Bomba de inflar neumáticos

En la situación inicial, el neumático deshinchado contiene n0 moles de aire a la presión atmosférica P0 y a la temperatura ambiente, T0. La ecuación de los gases ideales se escribe, P0Vt=n0R·T0. Siendo R=8.3143 J/(K·mol), la constante de los gases

Etapas del ciclo de inflado

Representamos el neumático por un depósito de volumen Vt que tiene una válvula B que impide que el aire a presión Pt salga del neumático. La bomba se representa por un cilindro con un émbolo E en su interior unido a una varilla que se puede mover hacia la izquierda o derecha empujando por su extremo libre

Para un gas diatómico los calores específicos cv=5R/2 (volumen constante) y cp=7R/2 (presión constante). El indice adiabático, γ=cp/cv=7/5

  1. Se llena la bomba de aire, moviendo el émbolo E hacia la izquierda

  2. El émbolo tiene una valvula A que se abre cuando se mueve hacia la izquierda para que el aire a la presión atmosférica P0 y temperatura ambiente T0 entre en el volumen Vp de la bomba

    El número de moles np de aire que contiene en la posición de partida (el émbolo en el extremo derecho), P0Vp=npR·T0. Su energía interna es

    U 0 = 5 2 n p R T 0 = 5 2 P 0 V p

  3. Se cierra la válvula A cuando el émbolo se mueve hacia la izquierda y el aire se comprime adiabáticamente, disminuyendo el volumen V y aumentando la presión P

  4. P 0 V p γ =P V γ

  5. A medida que el émbolo se desplaza, la presión se incrementa hasta que alcanza el valor de la presión del neumátco Pt. En esa posición la válvula B del neumático se abre. El volumen V de aire en la bomba y su temperatura T son, respectivamente

  6. V= V p ( P 0 P t ) 5/7 T= P t V n p R = T 0 P 0 V p P t V p ( P 0 P n ) 5/7 = T 0 ( P t P 0 ) 2/7

    El trabajo realizado para comprimir el gas adiabáticamente se transforma en energía interna

    W 1 = 5 2 n p R(T T 0 )= 5 2 P 0 V p ( ( P t P 0 ) 2/7 1 )

  7. Con la válvula B abierta, el émbolo empuja el aire y lo introduce en el neumático. Supondremos que este proceso se realiza a presión constante Pt, siempre que el volumen Vp de la bomba sea mucho menor que el volumen Vt del neumático

  8. El trabajo que tenemos que hacer a presión constante Pt es

    W 2 = P t V= P 0 V p ( P t P 0 ) 2/7

  9. Cuando el émbolo llega a la posición final, el aire contenido en el volumen Vp de la bomba a presión atmósférica P0 y temperatura ambiente T0, se ha introducido en el neumático, incrementado su energía interna y dando lugar a un incremento de presión de Pt a P't

  10. La energía de los np moles de aire que se transfieren al neumático es igual a suma de la energía interna inicial, U0, del incremento de energía interna debido a la transformación adiabática, W1 y al trabajo a presión constante W2

    U p = U 0 + W 1 + W 2 = 5 2 P 0 V p + 5 2 P 0 V p ( ( P t P 0 ) 2/7 1 )+ P 0 V p ( P t P 0 ) 2/7 = 7 2 P 0 5/7 P t 2/7 V p

    La variación de energía interna del aire en el neumático es

    5 2 P ' t V t 5 2 P t V t = 7 2 P 0 5/7 P t 2/7 V p P ' t = P t + 7 5 P 0 5/7 P t 2/7 V p V t

Esta es la fórmula del incremento de presión en el neumático en un ciclo. Se repite muchas veces hasta que se alcanza la presión final deseada en el neumático

Aproximación analítica

Cuando la variación ΔPt=P't-Pt de presión es pequeña

Δ P t = 7 5 P 0 5/7 P t 2/7 V p V t d P t P t 2/7 = 7 5 P 0 5/7 V p V t dn P 0 P dP P t 2/7 = 7 5 P 0 5/7 V p V t 0 n dn P t 5/7 = P 0 5/7 ( 1+ V p V t n ) P t P 0 = ( 1+ V p V t n ) 7/5

Ejemplo

Vt=0.1; %100 litros, neumático
Vp=0.001; % 1 litro, bomba
P0=101293; %presión atmosférica en Pa

Pt=zeros(1,20);
Pt(1)=P0;
for i=2:20
    Pt(i)=Pt(i-1)+7*P0^(5/7)*Pt(i-1)^(2/7)*Vp/(5*Vt); 
end
hold on
plot(1:20,Pt/P0,'o','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
f=@(n) (1+Vp*(n-1)/Vt).^(7/5);
fplot(f,[1,20])
hold off
xlabel('n')
ylabel('P_t/P_0')
grid on
title('Presión del neumático')

Vemos que la relación de recurrencia y la fórmula analítica aproximada coinciden

Estado final

Despues de N ciclos, la presión máxima del aire contenido en el neumático es Pm. El número de moles de aire nt en el neumático es

n t = P 0 V t R T 0 +N P 0 V p R T 0 = P 0 R T 0 ( V t +N V p )

La temperatura Tm es

T m = P m V t n t R = P m P 0 V t ( V t +N V p ) T 0

Trabajo realizado

La energía interna del neumático es

U m = 5 2 P m V t

La energía interna inicial del neumático es

U t = 5 2 P 0 V t

La energía interna de los N·np moles de aire que se inyectan en el neumático

U p =N 5 2 P 0 V p

El trabajo realizado para incrementar la presión del neumático es la diferencia

W= 5 2 ( P m V t P 0 V t N P 0 V p )

Ejemplo

Los resultados son

Vt=0.1; %100 litros, neumático
Vp=0.001; % 1 litro, bomba
P0=101293; %presión atmosférica en Pa
T0=25+273; %temperatura ambiente
Pt=P0;
W=0;
N=10;
for i=1:N
    W=W+5*P0*Vp*((Pt/P0)^(2/7)-1)/2+P0*Vp*(Pt/P0)^(2/7); %trabajo
    Pt=Pt+7*P0^(5/7)*Pt^(2/7)*Vp/(5*Vt); 
end
Tm=Pt*Vt*T0/(P0*(Vt+N*Vp)); %temperatura final
fprintf('presión (atm), %1.3f, temperatura ºC), %2.1f, trabajo (J),
 %4.1f\n', Pt/P0,Tm-273, W)
presión (atm), 1.142, temperatura ºC), 36.5, trabajo (J), 1075.5
>> 5*(Pt*Vt-P0*Vt-N*P0*Vp)/2 %trabajo total
ans =   1.0755e+03

El neumático se enfría

El estado final del aire contenido en el volumen Vt del neumático está caracterizado por su presión Pm y su temperatura Tm. Cuando se retira la bomba de inflar el neumático se enfría hasta alcanza la temperatura ambiente T0, su presión disminuye.

Supondremos que la temperatura del aire contenido en el neumático disminuye exponencialmente con el tiempo, ley del enfriamiento de Newton

d T d t = k ( T T 0 )

Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la temperatura del cuerpo es Tm.

T m T dT T T 0 =k 0 t dt T= T 0 +( T m T 0 )exp(kt)

La presión final Pf cuando el neumático se ha enfriado es algo menor que la presión máxima Pm

{ P f V t = n t R T 0 P m V t = n t R T m P f = P m T 0 T m

Actividades

El programa interactivo ha fijado

Se pulsa el botón titulado Nuevo y a continuación Empieza . Observamos el movimiento del émbolo comprimiendo el aire y introduciéndolo en el neumático a presión constante. Pulsamos otra vez el botón para repetir otro ciclo y así, sucesivamente

En la parte superior, el manómetro de la izquierda nos proporciona la presión del aire en la bomba de inflar y la temperatura del aire comprimido

Un segmento vertical de color rojo, nos indica la posición del émbolo para la cual la presión del aire en la bomba se iguala a la presión del aire en el neumático. A partir de esa posición, la válvula del neumático se abre y el aire pasa de la bomba al neumático empujada por el émbolo sin cambiar de presión

En la parte derecha, un manómetro mide la presión del aire en el neumático y un termómetro la temperatura en grados centígrados.

En la parte inferior, se representa la presión final del aire contenido del neumático cada ciclo

En la parte superior iqzuierda, se proporciona el dato del trabajo realizado, para elevar la presión del neumático, cada vez que se acciona la bomba

Cuando se ha inflado el neumático hasta la presión deseada, se pulsa el botón titulado Retira, se desconecta la bomba y el neumático se enfría hasta alcanzar la temperatura ambiente, disminuyendo ligeramente la presión

Referencias

Kirk T. McDonald. Thermodynamics of a Tire Pump. Princeton University, 2008. https://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/tirepump.pdf