Descripción en el sistema de referencia del centro de masas

Dado que el sistema formado por la bala y el bloque es aislado, el momento lineal total o la velocidad de su centro de masas v_cm permanece constante.

${\displaystyle v_{cm}=\frac{m{v}_0}{m+M}}$

En el sistema de referencia del centro de masas, la velocidad inicial de la bala es

${\displaystyle v_0-v_{cm}=\frac{M}{m+M}{v}_0}$

La velocidad inicial del bloque es

${\displaystyle 0-v_{cm}=-\frac{m}{m+M}{v}_0}$

La velocidad final del bloque y la bala es cero.

La variación de energía cinética del sistema formado por la bala y el bloque en el sistema de referencia del centro de masas es

${\displaystyle \begin{array}{l}\Delta E_1=0-\frac{1}{2}m{\left(\frac{M}{m+M}{v}_0\right)}^2=-\frac{1}{2}\frac{m{M}^2}{{\left(m+M\right)}^2}{v}_0^2\\ \Delta E_2=0-\frac{1}{2}M{\left(\frac{m}{m+M}{v}_0\right)}^2=-\frac{1}{2}\frac{M{m}^2}{{\left(m+M\right)}^2}{v}_0^2\\ \Delta E=\Delta E_1+\Delta E_2=-\frac{1}{2}\frac{Mm}{\left(m+M\right)}{v}_0^2\end{array}}$

El sistema pierde energía mecánica que se transforma en energía interna ya que el sistema es aislado

${\displaystyle \Delta U=\Delta U_1+\Delta U_2=\frac{1}{2}\frac{Mm}{\left(m+M\right)}{v}_0^2}$

Como consecuencia la temperatura de la bala y del bloque se elevan.

ΔU=(mc₁+M·c₂)(T_f-T₀)

c₁ y c₂ son los calores específicos de la bala y el bloque, respectivamente. T₀ es la temperatura inicial.

T_f es la temperatura final

${\displaystyle T_f=T_0+\frac{Mm{v}_0^2}{2\left(m+M\right)\left(m{c}_1+M{c}_2\right)}}$

El cambio de entropía del sistema aislado es

$$\begin{gathered} {\displaystyle \Delta S={\displaystyle \underset{T_0}{\overset{T_f}{\int }}\frac{m{c}_{1}dT}{T}}+{\displaystyle \underset{T_0}{\overset{T_f}{\int }}\frac{M{c}_{2}dT}{T}}=\left(m{c}_1+M{c}_2\right)\ln \frac{T_f}{T_0}= \\ \left(m{c}_1+M{c}_2\right)\ln \left(1+\frac{Mm{v}_0^2}{2T_0(M+m)\left(m{c}_1+M{c}_2\right)}\right)} \end{gathered}$$

El proceso es irreversible por lo que ΔS>0

Fuerza interna constante.

En este apartado repetiremos la descripción dada en la página titulada “Choque inelástico de duración finita”

A medida que la bala penetra en el bloque, la bala ejerce una fuerza F que supondremos constante sobre el bloque y su efecto será el de incrementar su velocidad.

A su vez, el bloque ejercerá una fuerza F igual y opuesta sobre la bala cuyo efecto será el de disminuir su velocidad. El choque se completará cuando la velocidad de la bala se iguale a la del bloque.

Tenemos así que estudiar la dinámica de un sistema aislado formado por dos partículas que interaccionan entre sí. La interacción se describe en términos de una fuerza constante F.

Velocidades antes y después del choque

Cuando la bala penetra, la fuerza constante F que ejerce el bloque hace que disminuya su velocidad.

v=v₀-F·t/m

La fuerza F igual y de sentido contrario que ejerce la bala sobre el bloque hace que éste incremente su velocidad

V= F·t/M

El choque finaliza cuando la velocidad v de la bala se iguala a la velocidad V del bloque, es decir en el instante t_c, medido desde el momento en el que la bala penetra en el bloque.

${\displaystyle t_c=\frac{mM{v}_0}{(m+M)F}}$

La velocidad final del bloque V_f y de la bala v_f en dicho instante es

${\displaystyle v_f=V_f=\frac{m{v}_0}{m+M}}$

que es a su vez la velocidad del centro de masas del sistema aislado y es independiente del valor de la fuerza F.

Desplazamientos de la bala y del bloque

Si la bala y la cara anterior del bloque están en el origen en el momento en el que la bala entra en contacto con el bloque, al cabo de un cierto tiempo t<t_c, la posición de la bala x y la posición del bloque X serán, respectivamente

${\displaystyle x=v_{0}t-\frac{1}{2}\frac{F}{m}{t}^{2}X=\frac{1}{2}\frac{F}{M}{t}^2}$

En el instante t_c en el que finaliza el choque, la bala habrá penetrado una distancia x_c-X_c en el interior del bloque. El trabajo realizado por la fuerza F será

${\displaystyle W=-F(x_c-X_C)=-\frac{1}{2}\frac{mM}{m+M}{v}_0^2}$

El signo menos se debe a que la fuerza F sobre la bala es de sentido contrario a su desplazamiento

La fuerza interior F realiza un trabajo que modifica la energía cinética de las partículas del sistema.

${\displaystyle \Delta E=E_f-E_i=\frac{1}{2}(m+M)v_f^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2=-\frac{1}{2}\frac{mM}{m+M}{v}_0^2}$

Temperatura del sistema formado por el bloque y la bala

El trabajo de la fuerza interna F se transforma en energía interna del sistema aislado, como consecuencia se eleva la temperatura del bloque y de la bala.

ΔU=|W|=(mc₁+M·c₂)(T-T₀)

La temperatura final T_f será

${\displaystyle T_f=T_0+\frac{Mm{v}_0^2}{2\left(m+M\right)\left(m{c}_1+M{c}_2\right)}}$

La bala atraviesa el bloque

Cuando la bala atraviesa el bloque la fuerza interior F realiza un trabajo W=-F·L

Siendo L la longitud del bloque. La temperatura final será, en este caso

${\displaystyle T_f=T_0+\frac{FL}{m{c}_1+M{c}_2}}$

Ejemplo:

• Masa de la bala, m=0.4 kg
• Velocidad de la bala, v₀=10 m/s
• Fuerza de interacción, F=20 N
• La masa del bloque, M=1kg
• El calor específico de la bala y del bloque, c₁=c₂=0.5 J/(kg·K)
• La temperatura inicial, T₀=20ºC

La bala y el bloque alcanzan la misma velocidad en el instante t_c

${\displaystyle t_c=\frac{mM{v}_0}{(m+M)F}=\frac{0.4·1·10}{(0.4+1)·20}=0.143\text{s}}$

Los desplazamientos de la bala y el bloque son

${\displaystyle x=v_0{t}_c-\frac{1}{2}\frac{F}{m}{t}_c^2=0.92\text{m}X=\frac{1}{2}\frac{F}{M}{t}_c^2=0.20\text{m}}$

La bala ha penetrado en el bloque una distancia

d=x_c-X_c=0.71 m

La velocidad final del conjunto bala-bloque una vez completado el choque es

${\displaystyle v_f=V_f=\frac{m{v}_0}{m+M}=\frac{0.4·10}{0.4+1.0}=2.86\text{m/s}}$

Conocidas las velocidades iniciales y finales de las partículas calculamos la variación de energía cinética

ΔE=-14.3 J

que tiene el mismo valor que el trabajo realizado por la fuerza de interacción F

W=-F(x_c-X_c)

Temperatura final es

${\displaystyle T_f=20+\frac{14.3}{(0.4+1.0)0.5}=40.4\text{ºC}}$

Actividades

Se introduce

• La masa m de la bala en kg, en el control titulado Masa bala
• La velocidad v₀ de la bala en m/s, en el control titulado Velocidad bala
• La fuerza F en N de interacción entre le bloque y la bala, en el control titulado Fuerza.
• La masa del bloque se ha fijado en M=1kg
• La longitud del bloque se ha fijado en el valor L=1 m
• El calor específico de la bala y del bloque se ha fijado en c₁=c₂=0.5 J/(kg·K)
• La temperatura inicial se ha fijado en T₀=20ºC

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento de la bala, cómo va penetrando en el bloque a la vez que disminuye su velocidad y aumenta la del bloque.

En la parte izquierda, observamos los cambios energéticos:

• la energía cinética del bloque en color azul
• la energía cinética de la bala en color rojo
• el trabajo de la fuerza de interacción F en color gris, que como vemos disminuye la energía cinética del sistema de partículas.

En el termómetro, la temperatura del sistema aislado formado por el bloque y la bala

Referencias

Mungan C. E. Thermodynamics of a block sliding across a frictional surface. The Physics Teacher Vol 45, May 2007, pp. 288-291

Este artículo está disponible en la dirección: https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/Publications/Publications.php#fndtn-panel120162017