( 10πt P ) 125 π 3

O bien, de forma más compacta

f(t)=32 A π 3 ( cos( 1·2πt P ) 1 cos( 3·2πt P ) 3 3 + cos( 5·2πt P ) 5 3 .... )

Como 32/π3=1.0320.., y el segundo término es 1/27 veces el primero, el tercero 1/125 veces el primero, etc. La aproximación armónica x=Acos(2πt/P) difiere muy poco de la exacta, tal como hemos apreciado en la figura anterior

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento de la partícula.

A la derecha se representa la energía potencial Ep(x). La recta horizontal es la energía total, y la recta vertical está dividida en dos porciones de color rojo y azul, la primera representa la energía potencial y la segunda, la energía cinética. También, se representa mediante una flecha la fuerza sobre la partícula.

Ejemplo

El periodo de las oscilaciones es

P=4 2mA F P=4 2·1·0.7 60 =0.61


Oscilaciones amortiguadas no armónicas

Sobre la partícula además de la fuerza F, supondremos que actúa una fuerza de rozamiento porporcional a la velocidad v=dx/dt y de sentido contrario a esta

y así, sucesivamente

Oscilaciones amortiguadas armónicas

La ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas es

d 2 x d t 2 +2γ dx dt + ω 0 2 x=0

La solución de esta ecuación diferencial es

ω= ω 0 2 γ 2 x=exp(γt)(Asin(ωt)+Bcos(ωt)) v= dx dt =γexp(γt)(Asin(ωt)+Bcos(ωt))+ωexp(γt)(Acos(ωt)Bsin(ωt))

donde A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: posición inicial x0 y velocidad inicial v0=0 en el instante t=0

t=0{ x 0 =B 0=γB+ωA x= x 0 exp(γt)( γ ω sin(ωt)+cos(ωt) )

El primer término de la suma es pequeño, ya que habitualmente γ/ω es mucho menor que la unidad

Creamos un script para comparar la solución aproximada del oscilador amortiguado no armónico y la solución exacta del oscilador amortiguado amónico de frecuencia angular propia ω0=2π/P y amortiguamiento 2γ=b

A0=1; %amplitud
m=1; %masa 
F=1; %fuerza
P=4*sqrt(2*m*A0/F); %periodo no amortiguado
b=1/20; %amortiguamiento
T=0; %periodos
hold on
for k=1:5 %cinco periodos
    v1=@(t) -(1-exp(-b*t))*F/(b*m);
    x1=@(t) A0-(t-(1-exp(-b*t))/b)*F/(m*b);
    t1=fzero(x1, P/4);
    tt=linspace(0,t1,50);
    plot(tt+T,x1(tt),'r')

    v2=@(t) (v1(t1)-F/(b*m))*exp(-b*(t-t1))+F/(b*m);
    x2=@(t) ((v1(t1)-F/(b*m))*(1-exp(-b*(t-t1)))+F*(t-t1)/m)/b;
    t2=fzero(x2,3*P/4);
    tt=linspace(t1,t2,100);
    plot(tt+T,x2(tt),'r')

    v3=@(t) (v2(t2)+F/(b*m))*exp(-b*(t-t2))-F/(b*m);
    x3=@(t) ((v2(t2)+F/(b*m))*(1-exp(-b*(t-t2)))-F*(t-t2)/m)/b;
    t3=fzero(v3,P);
    A0=x3(t3)
    tt=linspace(t2,t3,50);
    plot(tt+T,x3(tt),'r')
    T=T+t3;
end
%oscilaciones armónicas amortiguadas
x0=1;
w=sqrt((2*pi/P)^2-(b/2)^2);
xx=@(t) x0*exp(-b*t/2).*(b*sin(w*t)/(2*w)+cos(w*t)); 
tt=linspace(0,T,300);
plot(tt,xx(tt),'b')
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('x')
title('Oscilador amortiguado no armónico')

El comportamiento de ambos tipos de osciladores amortiguados difiere sustancialmente, a partir del primer periodo, tal como puede observarse en la gráfica, en rojo la posición en función del tiempo del oscilador no armónico y en azul, la correspondiente al armónico. Se han representado cinco periodos. Las posiciones del máximo desplazamiento x>0 de la partícula son las siguientes:

A0 =    1
A0 =    0.8350
A0 =    0.7078
A0 =    0.6075
A0 =    0.5272
A0 =    0.4618

Solución numérica de la ecuación diferencial

Definimos la función signo, sign(x)

sign(x){ 1x>0 0x=0 1x<0

La fuerza F que se ejerce sobre la partícula es constante, pero cambia de sentido, si x>0, entonces F<0, en cambio si x<0, entonces F>0. La fuerza de rozamiento es siempre de sentido contrario a la velocidad. La ecuación del movimiento se escribe

d 2 x d t 2 = F m sign(x)b dx dt

Resolvemos la ecuación difeencial por procedimientos numéricos, con las siguienets condiciones iniciales: emn el instante t=0, x=x0, v=0, parte del reposo

Creamos un script para representar la posición x de la partícula en función del tiempo t. Señalamos en la gráfica las posiciones de máximo desplazamiento x>0, cuando la velocidad v=0

function [detect,stopin,direction]=constante_ode45(t,x)
    detect=x(2); % velocidad
    stopin=0;  
    direction=-1; 
end
x0=1; %posición inicial, parte del repso
m=1; %masa 
F=1; %fuerza
b=1/20; %amortiguamiento
P=4*sqrt(2*m*x0/F); %periodo no amortiguado

f=@(t,x) [x(2);-b*x(2)-F*sign(x(1))/m]; 
opts=odeset('events',@constante_ode45);
[t,x,te,xe,ie]=ode45(f,[0,5*P],[x0,0],opts);
hold on
plot(t,x(:,1),'r')
plot(te(ie==1),xe(ie==1),'o','markersize',4,'markerfacecolor','k')
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('x');
title('oscilador no armónico amortiguado')

Las posiciones de máximo desplazamiento señaladas mediante un punto de color negro en la figura, son las siguientes:

xe =
    1.0000   -0.0000
    0.9013         0
    0.7765   -0.0000
    0.6285   -0.0000
    0.5492   -0.0000
    0.4425   -0.0000
    0.3621   -0.0000

Referencias

Ian R. Gatland, Theory of nonharmonic oscillator, Am. J. Phys. 59 (2) February 1991, pp. 155-158