Un cuerpo desliza sobre una cúpula semiesférica móvil

Principios de conservación

En la figura, observamos una partícula de masa m que se lanza desde el punto más alto θ=0 con velocidad inicial v0, desliza a lo largo de la cúpula sin rozamiento, en el instante t se ha desplazado θ y lleva una velocidad v

La cúpula de masa M y radio R desliza sobre el plano horizontal sin rozamiento. En el instante inicial t=0 está en reposo y en el instante t lleva una velocidad V

Conservación de la energía

La energía total se mantiene constante e igual a la inicial

1 2 m v 0 2 +mgR

En el instante t, la velocidad de la cúpula es V en la dirección horizontal, la velocidad relativa de la partícula respecto de la cúpula es v=R·dθ/dt, en la dirección tangencial. La velocidad de la partícula es la suma vectorial de estas dos velocidades. Las componentes de la velocidad V en la dirección tangencial y normal son, Vcosθ, Vsinθ, tal como se aprecia en la figura. La energía cinética de la partícula es

1 2 m{ ( R dθ dt +Vcosθ ) 2 + V 2 sin 2 θ }= 1 2 m( R 2 ( dθ dt ) 2 + V 2 +2VR dθ dt cosθ )

La energía potencial de la partícula es mgRcosθ

La energía cinética de la cúpula es MV2/2

Igualamos la energía inicial a la energía del sistema en el instante t

1 2 m v 0 2 +mgR= 1 2 m( R 2 ( dθ dt ) 2 + V 2 +2VR dθ dt cosθ )+ 1 2 M V 2 +mgRcosθ 1 2 m v 0 2 +mgR( 1cosθ )= 1 2 m R 2 ( dθ dt ) 2 +mVR dθ dt cosθ+ 1 2 ( m+M ) V 2

Conservación del momento lineal

El peso y la reacción del plano horizontal sobre el que desliza la cúpula son las fuerzas externas que actúan sobre el sistema formado por el cúpula semiesférica y la partícula. No hay fuerzas externas en la dirección horizontal por lo que el momento lineal en esta dirección, se conserva

m v 0 =MV+m( R dθ dt cosθ+V )

(dθ/dt)cosθ es la componente horizontal de la velocidad relativa de la partícula. Véase la primera figura

En este sistema de dos ecuaciones eliminamos la velocidad de la cúpula V y despejamos la velocidad relativa R·dθ/dt de la partícula

M m+M v 0 2 +2gR( 1cosθ )= R 2 ( dθ dt ) 2 ( 1 m m+M cos 2 θ )

Ecuaciones del movimiento

Ecuaciones del movimiento de la partícula

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son

La partícula describe un movimiento circular con aceleraciones relativas

A estas aceleraciones hay que sumarle vectorialmente la aceleración a de la cúpula

Ecuación del movimiento de la cúpula

La fuerza que ejerce la partícula sobre la cúpula es N pero de sentido contrario. La ecuación del movimiento de la cúpula es

Ma=Nsinθ

Sustituimos N en la segunda ecuación del movimiento de la partícula. En el sistema de dos ecuaciones

{ R d 2 θ d t 2 +acosθ=gsinθ m( ( dθ dt ) 2 Rasinθ )=mgcosθ+ Ma sinθ

Eliminamos la aceleración a de la cúpula

R d 2 θ d t 2 + mR ( dθ dt ) 2 mgcosθ msinθ+ M sinθ cosθ=gsinθ ( msinθ+ M sinθ )R d 2 θ d t 2 +mR ( dθ dt ) 2 cosθmg cos 2 θ=mg sin 2 θ+Mg ( m sin 2 θ+M )R d 2 θ d t 2 +mR ( dθ dt ) 2 cosθ·sinθ(m+M)gsinθ=0 ( m+Mm cos 2 θ )R d 2 θ d t 2 +mR ( dθ dt ) 2 cosθ·sinθ(m+M)gsinθ=0 ( 1 m m+M cos 2 θ )R d 2 θ d t 2 + m m+M R ( dθ dt ) 2 cosθ·sinθgsinθ=0

Resolveremos esta ecuación del movimiento mediante procedimientos numéricos, sabiendo que en el instante t=0, la partícula parte de la posición θ=0, con velocidad inicial v0. La partícula permanece en contacto con la cúpula mientras la reacción N>0, hasta un ángulo límite θc en el que N=0, que calcularemos en el siguiente apartado

Angulo límite, N=0

Eliminamos la aceleración a de la cúpula en las dos últimas ecuaciones del movimiento (de la partícula y la cúpula) y despejamos la reacción N

N= mgcosθmR ( dθ dt ) 2 1+ m M sin 2 θ

El ángulo límite θc es aquél en el que la partícula deja de estar en contacto con la cúpula, N=0. El numerador es nulo

R ( dθ dt ) 2 =gcosθ

Del principio de conservación del momento lineal y de la energía, hemos obtenido la velocidad relativa R·dθ/dt de la partícula

M m+M v 0 2 +2gR( 1cosθ )=gRcosθ( 1 m m+M cos 2 θ ) m m+M cos 3 θ3cosθ+2+ M m+M v 0 2 gR =0 μ μ+1 cos 3 θ3cosθ+2+2 1 μ+1 ε=0,ε= 1 2 m v 0 2 mgR ,μ= m M

El número adimensional ε es el cociente entre la energía cinética y la potencial inicial en el instante t=0

El ángulo buscado cosθc es una de las tres raíces de la ecuación cúbica

El máximo valor de cosθ=1, se alcanza para el valor εm=1/2, como se demuestra a continuación

μ μ+1 3+2+2 1 μ+1 ε m =0 1 μ+1 +2 1 μ+1 ε m =0 1 μ+1 ( 2 ε m 1 )=0, ε m = 1 2

que es el mismo valor que se obtiene para la cúpula fija. La máxima velocidad inicial es independiente de las masas de la partícula m y de la cúpula M

Cuando la masa de la cúpula es muy grande M→∞, cúpula fija

cos θ c = 2 3 ( 1+ε )= 2 3 + 1 3 v 0 2 gR

Cuando la velocidad inicial v0=0, obtenemos cosθ=2/3, θ≈48.2°

Sea una partícula de masa m que desliza sin rozamiento sobre una cúpula de masa M tal que μ=m/M=0.1, la velocidad inicial de la partícula v0 es tal que ε=1/3. Calculamos las raíces de la ecuación cúbica utilizando la función raices_3. Comprobamos que cosθc es la tercera raíz positiva menor que la unidad.

function cupula_1
    m=0.1; %cociente m/M
    epsilon=1/3; %energía adimensional
    p=[m/(1+m),0,-3, 2+2*epsilon/(m+1)]*(1+m)/m; %ecuación tercer grado
    rr=raices_3(p);
    disp(rr) %las tres raíces
    disp(acosd(rr(3))) %ángulo límite

    function x = raices_3(p)
        Q=(p(2)*p(2)-3*p(3))/9;
        R=(2*p(2)^3-9*p(2)*p(3)+27*p(4))/54;
        x=zeros(3,1); %reserva memoria para un vector de tres elementos
        if (R*R)<(Q^3)
            tetha=acos(R/sqrt(Q^3));
            x(1)=-2*sqrt(Q)*cos(tetha/3)-p(2)/3;
            x(2)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha+2*pi)/3)-p(2)/3;
            x(3)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha-2*pi)/3)-p(2)/3;
        else
            A=-sign(R)*nthroot(abs(R)+sqrt(R*R-Q^3),3);
            if A==0
                B=0;
            else
                B=Q/A;
            end
            x(1)=(A+B)-p(2)/3;
            x(2)=-(A+B)/2-p(2)/3+(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1); %mejor que i
            x(3)=-(A+B)/2-p(2)/3-(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1);
        end
    end
end

La tercera raíz es la única válida. El ángulo límite en grados es th_c=acosd(rr(3));, θc=27.1200°

   -6.1376
    5.2476
    0.8901

Sea la ecuación cúbica en x=cosθ

x 3 +a x 2 +bx+c=0 a=0,b=3 μ+1 μ ,c=2 μ+1+ε μ Q= μ+1 μ ,R= μ+1+ε μ

Comprobamos que R2<Q3, sabiendo que ε<1/2. La tercera raíz es

x 3 =2 Q cos( θ2π 3 ) a 3 ,θ=arccos( R Q 3 ) x 3 =2 μ+1 μ cos( θ2π 3 ),θ=arccos( ( μ+1+ε ) μ ( μ+1 ) μ+1 )

El código para calcular el ángulo límite se simplifica

m=0.1; %cociente m/M
epsilon=1/3; %energía adimensional
th=acos((m+1+epsilon)*sqrt(m)/((m+1)*sqrt(m+1)));
r3=-2*sqrt((m+1)/m)*cos((th-2*pi)/3);
th_c=acosd(r3);
disp(th_c)
 27.1200

Representamos, el ángulo límite θc (en grados) en función de μ=m/M para tres valores de ε=0, 1/4, 1/3

m=linspace(0.01,10,200);
hold on
th_c=zeros(1,length(mm));
for epsilon=[0,1/4,1/3]
    th=acos((m+1+epsilon).*sqrt(m)./((m+1).*sqrt(m+1)));
    r3=-2*sqrt((m+1)./m).*cos((th-2*pi)/3);
    th_c=acosd(r3); %ángulo límite
    plot(m,th_c)
end
hold off
grid on
xlabel('m/M')
legend('0','1/4','1/3','Location','best')
ylabel('\theta_c')
title('Angulo límite, N=0')

Ecuaciones de Lagrange

La lagrangiana y las ecuaciones del movimiento

L= E k E p = 1 2 (m+M) ( dx dt ) 2 + 1 2 m R 2 ( dθ dt ) 2 +mRcosθ dx dt dθ dt mgRcosθ d dt ( L x ˙ ) L x =0 d dt ( (m+M)( dx dt )+mRcosθ dθ dt )=0

Hay una cantidad que se mantiene constante e igual a su valor inicial, el momento lineal horizontal, mv0

(m+M)( dx dt )+mRcosθ dθ dt =m v 0

La segunda ecuación del movimiento es

d dt ( L θ ˙ ) L θ =0 d dt ( R 2 dθ dt +Rcosθ dx dt )+Rsinθ dx dt dθ dt gRsinθ=0 R d 2 θ d t 2 +cosθ d 2 x d t 2 gsinθ=0

que es la ecuación del movimiento en la dirección tangencial que hemos deducido anteriormente

Derivamos la primera ecuación respecto del tiempo

(m+M) d 2 x d t 2 +mRcosθ d 2 θ d t 2 mRsinθ ( dθ dt ) 2 =0

y con la segunda, eliminamos la aceleración de la cúpula

R( 1 m m+M cos 2 θ ) d 2 θ d t 2 + m m+M sinθcosθ ( dθ dt ) 2 gsinθ=0

Obteniendo la misma ecuación diferencial que aplicando la Segunda Ley de Newton

Movimiento de los cuerpos

En este apartado describimos las distintas etapas del movimiento de la cúpula y la partícula

Movimiento relativo de la partícula

Resolvemos la ecuación diferencial por el procedimiento ode45 de MATLAB para una cúpula de radio R=1 m. El cociente de m/M=0.2, entre la masa de la partícula y de la cúpula. La partícula parte de la posición θ=0, más alta, con velocidad inicial dada por el parámetrro adimensional ε=1/10

ε= m v 0 2 2mgR , ( dθ dt ) t=0 = v 0 R = 2ε g R

Representamos la posición de la partícula θ que desliza sobre la cúpula mientras están en contacto N>0. Marcamos con un punto de color rojo, la posición final N=0.

function cupula_3    
    R=1; %radio
    m=0.2; %cociente m/M
    epsilon=1/10; %energía adimensional
    th=acos((m+1+epsilon)*sqrt(m)/((m+1)*sqrt(m+1)));
    r3=-2*sqrt((m+1)/m)*cos((th-2*pi)/3);
    th_c=acos(r3); %ángulo límite
    disp(th_c*180/pi)
    
    v0=sqrt(2*epsilon*9.8*R); %velocidad inicial
    f=@(t,x) [x(2);(9.8*sin(x(1))-m*sin(x(1))*cos(x(1))*x(2)^2/(m+1))/
(R*(1-m*cos(x(1))^2/(m+1)))]; 
    opts=odeset('events',@(t,x) stop_cupula(t,x,th_c));
    [t,x]=ode45(f,[0,100],[0,v0/R],opts);
    %conservación de la energía, velocidad relativa final de la partícula
    v=sqrt((v0^2/(1+m)+2*9.8*R*(1-cos(th_c)))/(1-cos(th_c)^2*m/(1+m))); 
    disp([v,x(end,2)]) 
    disp(t(end)) %tiempo final
    hold on
    plot(t,x(:,1)*180/pi)
    plot(t(end),x(end,1)*180/pi,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
    line([t(end),t(end)],[0,x(end,1)*180/pi],'lineStyle','--')
    line([0,t(end)],[x(end,1)*180/pi,x(end,1)*180/pi],'lineStyle','--')
    hold off
    grid on
    xlabel('t')
    ylabel('\theta')
    title('Cúpula semiesférica móvil')
%añadir aquí el código para representar la posición y velocidad de la cúpula

    function [value,isterminal,direction]=stop_cupula(~,x,xFin)
        value=x(1)-xFin; 
        isterminal=1;
        direction=1; 
    end
end

El ángulo límite es θc=41.8° la posición angular final de la partícula sobre la cúpula se alcanza en el instante tc=0.3985 s. Comprobamos que el procedimiento numérico ode45 produce buenos resultados comparando la velocidad relativa final de la partícula x(end,2)=2.7031 con la que se obtiene aplicando el principio de conservación de la energía, v=2.7024

   41.8225
    2.7024    2.7031
    0.3985

Movimiento de la cúpula

No es necesario resolver la ecuación diferencial en x para calcular la posición del centro de la cúpula. La conservación del momento lineal en la dirección horizontal es equivalente a decir que el centro de masas se mueve con velcidad constante igual a la velocidad inicial. La posición inicial del centro de masas es el origen, x=0, θ=0

x cm = Mx+m( x+Rsinθ ) m+M v cm = m v 0 m+M x cm = v cm t

Despejamos x, la posición del centro de la cúpula

x= m m+M ( v 0 tRsinθ )

Añadimos esta porción de código, para representar la posición del centro de la cúpula x en función del tiempo

De modo similar, la velocidad de la cúpula es

...
     figure
     xc=m*(v0*t-R*sin(x(:,1)))/(1+m);
     plot(t,xc)
     grid on
     xlabel('t')
     ylabel('x')
     title('Cúpula semiesférica móvil')

La cúpula se mueve hacia la izquierda, alrededor de 1.8 cm

De modo similar, la velocidad de la cúpula es

v cm = MV+m( R dθ dt cosθ+V ) m+M = m v 0 m+M V= m m+M ( v 0 R dθ dt cosθ )

Añadimos esta porción de código, para representar la velocidad del centro de la cúpula V en función del tiempo

...
     figure
     V=m*(v0-R*cos(x(:,1)).*x(:,2))/(1+m);
     plot(t,V)
     grid on
     xlabel('t')
     ylabel('V')
     title('Cúpula semiesférica móvil')

La velocidad final de la cúpula es de alrededor de 10 cm/s hacia la izquierda

Cuando la partícula deja de estar en contacto con la cúpula, describe un movimiento parabólico, tal como se explica en la página titulada Movimiento sobre una cúpula semiesférica. La cúpula sigue un movimiento rectilíneo con velocidad constante

Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad

La trayectoria parabólica comienza cuando la reacción N=0, la posición relativa de la partícula es el ángulo límite θc habiendo empleando un tiempo tc en alcanzarla.

Para describir el movimiento bajo la acción constante de la gravedad precisamos de la posición inicial (xc, yc) y de la velocidad inicial (vcx, vcy)

{ x c = m m+M ( v 0 t c Rsin θ c )+Rsin θ c = m m+M v 0 t c + M m+M Rsin θ c y c =Rcos θ c

Aplicando el principio de conservación de la energía, calculamos el módulo de la velocidad relativa de la partícula (dθ/dt)c en el instante tc

M m+M v 0 2 +2gR( 1cos θ c )= R 2 ( dθ dt ) c 2 ( 1 m m+M cos 2 θ c )

Las componentes de la velocidad inicial son

{ v cx =V+R dθ dt cosθ= m m+M v 0 + M m+M R ( dθ dt ) c cos θ c v cy =R ( dθ dt ) c sin θ c

La ecuación de la trayectoria, es

{ x= x c + v cx t y= y c + v cy t 1 2 g t 2

Se empieza a contar el tiempo cuando la partícula sale de la cúpula. La partícula impacta en el plano horizontal y=0, en el instante tf.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Cuando la energía ε=0, la velocidad inicial v0=0, la partícula permence en la posición de equilibrio inestable θ=0. El programa interactivo sustituye ε=0 por ε=0.0001. Del mismo modo, sustituye ε=0.5 (el ángulo límite, θc=0), por ε=0.49

En la parte superior derecha, se proporcionan los siguientes datos


Referencias

Roberto A Lineros. Sliding down over a horizontally moving semi-sphere. Eur. J. Phys. 43 (2022) 035004