Modos normales de vibración de una barra elástica

Extremos fijos

Para encontrar los modos normales de vibración de una barra elástica con ambos extremos fijos seguimos un procedimiento similar

  1. La ecuación diferencial del movimiento de un elemento de la barra es

  2. 4 ψ x 4 + ρab YI 2 ψ t 2 =0

    Siendo ψ el desplazamiento trasversal de un punto x de la barra en el instante t.

    ρ es la densidad de la barra

    Y es el módulo de Young del material de la barra.

    I=ab3/12 es el momento de inercia de la sección trasversal rectangular de la barra de anchura a y espesor b.

  3. Estudiamos una solución de la forma

  4. ψ(x,t)=y(x)·sin(ωt)

    Cada punto x de la barra vibra con una amplitud y(x) y con frecuencia angular ω.

    La ecuación diferencial se convierte en

    d 4 y d x 4 ρab YI ω 2 y=0

    Las raíces de la ecuación característica son

    r 4 q 4 =0q= ( ρab YI ω 2 ) 1/4

    son dos raíces reales y dos imaginarias

    r=q, r=-q, r=iq, r=-iq

    La solución general es

    y(x)= C 1 e qx + C 2 e qx + C 3 e iqx + C 4 e iqx

    o de forma equivalente

    y=A1sinh(qx)+A2·cosh(qx)+A3·sin(qx)+A4·cos(qx)

    La pendiente o derivada de y es,

    dy dx =q( A 1 cosh(qx)+ A 2 sinh(qx)+ A 3 cos(qx) A 4 sin(qx) )

  5. Condiciones de contorno.

  6. La barra está firmemente sujeta por sus extremo x=0 y la pendiente en este punto es dy/dx=0.

    0=A2+A4
    0=A1+A3

    La barra está firmemente sujeta por sus extremo x=L, y la pendiente en este punto es dy/dx=0.

    0=A1(sinh(qL)-sin(qL))+A2(cosh(qL)-cos(qL))
    0=A1(cosh(qL)-cos (qL))+A2(sinh(qL)+sin(qL))

    Eliminado A1 y A2 obtenemos una ecuación trascendente en qL

    (sinh(qL)-sin(qL))·(sinh(qL)+sin(qL))-(cosh(qL)-cos (qL))2=0

    Las raíces rn=qn·L de esta ecuación se calculan por algún procedimiento numérico, sus primeros cinco valores son:

    rn=4.73, 7.85, 11.00, 14.14, 17.27

    Conocido los valores posibles de qn se calculan las frecuencias de vibración ωn=2πfn

    f n = r n 2 2π YI ρab L 4 = C n YI ρab L 4

    Donde fn es la frecuencia del modo normal n de vibración y Cn es un número que corresponde a este modo. Sus primeros valores son:

    C1=3.56, C2=9.82, C3=19.2, C4=31.8, C5=47.5, etc.

    El coeficiente Cn es independiente de las características de la barra y el segundo término, bajo la raíz, depende del material y de las dimensiones de la barra.

    La amplitud de la vibración y(x) de los distintos puntos x de la barra en el modo normal de vibración n es:

    y n (x)=A{ ( sinh( q n x)sin( q n x) ) sinh( q n L)sin( q n L) cosh( q n L)cos( q n L) ( cosh( q n x)cos( q n x) ) }

    El valor de la constante de proporcionalidad A es la escala vertical. Para que todos los modos de vibración estén dibujados a la misma escala, se calcula A por procedimientos numéricos, de modo que

    0 L y n 2 (x)dx= cte

%barra elástica de longitud 1
f=@(x) (sinh(x)-sin(x)).*(sinh(x)+sin(x))-(cosh(x)-cos(x)).^2;
x=linspace(1,15,30);
r=raices(f,x);
hold on
for q=r
    g=@(x) (sinh(q*x)-sin(q*x))-(sinh(q)-sin(q))*
(cosh(q*x)-cos(q*x))/(cosh(q)-cos(q));
    h=@(x) g(x).^2;
    A=sqrt(integral(h,0,1));   %integral sustituye a quad
    x=linspace(0,1,100);
    plot(x, -g(x)/A, 'displayName',num2str(q^2/(2*pi)))
 end
 hold off
 grid on
 legend('-DynamicLegend','location','southwest')
 xlabel('x')
 ylabel('y')
 title('Modos de vibración de una barra')

>> r =    4.7300    7.8532   10.9956   14.1372

Aproximaciones

Cuando qL es grande exp(-qL)≈0 y el seno y el coseno hiperbólico se pueden aproximar a exp(-qL)/2.

Con esta aproximación la ecuación trascendente

(sinh(qL)-sin(qL))·(sinh(qL)+sin(qL))-(cosh(qL)-cos (qL))2=0

se reduce a

cos(qL)=1/exp(qL).

Si qL es grande cos(qL)=0, Las raíces de esta ecuación son

qnL=π/2+nπ

Los cinco primeros valores de rn=qnL son

rn=4.71, 7.85, 11.00, 14.14, 17.28.

Son prácticamente los mismos, que los calculados resolviendo la ecuación trascendente por procedimientos numéricos

La amplitud y(x) de los distintos puntos x de la barra en el modo normal de vibración n se puede aproximar a

y n (x)A{ ( sinh( q n x)sin( q n x) )( cosh( q n x)cos( q n x) ) } =A( exp( q n x)+cos( q n x)sin( q n x) )

Se puede calcular el valor aproximado de la integral

0 L y n 2 (x)dx= 0 L { 1sin(2 q n x)+exp(2 q n x)+2exp( q n x)( sin( q n x)-cos( q n x) ) } dx= { x+ cos(2 q n x) 2 q n exp(2 q n x) 2 q n 2 exp( q n x) q n sin( q n x) } 0 L L

Para obtener el integrando, hay que integrar dos veces por partes exp(-qnx)·sin(qnx), y lo mismo, exp(-qnx)·cos (qnx).

Para calcular el valor aproximado de la integral, se ha despreciado los términos exp(-qnL) y exp(-2qnL) y por otra parte, cos(2qnL)=0.

Ejemplo:

Sea una barra de acero densidad ρ=7.8 g/cm3, módulo de Young Y=20.6·1010 N/m2

de dimensiones a=2.54 cm de ancho, b=0.76 mm de espesor y longitud L=20.3 cm.

El momento de inercia de la sección trasversal es

I=ab3/12=9.29·10-13 m4

La frecuencia del modo fundamental de vibración vale

f 1 =3.56 20.6· 10 10 ·9.29· 10 13 7800·0.0254·0.00076· 0.203 4 =3.56·27.36=97Hz

La frecuencia del segundo modo normal de vibración será

f2=9.82·27.36=269 Hz

y así, sucesivamente.

Se puede diseñar una experiencia que permita excitar un modo normal de vibración de la barra, medir la frecuencia con un osciloscopio, y calcular el módulo de Young de la barra. Previamente, se miden las dimensiones de la barra (longitud, anchura y espesor) con los instrumentos adecuados y se pesa en una balanza para determinar su densidad (masa/volumen).

Un extremo libre

Para encontrar los modos normales de vibración de una barra elástica con un extremo libre seguimos un procedimiento similar

  1. La solución general de la ecuación que describe las vibraciones de una barra es.

  2. ψ(x,t)=y(x)·sin(ωt)

  3. La solución de la ecuación diferencial, la amplitudy(x) de la vibración de los puntos x de la barra

  4. y(x)=A1sinh(qx)+A2·cosh(qx)+A3·sin(qx)+A4·cos(qx)

  5. Las condiciones de contorno cambian

  6. La barra está firmemente sujeta por su extremo izquierdo x=0, y la pendiente en este punto es dy/dx=0.

    dy dx =q( A 1 cosh(qx)+ A 2 sinh(qx)+ A 3 cos(qx) A 4 sin(qx) )

    0=A2+A4
    0=A1+A3

    En el extremos derecho libre x=L,y(L) y su pendiente dy/dt no son cero, pero el momento y la fuerza son cero, lo que implica que d2y/dx2=0 y d3y/dx3=0

    A1(sinh(qL)+sin(qL))+A2(cosh(qL)+cos(qL))=0
    A1
    (cosh(qL)+cos (qL))+A2(sinh(qL)-sin(qL))=0

    Eliminado A1 yA2 obtenemos una ecuación trascendente en qL

    cosh(qL)·cos (qL)=-1

    Las raíces rn=qn·L de esta ecuación se calculan por procedimientos numéricos, sus primeros valores son:

    rn=1.875, 4.693, 7.855, 10.996, …

    Conocido los valores posibles de qn se calculan las frecuencias de vibración ωn=2πfn

    f n = r n 2 2π YI ρab L 4 = C n YI ρab L 4

    Donde fn es la frecuencia del modo normal n de vibración y Cn es un número que corresponde a este modo. Sus primeros valores son:

    C1=0.56,C2=3.51,C3=9.82,C4=19.24, …

    El coeficiente Cn es independiente de las características de la barra y el segundo término, bajo la raíz, depende del material y de las dimensiones de la barra.

    La amplitud y(x) de los distintos puntos x de la barra en el modo normal de vibración n es:

    y n (x)=A{ ( sinh( q n x)sin( q n x) ) sinh( q n L)+sin( q n L) cosh( q n L)+cos( q n L) ( cosh( q n x)cos( q n x) ) }

    El valor de la constante de proporcionalidad A es la escala vertical. Para que todos los modos de vibración estén dibujados a la misma escala, se calcula A por procedimientos numéricos, de modo que

    0 L y n 2 (x)dx= cte

%barra elástica de longitud 1
f=@(x) cosh(x).*cos(x)+1;
x=linspace(1,10,30);
r=raices(f,x);
hold on
 for q=r
    g=@(x) (sinh(q*x)-sin(q*x))-(sinh(q)+sin(q))*(cosh(q*x)-cos(q*x))
/(cosh(q)+cos(q));
    h=@(x) g(x).^2;
    A=sqrt(integral(h,0,1));  
    x=linspace(0,1,100);
    plot(x, -g(x)/A, 'displayName',num2str(q^2/(2*pi)))
 end
 hold off
 grid on
 legend('-DynamicLegend','location','southwest')
 xlabel('x')
 ylabel('y')
 title('Modos de vibración de una barra')

r =    1.8751    4.6941    7.8548

Ejemplo:

Sea una barra de acero del ejemplo del apartado anterior

Densidad ρ=7.8 g/cm3, módulo de Young Y=20.6·1010 N/m2

de dimensiones a=2.54 cm de ancho, b=0.76 mm de espesor y longitud L=20.3 cm.

El momento de inercia de la sección trasversal es

I=ab3/12=9.29·10-13 m4

y así, sucesivamente.

Referencias

Wilson F., Lord A. E.,Young's modulus determination via simple, inexpensive static and dynamic measurements. Am. J. Phys. 41, May 1973, pp. 653-656.

Turvey K. An undergraduate experiment on the vibration of a cantilever and its application to the determination of Young's modulus. Am. J. Phys. 58 (5) May 1990, pp. 483-487