Un gas se expande adiabáticamente

Consideremos n moles de un gas ideal monoatómico encerrado entre dos émbolos de sección A y de masa M. Los émbolos pueden deslizar sin rozamiento alguno una vez liberados. Inicialmente, el gas está a la temperatura T₀ y los émbolos están separados una distancia L₀. Se liberan los pistones y queremos determinar en el instante t, temperatura T del gas, la velocidad v de los émbolos y la distancia L entre los mismos.

La energía interna inicial del gas ideal monoatómico es U=n·c_v·T₀

En el instante t, la energía del sistema es la suma de la energía cinética de los émbolos, y la energía interna del gas ideal a la temperatura T<T₀

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} M v_{1}^{2} + \frac{1}{2} M v_{2}^{2} + n c_{v} T = n c_{v} T_{0} \\ v_{1} = - v_{2} = v \\ v = \sqrt{c_{v} \frac{n}{M} (T_{0} - T)} \end{array}$

Como la velocidad de un émbolo v=d(L/2)/dt, tenemos que

$\frac{d L}{d t} = 2 \sqrt{c_{v} \frac{n}{M} (T_{0} - T)}$

Si el gas experimenta una transformación adiabática, se cumple p·V^γ=cte, o bien

$\begin{array}{l} \frac{n R T}{V} V^{γ} = cte T V^{γ - 1} = cte \\ T_{0} V_{0}^{γ - 1} = T V^{γ - 1} \end{array}$

El recipiente tiene sección constante A.

$T_{0} L_{0}^{γ - 1} = T L^{γ - 1}$

Para obtener como cambia la separación L entre émbolos o la temperatura T del gas con el tiempo t, derivamos esta última ecuación de la transformación adiabática respecto del tiempo.

$L^{γ - 1} \frac{d T}{d t} + T (γ - 1) L^{γ - 2} \frac{d L}{d t} = 0$

Expresamos esta ecuación en términos de la temperatura T, empleando la transformación adiabática

$\frac{T_{0} L_{0}^{γ - 1}}{T} \frac{d T}{d t} + T (γ - 1) {(\frac{T_{0} L_{0}^{γ - 1}}{T})}^{(γ - 2) / (γ - 1)} \frac{d L}{d t} = 0$

Introduciendo la expresión de la velocidad v del émbolo

$\frac{T_{0} L_{0}^{γ - 1}}{T} \frac{d T}{d t} + T (γ - 1) {(\frac{T_{0} L_{0}^{γ - 1}}{T})}^{(γ - 2) / (γ - 1)} 2 \sqrt{c_{v} \frac{n}{M} (T_{0} - T)} = 0$

Para un gas monoatómico, c_v=3R/2 y γ=c_p/c_v=5/3

Nos queda una ecuación diferencial en T, que simplificamos para prepararla para su posterior integración

$\begin{array}{l} \frac{d T}{T^{5 / 2} \sqrt{T_{0} - T}} = - 2 \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{\frac{n R}{M}} \frac{1}{T_{0}^{3 / 2} L_{0}} d t \\ \int_{T_{0}}^{T} \frac{d T}{T^{5 / 2} \sqrt{T_{0} - T}} = - 2 \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{\frac{n R}{M}} \frac{1}{T_{0}^{3 / 2} L_{0}} \int_{0}^{t} d t \end{array}$

Llamamos u=T/T₀

$\frac{d u}{u^{5 / 2} \sqrt{1 - u}} = - 2 \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{\frac{n R}{M}} \frac{\sqrt{T_{0}}}{L_{0}} t$

Hacemos el cambio de variable u=sin²x

$\int \frac{d x}{\sin^{4} x}$

Hacemos el cambio z=cotx, 1+z²=1/sin²x, dz=-(1+z²)dx

$- \int (1 + z^{2}) d z = - z - \frac{z^{3}}{3}$

Deshacemos los cambios

$- {(\frac{1 - u}{u})}^{1 / 2} - \frac{1}{3} {(\frac{1 - u}{u})}^{3 / 2}$

Calculamos la temperatura reducida u=T/T₀ en función del tiempo t

$\begin{array}{l} {(\frac{1 - u}{u})}^{1 / 2} + \frac{1}{3} {(\frac{1 - u}{u})}^{3 / 2} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{\frac{n R}{M}} \frac{\sqrt{T_{0}}}{L_{0}} t \\ 3 {(\frac{1 - u}{u})}^{1 / 2} + {(\frac{1 - u}{u})}^{3 / 2} = \frac{\sqrt{6}}{L_{0}} \sqrt{\frac{n R T_{0}}{M}} t \end{array}$

Escribiendo z²=(1-u)/u, resolvemos la ecuación cúbica, z³+3z-c=0

Una vez calculado z se despeja u=1/(z²+1) y luego T=T₀·u

Conocida la temperatura T calculamos la velocidad v de los émbolos

$v = \sqrt{c_{v} \frac{n}{M} (T_{0} - T)}$

Cuando t tiende a infinito, la velocidad v de los émbolos tiende hacia un valor límite constante. La energía interna inicial del gas se convierte en energía cinética de los dos émbolos iguales

$\begin{array}{l} M v^{2} = n c_{v} T_{0} \\ v = \sqrt{\frac{n c_{v} T_{0}}{M}} \end{array}$

Datos: Tmperatura inicial, T₀=300 K, número de moles, n=0.0447, constante de los gases, R=8.3143 J/(K·mol), masa de cada émbolo, M=0.1 kg, sepración inicial entre los dos émbolos L₀=1 m

T0=300; %temperatura inicial
n=0.0447; %número de moles
R=8.3143; %constante de los gases
M=0.1;  %masa de cada émbolo
L0=1; %separación inicial entre los dos émbolos

t=0:0.01:1.5; %tiempo 
%calcla la raiz real de la ecuación cúbica
c=-sqrt(6*n*R*T0/M)*t/L0;
A=(abs(c/2)+sqrt((c/2).^2+1)).^(1/3);
z=A-1./A;
u=1./(z.^2+1);
plot(t,T0*u)
grid on
xlabel('t (s)')
ylabel ('T K')
title('Expansión adiabática de un gas')
figure
v=sqrt(3*n*R*T0*(1-u)/(2*M));
plot(t,v)
grid on
xlabel('t (s)')
ylabel ('v (m/s)')
title('Expansión adiabática de un gas')

La velocidad límite que alcanzan los émbolos es

>> sqrt(3*n*R*T0/(2*M))
ans =   40.8952

Esta aproximación es válida siempre que se cumpla que la velocidad del émbolo v es mucho más pequeña que la velocidad v_rms media de las moléculas del gas

Referencias

R. C. Amor, J.P.H.Esguerra. Evolution of ideal gas mixtures confined in an insulated container by two identical pistons. Am. J. Phys. 78, (9) September 2010, pp. 916-919