Pistola de aire comprimido

En primer lugar, consideramos un modelo simplificado del movimiento de la bala en tubo del cañón propulsada por un gas a presión. Supondremos:
- que la bala se mueve sin rozamiento
- que la presión atmosférica es despreciable frente a la presión del gas
- que la expansión del gas es adiabática
El gas a alta presión está inicialmente contenido en un volumen Ax0 y tiene una temperatura T0. Se libera el émbolo de masa m que representa el proyectil y el gas se expande. El gas (en color amarillo) a alta presión p y temperatura T, se comporta como un gas ideal. Su presión disminuye al aumentar el volumen V=Ax, siendo A el área de la sección transversal del tubo y x la posición del proyectil.
Supondremos que sobre el émbolo actúa únicamente la fuerza F=pA. Aplicamos la segunda ley de Newton para describir el movimiento del proyectil
El gas se expande adiabáticamente, de modo que su energía interna U=ncT disminuye a medida que realiza un trabajo, ncdT=-F·dx. c es el calor específico a volumen constante, 3R/2 para los gases monoatómicos y 5R/2 para los diatómicos.
Donde T0 es la temperatura inicial del gas y Ax0 el volumen inicial del gas
Multiplicando por nR y teniendo en cuenta que el volumen V=Ax, obtenemos la relación entre presiones
Velocidad del proyectil
Escribimos la ecuación diferencial del movimiento en otra equivalente de primer orden en v y x.
Integramos la ecuación diferencial con la condición inicial: en la posición x0 la velocidad inicial de la bala es v=0.
Cuando x se hace grande, la velocidad tiende hacia un valor límite constante
Supongamos un gas diatómico c=5R/2, cuya presión inicial p0=10 atm, para que la presión se reduzca a p=1 atm.
z=5.2. Si n=0.1 moles de gas están a una temperatura inicial T0=300 K, la masa del proyectil es m=0.1 kg, la velocidad v del proyectil es
La velocidad del proyectil es v=110.7 m/s, cercana a la velocidad límite constante
hold on fplot(@(z) sqrt(3*(1-z.^(-3/2))),[1,9]) fplot(@(z) sqrt(5*(1-z.^(-5/2))),[1,9]) hold off grid on xlabel('x/x_0') ylabel('v/v_\infty') legend('monoatómico','diatómico','location','south') title('Velocidad del proyectil')
Posición del proyectil
Integramos de nuevo, para obtener la posición x de la bala en función del tiempo, t
Esta integral se resuelve haciendo el cambio de variable
Con este cambio la integral se reduce a
Resolveremos la integral para dos casos concretos: gas monoatómico c=3R/2 y gas diatómico c=5R/2
Gas monoatómico
La integración se realiza con el cambio de variable y la identidad siguientes:
Deshacemos los cambios
Gas diatómico
La integración se realiza con el cambio de variable y la identidad siguientes:
Desahecemos los cambios
f=@(z) sqrt((z.^2+3*z.^(4/3)-4)/3); g=@(z) sqrt((9*z.^2+15*z.^(8/5)+40*z.^(6/5)-64)/45); hold on fplot(f,[1,9]) fplot(g,[1,9]) hold off grid on legend('monoatómico','diatómico','location','southeast') xlabel('x/x_0') ylabel('\tau') view([90 -90]) %intercambian los ejes X e Y title('posición en función del tiempo')
Velocidad final del proyectil
Consideremos un modelo de pistola de aire comprimido, consistente en un recipiente de volumen V0 que contiene gas comprimido a la presión p0. Un dispositivo libera el proyectil de masa m que se mueve a lo largo del tubo de longitud L y sección A.
Las fuerzas sobre el proyectil son:
- La fuerza que ejerce el gas comprimido, p·A, que va disminuyendo a medida que el gas se expande.
- La fuerza que ejerce la presión atmosférica, patm·A
- Una fuerza de fricción f entre el proyectil y las paredes del tubo.
La ecuación del movimiento del proyectil es:
A medida que se mueve el proyectil, el volumen del gas se incrementa V(x)=V0+Ax
Transformación isoterma
Supondremos que la expansión es isotérmica: p(V0+Ax)=p0·V0
Integramos para obtener la velocidad final v del proyectil cuando sale del tubo, x=L, sabiendo que en la posición inicial x=0, el proyectil parte del reposo, v=0
La velocidad del proyectil alcanza un máximo para la longitud del tubo Lmax
pa=1.013e5; %presión atmosférica p0=200*pa; %presión inicial V0=1.6e-5; %volumen inicial A=1.6e-5; %sección del tubo m=5.2e-4; %masa proyectil f=0.5*p0*A; %fuerza de rozamiento Lmax=V0*(p0*A/(pa*A+f)-1)/A v=@(x) sqrt(2*(p0*V0*log(1+A*x/V0)-pa*A*x-f*x)/m); fplot(v,[0,1.5*Lmax]) grid on xlabel('L') ylabel('v') title('Proceso isotermo')
Lmax = 0.9802
Transformación adiabática
Si suponemos que la expansión es adiabática
Integramos para obtener la velocidad final del proyectil cuando sale del tubo, x=L
La velocidad v del proyectil alcanza un máximo para la longitud del tubo Lmax
pa=1.013e5; %presión atmosférica p0=200*pa; %presión inicial V0=1.6e-5; %volumen inicial A=1.6e-5; %sección del tubo m=5.2e-4; %masa proyectil f=0.5*p0*A; %fuera de rozamiento gamma=7/3; %gamma (gas diatómico) Lmax=V0*((p0*A/(pa*A+f))^(1/gamma)-1)/A; v=@(x) sqrt(2*((p0*V0/(gamma-1))*(1-(V0/(V0+A*x))^(gamma-1))-pa*A*x-f*x)/m); fplot(v,[0,1.5*Lmax]) grid on xlabel('L') ylabel('v') title('Proceso adiabático')
Lmax = 0.3402
Comparación entre ambas transformaciones
Representamos la velocidad v del proyectil en función de la presión inicial p0. Si no tenemos en cuenta la fuerza de rozamiento f. Veremos que no hay diferencia apreciable entre las velocidades finales del proyectil para un tubo de L=0.88 m de longitud
pAtm=101325; %Pa m=19.4/1000; %kg L=0.8825; A=2.87233e-4; %m2 V0=4.196e-3; %volumen gamma=1.4; p0=110000:10000:800000; vF=sqrt((p0*V0*(1-(V0/(A*L+V0))^(gamma-1))/(gamma-1)-A*L*pAtm)*2/m); hold on plot(p0,vF,'r') vF=sqrt((p0*V0*log(1+A*L/V0)-A*L*pAtm)*2/m); plot(p0,vF,'b') hold off xlabel('p(Pa)') ylabel('v_f(m/s)') title('Pistola de aire comprimido')
Movimiento del gas en el tubo
En la página, La fuerza que ejerce la presión atmosférica hemos tenido en cuenta el movimiento de la columna de aire a medida que la pelota se desplaza por el tubo. Se trata de un problema de masa variable
En este apartado no hemos tenido en cuenta que cuando el proyectil se ecuentra en la posición x a lo largo del tubo, una porción mg de la masa Mg de gas se desplaza detrás del proyectil
La ecuación del movimiento se complicaría
Referencias
Carl E Mungan. Internal ballistics of a pneumatic potato cannon. Eur. J. Phys. 30 (2009). pp. 453-457
Disponible en https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/Publications/Publications.php#fndtn-panel120162017
Mark Denny. The Internal Balistics of an Air Gun. The Physics Teacher, Vol 49, February 2011, pp. 81-83
Z. J. Rohrbach, T. R. Buresh, M. J. Madsen. Modeling the exit velocity of a compressed air cannon Am. J. Phys. 80(1) January 2012, pp. 24-26