Solución particular. Variación de parámetros

Sea la ecuación diferencial

${\displaystyle a(t)\frac{d^{2}x}{d{t}^{{}^2}}+b(t)\frac{dx}{dt}+c(t)x=f(t)}$

Supongamos que x₁(t) y x₂(t) son soluciones linealmente indepndientes de la ecuación diferencial homogénea. Buscamos una solución particular de la forma

${\displaystyle x_p(t)=c_1(t)x_1(t)+c_2(t)x_2(t)}$

Calculamos la derivada primera

${\displaystyle \frac{d{x}_p}{dt}=\frac{d{c}_1}{dt}{x}_1+c_1\frac{d{x}_1}{dt}+\frac{d{c}_2}{dt}{x}_2+c_2\frac{d{x}_2}{dt}}$

Tenemos cuatro términos que reducimos a dos, imponiendo la condición de que

${\displaystyle \frac{d{c}_1}{dt}{x}_1+\frac{d{c}_2}{dt}{x}_2=0}$

Calculamos la derivada segunda con respecto de t

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d{x}_p}{dt}=c_1\frac{d{x}_1}{dt}+c_2\frac{d{x}_2}{dt}\\ \frac{d^2{x}_p}{d{t}^2}=c_1\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}+c_2\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}+\frac{d{c}_1}{dt}\frac{d{x}_1}{dt}+\frac{d{c}_2}{dt}\frac{d{x}_2}{dt}\end{array}}$

Introducimos la solución particular x_p(t) y sus derivadas en la ecuación diferencial

${\displaystyle \begin{array}{l}a\frac{d^2{x}_p}{d{t}^2}+b\frac{d{x}_p}{dt}+c{x}_p=f(t)\\ c_1\left(a\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}+b\frac{d{x}_1}{dt}+c{x}_1\right)+c_2\left(a\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}+b\frac{d{x}_2}{dt}+c{x}_2\right)\\ +a\left(\frac{d{c}_1}{dt}\frac{d{x}_1}{dt}+\frac{d{c}_2}{dt}\frac{d{x}_2}{dt}\right)=f(t)\end{array}}$

Como x₁(t) y x₂(t) son soluciones de la ecuación diferencial homogénea, los dos primeros términos son nulos, quedando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas dc₁/dt y dc₂/dt

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d{c}_1}{dt}{x}_1+\frac{d{c}_2}{dt}{x}_2=0\\ \frac{d{c}_1}{dt}\frac{d{x}_1}{dt}+\frac{d{c}_2}{dt}\frac{d{x}_2}{dt}=\frac{f(t)}{a(t)}\end{array}}$

Ejemplo

Sea la ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+x=\tan t0<t<\pi /2}$

La solución de la homogénea es, x=A·sint+B·cost

Para la solución particular probamos con la función x_p(t)=c₁(t)sint+c₂(t)cost

Donde c₁(t) y c₂(t) son funciones desconocidas, solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Sea x₁=sint y x₂=cost, el sistema de dos ecuaciones que tenemos que resolver es

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{d{c}_1}{dt}\sin t+\frac{d{c}_2}{dt}\cos t=0\\ \frac{d{c}_1}{dt}\cos t-\frac{d{c}_2}{dt}\sin t=\tan t\end{array}}$

Multiplicamos la primera por sint y la segunda por cost y sumamos

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d{c}_1}{dt}=\sin t\\ c_1=-\cos t\end{array}}$

Ya que buscamos la solución particular, aquí no precisamos de la constante de integración

Utilizamos la primera ecuación para calcular c₂(t)

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d{c}_1}{dt}\sin t+\frac{d{c}_2}{dt}\cos t=0\\ {\sin }^{2}t+\frac{d{c}_2}{dt}\cos t=0\\ \frac{d{c}_2}{dt}=\cos t-\frac{1}{\cos t}\\ c_2=\sin t-\ln \left(\tan t+\frac{1}{\cos t}\right)\end{array}}$

La integral de 1/cost está resuelta en la página Integrales

La solución particular x_p(t) es

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}_p(t)=-\cos t·\sin t+\left(\sin t-\ln \left(\tan t+\frac{1}{\cos t}\right)\right)\cos t\\ x_p(t)=-\ln \left(\tan t+\frac{1}{\cos t}\right)\cos t\end{array}}$

La solución completa de la ecuación diferencial es

${\displaystyle x(t)=C_1\sin t+C_2\cos t-\ln \left(\tan t+\frac{1}{\cos t}\right)\cos t}$

C₁ y C₂ se determinan a partir de las condiciones iniciales

>> syms t;
>> y=dsolve('D2x+x=tan(t)');
>> simplify(y)
ans = C1*cos(t) + C2*sin(t) - 2*atanh(tan(t/2))*cos(t)

La definición de arctanh(x) es

${\displaystyle \text{arctanh(x)=}\frac{1}{2}\text{ln}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}$

Comprobamos que 2·arctanh(tan(t/2)) es lo mismo que ln(tant+1/cost)

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan t+\frac{1}{\cos t}=\frac{2\sin (t/2)\cos (t/2)}{{\cos }^2(t/2)-{\sin }^2(t/2)}+\frac{1}{{\cos }^2(t/2)-{\sin }^2(t/2)}=\\ \frac{{\left(\cos (t/2)+\sin (t/2)\right)}^2}{{\cos }^2(t/2)-{\sin }^2(t/2)}=\frac{\cos (t/2)+\sin (t/2)}{\cos (t/2)-\sin (t/2)}=\frac{1+\tan (t/2)}{1-\tan (t/2)}\end{array}}$

Ecuación de Cauchy-Euler

La ecuación de Cauchy-Euler homogénea tiene la forma

${\displaystyle t^2\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+at\frac{dx}{dt}+bx=0}$

Probamos la siguiente solucción, x=t^m

Calculamos su derivada primera y segunda, las introduciomos en la ecuación diferencial

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=m{t}^{m-1}\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=m(m-1)t^{m-2}\end{array}}$

Obtenemos una ecuación de segundo grado en el exponente m

m(m-1)+am+b=0, o bien, m²+(a-1)m+b=0

Se dan tres casos

• Dos raíces reales y distintas

La solución de la ecuación diferencial es

${\displaystyle x=A{t}^{m_1}+B{t}^{m_2}}$

Ejemplo

${\displaystyle \begin{array}{l}{t}^2\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-2t\frac{dx}{dt}-4x=0\\ m^2-3m-4=0\{\begin{array}{l}{m}_1=-1\\ m_2=4\end{array}\\ x=A{t}^{-1}+B{t}^4\end{array}}$

• Dos raíces reales repetidas

La solución de la ecuación diferencial es

${\displaystyle x=A{t}^m\ln t+B{t}^m}$

>> dsolve('t^2*D2x-2*t*Dx-4*x')
ans =C1/(5*t) + C2*t^4

Ejemplo

${\displaystyle \begin{array}{l}{t}^2\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2t\frac{dx}{dt}+\frac{1}{4}x=0\\ m^2+m+\frac{1}{4}=0\{m=-\frac{1}{2}\\ x=t^{-1/2}\left(A\ln t+B\right)\end{array}}$

>> dsolve('t^2*D2x+2*t*Dx+x/4')
 ans =C4/t^(1/2) + (C3*log(t))/t^(1/2)

• Dos raíces complejas conjugadas, donde α es la parte real y β la imaginaria

La solución de la ecuación diferencial es

${\displaystyle x=A{t}^{\alpha }\cos \left(\beta \ln t\right)+B{t}^{\alpha }\sin \left(\beta \ln t\right)}$

Ejemplo

${\displaystyle \begin{array}{l}{t}^2\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-t\frac{dx}{dt}+5x=0\\ m^2-2m+5=0\{\begin{array}{l}{m}_1=1+2i\\ m_2=1-2i\end{array}\\ x=t\left(A\cos \left(2\ln t\right)+B\sin \left(2\ln t\right)\right)\end{array}}$

dsolve('t^2*D2x-t*Dx+5*x')
 ans =C6*t*cos(2*log(t)) + C5*t*sin(2*log(t))

Ecuación Euler-Cauchy no homogénea

Sea la ecuación diferencial

${\displaystyle t^2\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-t\frac{dx}{dt}-3x=2t^3}$

La solución de la ecuación diferencial homogénea es

${\displaystyle \begin{array}{l}{m}^2-2m-3=0\{\begin{array}{l}{m}_1=-1\\ m_2=3\end{array}\\ x_h=A{t}^{-1}+B{t}^3\end{array}}$

Utilizamos el procedimiento de variación de parámetros para encontrar la solución particular

${\displaystyle x_p(t)=c_1(t)x_1(t)+c_2(t)x_2(t)}$

Llamando x₁=t^-1 y x₂=t³, el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que tenemos que resolver es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d{c}_1}{dt}\left(\frac{1}{t}\right)+\frac{d{c}_2}{dt}{t}^3=0\\ \frac{d{c}_1}{dt}\left(-\frac{1}{t^2}\right)+\frac{d{c}_2}{dt}\left(3t^2\right)=\frac{2t^3}{t^2}\end{array}\}\frac{d{c}_2}{dt}=\frac{1}{2t}\frac{d{c}_1}{dt}=-\frac{1}{2}{t}^3}$

Integramos para obtener las expresiones de c₁ y c₂ y la solución particular x_p

${\displaystyle \begin{array}{l}{c}_2=\frac{1}{2}\ln t{c}_1=-\frac{1}{8}{t}^4\\ x_p=-\frac{t^3}{8}+\frac{t^3}{2}\ln t\end{array}}$

La solución completa x es la suma de la homogénea x_h y la particular x_p

${\displaystyle x=A\frac{1}{t}+B{t}^3+\frac{t^3}{2}\ln t}$

>> dsolve('t^2*D2x-t*Dx-3*x=2*t^3')
ans =t^3*(log(t)/2 + C7/(4*t^4)) + C8*t^3