Varilla que se mueve en un campo magnético uniforme

Sea un conductor rectilíneo que desliza con velocidad constante v por dos guías tal como se muestra en la figura (más abajo). Las guías están conectadas por uno de sus extremos para formar un circuito cerrado.

La ley de Faraday

Supongamos que el campo magnético B es constante y es perpendicular al plano determinado por las guías y la varilla. El flujo del campo magnético a través del circuito de forma rectangular ABCD señalado en la figura es

Φ= B S =Bax

donde a·x es el área del rectángulo ABCD.

Al moverse la varilla CD la dimensión x del rectángulo aumenta o disminuye, haciendo variar el flujo con el tiempo. De acuerdo a la ley de Faraday, la fem inducida en el circuito ABCD es

V E = dΦ dt =Ba dx dt =Bav

Sentido de la corriente inducida

i= Bav R

Supondremos que la resistencia de la varilla CD es R y los raíles son superconductores

Estudio energético

Cuando circula por la varilla CD una corriente i, el campo magnético B ejerce una fuerza F m =i( u ^ t × B )L . El vector unitario u ^ t que señala el sentido de la corriente y el campo B son mutuamente perpendiculares, la longitud del conductor es a, por lo que el módulo de la fuerza magnética es Fm=iBa. Su sentido es el indicado en la figura (hacia la izquierda si la varilla se mueve hacia la derecha)

Para que la varilla se mueva con velocidad constante v hacia la derecha, hemos de ejercer una fuerza Fa igual y de sentido contrario a Fm.

La energía mecánica por unidad de tiempo (potencia) suministrada será

P a = F a v=iBav= B 2 a 2 v 2 R

La energía por unidad de tiempo (potencia disipada por efecto Joule) en la resistencia será PR=i2R

P R = B 2 a 2 v 2 R

En el estado estacionario, la intensidad de la corriente es constante, la energía por unidad de tiempo suministrada mecánicamente al mover la varilla, se disipa en la resistencia en forma de calor.

Si consideramos la varilla como una batería cuya fem es Vε=vBa. La potencia suministrada por la fem será Pε=Vε·i

P E = B 2 a 2 v 2 R

Movimiento de la varilla

Estudiamos el movimiento de la varilla para dos casos particulares:

No se aplica fuerza a la varilla, Fa=0

Supongamos que no se ejerce la fuerza mecánica Fa igual a la fuerza magnética de frenado Fm, que mantiene la velocidad contante v de la varilla

La varilla que parte de x=0 con velocidad v0, irá disminuyendo su velocidad hasta que se detiene en xm

m dv dt = B 2 a 2 R v

Teniendo en cuenta que dv/dt=(dv/dx)(dx/dt)=v(dv/dx)

dv dx = B 2 a 2 mR v v 0 = B 2 a 2 mR x

La máxima distancia xm que recorre hasta detenerse v=0, es

x m = mR B 2 a 2 v 0

Integrando la ecuación diferencial obtenemos la velocidad de la varilla en función del tiempo

v 0 v dv v = B 2 a 2 mR 0 t dt v= v 0 exp( B 2 a 2 mR t )

La intensidad i de la corriente inducida vale

i= Bav R = Ba R v 0 exp( B 2 a 2 mR t )

Comprobamos que la energía cinética inicial de la varilla 1 2 m v 0 2 se disipa en la resistencia en forma de calor

0 ( i 2 R ) dt= B 2 a 2 R v 0 2 mR 2 B 2 a 2 exp( 2 B 2 a 2 mR t ) | 0 = 1 2 m v 0 2

Se aplica una fuerza constante Fa a la varilla

Supongamos que se ejerce una fuerza mecánica Fa constante sobre la varilla que parte de x=0 con velocidad v=0. La varilla irá incrementado su velocidad hasta que alcanza un valor límite constante. La ecuación del movimiento es

m dv dt = F a B 2 a 2 R v

Integramos la ecuación diferencial, con la condición inicial t=0, v=0

0 v dv F a m B 2 a 2 mR v = 0 t dt v= F a R B 2 a 2 ( 1exp( B 2 a 2 mR t ) )

Después de un tiempo t, teóricamente infinito, la velocidad de la varilla alcanza el valor límite constante, FaR/(B2a2)

La intensidad i de la corriente inducida vale

i= Bav R = F a Ba ( 1exp( B 2 a 2 mR t ) )

que también alcanza un valor límite constante, Fa/(Ba)

Comprobamos que una parte del trabajo de la fuerza aplicada Fa, incrementa la energía cinética de la varilla y otra parte, se disipa en forma de calor en la resistencia

0 t F a ( v·dt ) = 1 2 m v 2 + 0 t ( i 2 R )dt

El valor del trabajo es

0 t F a ( v·dt ) = F a 2 R B 2 a 2 { t mR B 2 a 2 ( 1exp( B 2 a 2 mR t ) ) }

Cuando el tiempo t se hace grande la expresión del trabajo es

F a 2 R B 2 a 2 { t mR B 2 a 2 }

que es la suma de la energía cinética de la varilla (que se mueve con velocidad límite constante) y la energía disipada en la resistencia

1 2 m ( F a R B 2 a 2 ) 2 + F a 2 R B 2 a 2 { t 3 2 mR B 2 a 2 }

Actividades

El programa interactivo describe el movimiento de una varilla que desliza sin rozamiento sobre dos guías paralelas. El sistema formado por la varilla y las guías esta contenido en un plano paralelo a los polos de un imán.

Se introduce:

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

La corriente inducida se representa mediante el movimiento de pequeños círculos de color rojo (portadores de carga positivos).

Observar que el vector campo (flecha de color azul) se mantiene constante, pero el vector superficie (flecha de color negro) va cambiando a medida que se mueve la varilla.

Ejemplo:

La fem vale Vє=0.04·0.05·0.1=2·10-5 V