Medida del índice adiabático de un gas (II)

El procedimiento de Rüchardt se emplea en los laboratorios de Física para medir el cociente γ=c_p/c_v de los calores específicos del aire.

Una bola de metal de masa m, se libera en el extremo libre de un tubo de vidrio de radio r que se conecta a un gran recipiente de aire de volumen V. La bola experimenta oscilaciones amortiguadas. Si las variaciones de presión y volumen se consideran adiabáticas, el periodo P de las oscilaciones es

$P^{2} = \frac{4 m V}{p_{0} r^{4} γ}$

donde p₀ es la presión atmosférica. La diferencia entre la presión de equilibrio $p_{0} = p_{a t m} + \frac{m g}{π r^{2}}$ y la presión atmosférica p_atm=101300. es tan sólo de de 805 Pa.

La modificación de Rinkel nos da el desplazamiento vertical h de la bola, es decir, el doble de la amplitud de la oscilación

$h = \frac{2 m g V}{p_{0} π^{2} r^{4} γ}$

Midiendo el periodo P o el máximo desplazamiento de la bola h, obtenemos el índice adiabático del gas considerado. Ahora bien, se puede mejorar el experimento, si se mide el periodo P y la longitud de caída h de la bola en función del volumen V de aire.

El volumen de aire se puede cambiar poniendo agua en el recipiente. El volumen de aire V será igual a la diferencia entre el volumen del recipiente V₀ y el volumen de agua V_a introducida.

Las dos expresiones anteriores se convierten en

$P^{2} = \frac{4 m}{p_{0} r^{4} γ} (V_{0} - V_{a}) h = \frac{2 m g}{p_{0} π^{2} r^{4} γ} (V_{0} - V_{a})$

Representando gráficamente P² o h en función del volumen de agua V_a obtenemos una línea recta, cuya pendiente nos permite calcular el índice adiabático γ del aire y cuya intersección con el eje de las ordenadas, el volumen V₀ del recipiente.

Actividades

Se introduce

El tipo de gas que llena el recipiente, eligiéndolo en el control de selección titulado Gases.
El radio de la bola está fijado en el programa interactivo en r=8 mm=0.008 m
La bola es de acero (densidad 7700 kg/m³) y su masa es de m=0.0165 kg
La presión atmosférica p₀=101300 Pa

Ejemplo

Elegimos el gas Argon. Vamos cambiando el volumen del recipiente V_a, medimos el máximo desplazamiento de la bola h y el periodo P de la oscilación

Se pulsa el botón titulado Nuevo. Se utiliza los botones pausa || y paso a paso >| para medir h y el periodo de la oscilación

V_a(l)	1	2	3	4	5	6	7	8
h(cm)	43.8	39.0	34.1	29.2	24.4	19.5	14.6	9.7
P(s)	0.935	0.880	0.825	0.765	0.695	0.620	0.540	0.440

Primera experiencia

En el eje horizontal se representa el volumen V_a de agua en litros
En el eje vertical la altura de caída h en cm

Va=1:8; %volumen de agua
h=[43.8,39,34.1,29.2,24.4,19.5,14.6,9.7]; %máximo desplazamiento
plot(Va,h,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
xlabel('V_a (l)')
ylabel('h (cm)')
title('alturas')
grid on

En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, pulsamos la flecha hacia la derecha --> para mostrar los coeficientes p1 y p2 del polinomio (recta) y=p1*x+p2 de ajuste. La pendiente p₁=-4.8726

Como el eje horizontal está en litros 0.001 m³ y el eje vertical en cm, 0.01 m. La pendiente de la recta de la figura en unidades m^-2 es

-4.8726/0.1=-48.726 m^-2.

$\frac{2 m g}{p_{0} π^{2} r^{4} γ} \frac{2 \cdot 0.0165 \cdot 9.8}{101300 \cdot π^{2} {0.008}^{4} γ} = 48.726 γ = 1.62$

En la parte derecha, disponemos de un manómetro, para medir la presión cuando la bola se encuentra en la posición de máximo desplazamiento.

Como ya se ha explicado, se produce una transformación adiabática entre el estado inicial (p₀, V), y el estado final (p, V-πr²x). Si consideramos que la disminución del volumen πr²xcuando la bola se desplaza x, es muy pequeño en comparación con V=V₀-V_a.

La diferencia de presión p-p₀ entre le gas contenido en el recipiente y la presión atmosférica es

$p - p_{0} \approx γ \frac{p_{0} π r^{2}}{V_{0} - V_{a}} x$

Cuando la bola se ha desplazado x=h, la diferencia de presión es

$p - p_{0} \approx γ \frac{p_{0} π r^{2}}{(V_{0} - V_{a})} \frac{2 m g}{p_{0} π r^{4} γ} (V_{0} - V_{a}) = \frac{2 m g}{π r^{2}} = \frac{2 \cdot 0.0165 \cdot 9.8}{π \cdot {0.008}^{2}} = 1608 Pa$

es constante e independiente del tipo de gas y del volumen V₀-V_a del recipiente que lo contiene. La diferencia de presión corresponde a 1608=1000·9.8·(2x) a un desnivel 2·8.2 cm entre las dos ramas del manómetro de agua.

Cuando la bola pasa por la posición de equilibrio h/2=0.17 cm, la diferencia de presión es la mitad del valor anterior.

Como vemos el manómetro no nos suministra información acerca del tipo de gas que experimenta la transformación adiabática, solamente nos da información acerca de la masa y radio de la bola que dejamos caer en un tubo de igual radio.

Segunda experiencia

En el eje horizontal se representa el volumen V_a de agua en litros
En el eje vertical el cuadrado P² del periodo de una oscilación

La pendiente de la recta determina el índice adiabático γ del gas seleccionado

Va=1:8; %volumen de agua
P=[0.935,0.880,0.825,0.765,0.695,0.620,0.540,0.440]; %periodo
plot(Va,P.^2,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
xlim([0,10])
xlabel('V_a (l)')
ylabel('P^2 (s^2)')
title('periodos')
grid on

Como el eje horizontal esta en litros 0.001 m³.La pendiente de la recta de la figura es

-0.097253/0.001=-97.253 s²/m³

$\frac{4 m}{p_{0} r^{4} γ} \frac{4 \cdot 0.0165}{101300 \cdot {0.008}^{4} γ} = 97.253 γ = 1.636$

Volumen agua Gases:

Referencias

Deacon C, Whitehead J. Determination of the ratio of the principal specific heats for air. Am. J. Phys. 60 (9) September 1992. pp, 859-860.

Zemansky M. W. Calor y temperatura. Editorial Aguilar (1973), págs. 130-133