Representamos los cuatro procesos termodinámicos

hold on
line([0,2],[1,1], 'color', 'g')
line([1,1],[0,2.5],'color','m')
fplot(@(V) 1./V,[0.25,2], 'color','b')
fplot(@(V) 1./V.^1.4,[0.25,2], 'color','r')
hold off
grid on
ylim([0,2.5])
xlabel('V')
legend('p=cte','V=cte','isotermo','adiabático')
ylabel ('p')
title('Procesos termodinámicos')

Conocida la relación entre presión y volumen en un proceso politrópico, pV^β=cte, para un gas ideal cuya ecuación de estado es pV=nRT

• La relación entre volumen V y temperatura T es

${\displaystyle \frac{nRT}{V}{V}^{\beta }=\text{cte}\text{,}T{V}^{\beta -1}=\text{cte}}$

• La relación entre presión p y temperatura T es

${\displaystyle p{\left(\frac{nRT}{p}\right)}^{\beta }=\text{cte}\text{,}{p}^{1-\beta }{T}^{\beta }=\text{cte}}$

Representamos procesos politrópicos de índices: 0.2, 0.5, 3, 10, 100, -10, -2, -1, -0.5, 0

hold on
for n=[0.2,0.5,3,10,100, -10,-2,-1,-0.5,0]
    fplot(@(V) 1./V.^n,[0.25,2])
end
n=1.4;
fplot(@(V) 1./V.^n,[0.25,2],'color', 'r','lineWidth',1.2)
n=1;
fplot(@(V) 1./V.^n,[0.25,2],'color', 'b','lineWidth',1.2)
hold off
grid on
ylim([0,2.5])
xlabel('V')
ylabel ('p')
title('Procesos politrópicos')

Los procesos con β>0 se representan en los cuadrantes 2° y 4°. Los procesos con β<0 se representan en los cuadrantes 1°y 3°. β=0 es un proceso a presión constante (línea horizontal), y β=100 es un proceso a volumen casi constante (línea vertical)

Las dos líneas más gruesas: la azul, es un proceso con β=1 (isotermo), la roja, es un proceso con β=1.4 (adiabático)

Trabajo

• El estado inicial está caracterizado por una presión p₁, un volumen V₁ y una temperatura T₁
• El estado final está caracterizado por una presión p₂, un volumen V₂ y una temperatura T₂

Se cumple que

${\displaystyle p{V}^{\beta }=p_1{V}_1^{\beta }=p_2{V}_2^{\beta }=\text{cte}}$

El trabajo vale

${\displaystyle \begin{array}{l}W={\displaystyle \underset{V_1}{\overset{V_2}{\int }}p·dV}={\displaystyle \underset{V_1}{\overset{V_2}{\int }}\frac{\text{cte}}{V^{\beta }}}dV=\frac{\text{cte}}{-\beta +1}\left(V_2^{-\beta +1}-V_1^{-\beta +1}\right)=\frac{1}{-\beta +1}\left(p_2{V}_2^{\beta }{V}_2^{-\beta +1}-p_1{V}_1^{\beta }{V}_1^{-\beta +1}\right)\\ W=\frac{p_2{V}_2-p_1{V}_1}{-\beta +1}\end{array}}$

Otra forma de expresar el trabajo

${\displaystyle W=\frac{p_1{V}_1^{\beta }}{-\beta +1}\left(V_2^{-\beta +1}-V_1^{-\beta +1}\right)=\frac{p_1{V}_1^{\beta }{V}_1^{-\beta +1}}{-\beta +1}\left({\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{-\beta +1}-1\right)=\frac{p_1{V}_1}{-\beta +1}\left({\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{-\beta +1}-1\right)}$

Teniendo en cuenta la relación entre los calores específicos a presión constante c_p y a volumen constante c_v

c_p=c_v+R, γ=c_p/c_v, c_v=R/(γ-1)

${\displaystyle \begin{array}{l}{T}_1{V}_1^{\beta -1}=T_2{V}_2^{\beta -1},\frac{T_1}{V_1^{-\beta +1}}=\frac{T_2}{V_2^{-\beta +1}},{\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{-\beta +1}=\frac{T_2}{T_1}\\ W=\frac{nR{T}_1}{-\beta +1}\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)=\frac{n\left(c_p-c_v\right)}{-\beta +1}\left(T_2-T_1\right)=n{c}_v\frac{\gamma -1}{-\beta +1}\left(T_2-T_1\right)\end{array}}$

Variación de energía interna

La variación de energía interna entre los estados inicial y final es

${\displaystyle \Delta U=n{c}_v\left(T_2-T_1\right)}$

Calor

El primer principio de la Termodinámica, ΔU=Q-W, Q=ΔU+W

${\displaystyle \begin{array}{l}Q=n{c}_v\left(T_2-T_1\right)+n{c}_v\frac{\gamma -1}{-\beta +1}\left(T_2-T_1\right)=n{c}_v\frac{\beta -\gamma }{\beta -1}\left(T_2-T_1\right)=n{c}_{\beta }\left(T_2-T_1\right)\\ c_{\beta }=c_v\frac{\beta -\gamma }{\beta -1}=\frac{\beta c_v-c_p}{\beta -1}=\frac{R}{\gamma -1}\frac{\beta -\gamma }{\beta -1}\end{array}}$

Es la definición de calor específico c_β en un proceso politrópico

Representamos c_β/R en función de β, tomando el índice addibático γ=1.4

gamma=1.4;
f=@(x) (x-gamma)./((gamma-1)*(x-1));
hold on
fplot(f, [-1,3])
plot(0,7/2,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
line([-1,0],[7/2,7/2],'lineStyle','--')
line([0,0],[0,7/2],'lineStyle','--')
line([-1,3],[5/2,5/2],'lineStyle','--')
plot(gamma,0,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
hold off
grid on
ylim([-2,10])
xlabel('\beta')
ylabel ('c_\beta/R')
title('Calor específico c_\beta')

• Para un proceso a presión constante, β=0, c_β=c_p=7R/2
• Para un proceso adiabático, β=γ, c_β=0
• Para un proceso isotermo, β=1, c_β→∞
• Para un procso a volumen constante, β→∞, c_β→R/(γ-1)=c_v=5R/2. Esta es la ecuación de la asíntota horizontal

El calor específico c_β es negativo en el intervalo (1,γ)

Deducción alternativa de proceso politrópico

Hemos partido de la definición de proceso politrópico como pV^β=cte. Partimos ahora de, dQ=nc_βdT y llegamos a pV^β=cte, del siguiente modo

${\displaystyle \begin{array}{l}dU=dQ-pdV\\ n{c}_{v}dT=n{c}_{\beta }dT-pdV\\ n\left(c_{\beta }-c_v\right)dT=\frac{nRT}{V}dV\\ \frac{dT}{T}=\frac{R}{c_{\beta }-c_v}\frac{dV}{V}\\ \frac{dT}{T}-\frac{c_p-c_v}{c_{\beta }-c_v}\frac{dV}{V}=0\\ T{V}^{-\frac{c_p-c_v}{c_{\beta }-c_v}}=\text{cte}\\ p{V}^{1-\frac{c_p-c_v}{c_{\beta }-c_v}}=\text{cte}\\ p{V}^{\frac{c_{\beta }-c_p}{c_{\beta }-c_v}}=\text{cte}\\ \beta \text{=}\frac{c_{\beta }-c_p}{c_{\beta }-c_v},c_{\beta }=\frac{\beta c_v-c_p}{\beta -1}\end{array}}$

Relación entre trabajo y calor

Relacionamos el calor Q y el trabajo W

${\displaystyle \begin{array}{l}Q=n{c}_v\frac{\beta -\gamma }{\beta -1}\left(T_2-T_1\right)\\ W=n{c}_v\frac{\gamma -1}{-\beta +1}\left(T_2-T_1\right)\\ \frac{W}{Q}=\frac{\gamma -1}{\gamma -\beta }\end{array}}$

Representamos el cociente W/Q en función de β tomando γ=1.4 (aire)

gamma=1.4;
f=@(x) (gamma-1)./(gamma-x);
fplot(f, [-5,5])
line([1,1],[0,f(1)],'lineStyle','--')
line([-5,1],[f(1),f(1)],'lineStyle','--')
line([0,0],[0,f(0)],'lineStyle','--')
line([-5,0],[f(0),f(0)],'lineStyle','--')
grid on
ylim([-2.5,2.5])
xlabel('\beta')
ylabel ('W/Q')
title('Procesos politrópicos')

Para un proceso termodinámico caracterizado por un índice β<γ, el resultado es W/Q>0, parte del calor absorbido Q>0 se convierte en trabajo W>0 (el gas se expande). Si el gas se comprime W<0 el gas cede calor Q<0 a los alrededores del sistema.

• Adiabático

Cuando β=γ, el denominador se aproxima a cero, esto significa que el calor transferido desde o hacia el sistema tiende a cero.

• A presión constante

Para un proceso a presión constante, β=0 y γ=1.4 (para el aire) el cociente es W/Q=0.286, esto quiere decir, que el 28.6% del calor suministrado se convierte en trabajo, el resto se convierte en energía interna. Este resultado es independiente de la presión, volumen o temperatura del estado inicial y final de dicho proceso, solamente depende del tipo de gas.

• A temperatura constante

β=1, el cociente W/Q=1, el calor absorbido se convierte en trabajo, la variación de energía interna es cero, ΔU=0, la temperatura permanece constante

• A volumen constante

Para un proceso a volumen constante, β→∞, el denominador en la expresión W/Q tiende a -∞, el trabajo tiende a cero

Indice politrópico

Cuando se comprime el aire muy rápidamente, no hay tiempo de que el sistema transfiera calor a los alrededores, el aire incrementa su temperatura, el proceso es adiabático β=γ

Cuando se comprime aire muy lentamente, se transfiere calor a los alrededores, la temperatura del aire permanece constante, el proceso es isotermo, β=1

Un proceso real no será ni infinitamente rápido, ni infinitamente lento, el proceso politrópico tendrá un índice β comprendido entre 1 y γ.

Dados el estado inicial y final, el índice del proceso politrópico se calcula despejando β.

• Conocida la presión y el volumen

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_1{V}_1^{\beta }=p_2{V}_2^{\beta },\frac{p_1}{p_2}={\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{\beta }\\ \beta =\frac{\ln \left(\frac{p_1}{p_2}\right)}{\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)}\end{array}}$

• Conocida la temperatura y el volumen

${\displaystyle \begin{array}{l}{T}_1{V}_1^{\beta -1}=T_2{V}_2^{\beta -1},\frac{T_1}{T_2}={\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{\beta -1}\\ \beta =1+\frac{\ln \left(\frac{T_1}{T_2}\right)}{\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)}\end{array}}$

• Conocida la temperatura y la presión

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_1^{1-\beta }{T}_1^{\beta }=p_2^{1-\beta }{T}_2^{\beta },{\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}^{1-\beta }={\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^{\beta }\\ \left(1-\beta \right)\ln \left(\frac{p_1}{p_2}\right)=\beta \ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)\\ \beta =\frac{\ln \left(\frac{p_1}{p_2}\right)}{\ln \left(\frac{p_1}{p_2}\right)+\ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)}\end{array}}$

Cuando 1<β<γ el calor específico c_β<0. La idea de calor específico negativo parace algo extraña, ya que la tempartaura del gas ΔT>0 se incrementa a la vez que el gas cede calor Q<0 o viceversa

Procesos isotermo, adiabático y politrópico

Estado inicial del gas

p₁=17.5 atm, V₁=0.2124 l, T₁=2000 K

Estado final

V₁=1 l

Representamos los tres procesos: isotermo, adiabático y politrópico entre el estado incial y el estado final. Calculamos la presión p₂ y la temperatura T₂ del estado final

Calculamos el calor Q, trabajo W y variación de energía interna, ΔU en cada uno de los procesos

gamma=1.4;
beta=1.1689;
p1=17.5; %estado inicial
V1=0.2124;
T1=2000;
V2=1; %estado final
hold on
fplot(@(x) p1*V1^gamma./x.^gamma, [V1,V2])
fplot(@(x) p1*V1^beta./x.^beta, [V1,V2])
fplot(@(x) p1*V1./x, [V1,V2])
hold off
grid on
xlabel('V (l)')
legend('adiabático','politrópico','isotermo','location','best')
ylabel ('p(atm)')
title('Adiabático, isotermo, politrópico')

%isotermo
p2=p1*V1/V2;
T2=2000;
Du=0;
W=p1*V1*log(V2/V1);
Q=W;
fprintf('isotermo: p2=%1.3f, T2=%4.1f, Du=%1.3f, Q=%1.3f, W=%1.3f\n',
 p2, T2, Du, Q, W)
%adiabático
p2=p1*V1^gamma/V2^gamma;
T2=T1*V1^(gamma-1)/V2^(gamma-1);
Du=5*p1*V1*(T2-T1)/(2*T1);
Q=0;
W=(p2*V2-p1*V1)/(-gamma+1);
fprintf('adiabático: p2=%1.3f, T2=%4.1f, Du=%1.3f, Q=%1.3f, W=%1.3f\n', 
p2, T2, Du, Q, W)
%politrópico
p2=p1*V1^beta/V2^beta;
T2=T1*V1^(beta-1)/V2^(beta-1);
Du=5*p1*V1*(T2-T1)/(2*T1);
Q=p1*V1*(beta-gamma)*(T2-T1)/(T1*(gamma-1)*(beta-1));
W=(p2*V2-p1*V1)/(-beta+1);
fprintf('politrópico: p2=%1.3f, T2=%4.1f, Du=%1.3f, Q=%1.3f, W=%1.3f\n', 
p2, T2, Du, Q, W)

isotermo: p2=3.717, T2=2000.0, Du=0.000, Q=5.759, W=5.759
adiabático: p2=2.000, T2=1076.2, Du=-4.292, Q=0.000, W=4.292
politrópico: p2=2.861, T2=1539.5, Du=-2.139, Q=2.927, W=5.067

• Proceso isotermo

${\displaystyle p_1{V}_1=p_2{V}_2}$

El trabajo y el calor

El resultado es p₂=3.717 atm, la temperatura T₂=2000 K

${\displaystyle \begin{array}{l}\Delta U=0\\ W=nRT\ln \frac{V_2}{V_1}=p_1{V}_1\ln \frac{V_2}{V_1}=5.759\text{J}\\ Q=W\end{array}}$

• Proceso adiabático, γ=1.4 (para el aire)

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_1{V}_1^{\gamma }=p_2{V}_2^{\gamma }\\ T_1{V}_1^{\gamma -1}=T_2{V}_2^{\gamma -1}\end{array}}$

El resultado es p₂=2.0 atm, la temperatura T₂=1076.2 K

El trabajo y la varición de energía interna

${\displaystyle \begin{array}{l}\Delta U=n{c}_v\left(T_2-T_1\right)=\frac{5}{2}nR\left(T_2-T_1\right)=\frac{5}{2}\frac{p_1{V}_1}{T_1}\left(T_2-T_1\right)=\text{ 4}\text{.292}\text{J}\\ Q=0\\ W=\frac{p_2{V}_2-p_1{V}_1}{-\gamma +1}=\text{4}\text{.292}\text{J}\end{array}}$

Se cumple el primer principio de la Termodinámica, ΔU=Q-W

• Proceso politrópico, β=1.1689

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_1{V}_1^{\beta }=p_2{V}_2^{\beta }\\ T_1{V}_1^{\beta -1}=T_2{V}_2^{\beta -1}\end{array}}$

El resultado es p₂=2.861 atm, la temperatura T₂=1539.5 K

El trabajo, calor y la variación de energía interna

${\displaystyle \begin{array}{l}\Delta U=n{c}_v\left(T_2-T_1\right)=\frac{5}{2}nR\left(T_2-T_1\right)=\frac{5}{2}\frac{p_1{V}_1}{T_1}\left(T_2-T_1\right)=\text{ -2}\text{.139}\text{J}\\ Q=n{c}_{\beta }\left(T_2-T_1\right)=\frac{nR}{\gamma -1}\frac{\beta -\gamma }{\beta -1}\left(T_2-T_1\right)=\frac{p_1{V}_1}{T_1}\frac{1}{\gamma -1}\frac{\beta -\gamma }{\beta -1}\left(T_2-T_1\right)=\text{ 2}\text{.927}\text{J}\\ W=\frac{p_2{V}_2-p_1{V}_1}{-\beta +1}=\text{ 5}\text{.067}\text{J}\end{array}}$

Se cumple el primer principio de la Termodinámica, ΔU=Q-W

Gas ideal contenido en un recipiente cilíndrico en contacto con un foco de calor de tamaño finito

El sistema que estudiamos en este apartado, consiste en un gas ideal a la temperatura T_g y un foco de calor a temperatura T_r. El gas se puede comprimir o expandir mediante un émbolo

El foco de calor tiene tamaño finito y un volumen constante, por lo que su temperatura T_r puede cambiar debido al intercambio de calor con el gas δQ_r=-δQ_g. El gas y el foco están en todo momento en equilibrio térmico de modo que T_r=T_g=T.

Para el gas

dU_g=δQ_g-p·dV

• U_g es la energía interna del gas, dU_g=C_g·dT, donde C_g=nc_g es la capacidad calorífica a volumen constante del gas
• Q_g es el calor absorbido por el gas, cedido por el foco
• p·dV es e trabajo realizado

Para el foco de calor

dU_r=δQ_r=C_r·dT

• C_r es la capacidad calorífica del foco cuyo volumen es constante

Supondremos que las capacidades caloríficas C_r y C_g se mantienen constantes durante el proceso

De las realaciones anteriores obtenemos

${\displaystyle \begin{array}{l}\delta Q_g=C_g·dT+p·dV\\ -C_r·dT=C_g·dT+p·dV\\ \left(C_g+C_r\right)dT=-p·dV=-\frac{-nRT}{V}dV\end{array}}$

Integrando

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int \frac{\left(C_g+C_r\right)dT}{T}}=-{\displaystyle \int \frac{nR}{V}dV}\\ \left(C_g+C_r\right)\ln T+nR\ln V=\text{cte}\\ \ln T+\frac{nR}{C_g+C_r}\ln V=\text{cte}\\ T{V}^{\frac{nR}{C_g+C_r}}=\text{cte}\\ p{V}^{\frac{nR}{C_g+C_r}+1}=\text{cte}\end{array}}$

Teniendo en cuenta que el índice adiabático, c_p y c_v son los calores específicos a presión y volumen constantes del gas ideal

${\displaystyle \gamma =\frac{c_p}{c_v}=\frac{R+c_v}{c_v}=\frac{nR}{C_v}+1}$

Para el gas ideal contenido en el recipiente cilíndrico, nR=γC_g-C_g

La ecuación del proceso politrópico es

${\displaystyle p{V}^{\beta }=\text{cte}\text{,}\beta \text{=}\frac{nR}{C_g+C_r}+1=\frac{\gamma +\frac{C_r}{C_g}}{1+\frac{C_r}{C_g}}}$

• El proceso isotermo, β=1, se produce cuando C_r→∞ , el foco se hace muy grande y su temperatura permanece constante
• El proceso adiabático, β=γ, se produce cuando C_r→0, el foco se hace muy pequeño y el gas ideal es un sistema aislado

La ecuación de estado de un gas ideal, pV=nRT

${\displaystyle \begin{array}{l}p{V}^{\beta +1}=p_0{V}_0^{\beta +1}\\ \frac{p}{p_0}={\left(\frac{V_0}{V}\right)}^{\beta +1}\end{array}}$

Representamos p/p₀ en función de V/V₀ para un gas diatómico (γ=1.4), donde p₀ y V₀ son las presión y volumen iniciales para un determinado proceso

hold on
fplot(@(x) 1./x,[1,1.5]) %isotermo
fplot(@(x) 1./x.^1.4,[1,1.5])%adiabático
beta=(1.4+5)/(1+5);
fplot(@(x) 1./x.^beta,[1,1.5]) %C_r/C_g=5
beta=(1.4+1)/(1+1);
fplot(@(x) 1./x.^beta,[1,1.5]) %C_r/C_g=1
hold off
grid on
xlabel('V/V_0')
ylabel('p/p_0')
legend('Isotérmicoo','Adiabático','C_r/C_g=5','C_r/C_g=1','Location','best')
title('Diagrama P-V')

Representamos β en función del cociente C_r/C_g para γ=1.4

x=logspace(-2,2,100);
y=(1.4+x)./(1+x);
semilogx(x,y)
grid on
xlabel('C_r/C_g')
ylabel('\beta')
title('Indice \beta')

En la gráfica vemos que

• C_r/C_g→0, β→γ, proceso adiabático
• C_r/C_g→∞, β→1, proceso isotermo

Trabajo y calor

${\displaystyle \begin{array}{l}W={\displaystyle \underset{V_0}{\overset{V_f}{\int }}p·dV}=-\left(C_g+C_r\right){\displaystyle \underset{T_0}{\overset{T_f}{\int }}dT}=\left(C_g+C_r\right)\left(T_0-T_f\right)\\ Q=-C_r{\displaystyle \underset{T_0}{\overset{T_f}{\int }}dT}=C_r\left(T_0-T_f\right)=\frac{C_r}{C_r+C_g}W\end{array}}$

El calor y el trabajo son proporcionales

Ejemplos

En este apartado, calculamos el índice β de un sistema formado por aire (supuesto gas ideal) y un foco finito de calor que podría ser: aire, agua o arena

• Aire, aire

• El gas ideal es aire que ocupa 10 l a la temperatura ambiente
• El foco finito es 0.1 l de aire a temperatura ambiente

El aire es un gas diatómico, calor específico a volumen constante c_v=5R/2=5·8.3143/2 J/(K·mol)

El número de moles que contienen 10 l de aire es n=1.29kg/m³·0.01m³/28.84·10^-3 kg/mol

La capacidad calorífica de 10 l de aire es C_g=nc_v=9.29737≈9.3 J/K.

La capacidad calorífica de 0.1 l de aire es C_r=0.093 J/K

${\displaystyle \beta \text{=}\frac{\gamma +\frac{C_r}{C_g}}{1+\frac{C_r}{C_g}}=\frac{1.4+\frac{0.093}{9.3}}{1+\frac{0.093}{9.3}}=1.396}$

• Aire, agua

• El gas ideal es aire que ocupa 10 l a la temperatura ambiente
• El foco finito es 0.2 l de agua a temperatura ambiente

El calor específico del agua es c_v=4.186 J/(g·K).

La capacidad calorífica de 200 g de agua es C_r=200·4.186=837.2 J/K

${\displaystyle \beta \text{=}\frac{1.4+\frac{837.2}{9.3}}{1+\frac{837.2}{9.3}}=1.004}$

• Aire, arena

• El gas ideal es aire que ocupa 10 l a la temperatura ambiente
• El foco finito es 20 g de arena a temperatura ambiente. Su capacidad calorífica es C_r=20 J/K

${\displaystyle \beta \text{=}\frac{1.4+\frac{20}{9.3}}{1+\frac{20}{9.3}}=1.1270}$

Expansión rápida de una mezcla de aire con vapor saturado

Un recipiente de volumen V₀ contiene aire y vapor saturado a la temperatura T₀. El émbolo ejerce una presión p₀.

El número de moles de vapor saturado es

${\displaystyle n_{v0}=\frac{P_{v0}{V}_0}{R{T}_0}}$

Donde M_H2O=18 g/mol es la masa molecular del agua y R=8.3143 J/(K·mol) es la constante de los gases.

Supondremos que el vapor se comporta como un gas ideal cuya presión parcial P_v0 se puede consultar en las tablas o deducir de fórmulas empíricas de ajuste de los datos experimentales. Por ejemplo, para T₀=19 °C (292 K) la presión de vapor saturado es P_v0=2 198 Pa

Cuando el émbolo se desplaza rápidamente. El volumen de aire aumenta a V y la temperatura disminuye de T₀ a T=T₀-ΔT, con ΔT<<T₀

Al disminuir la temperatura de la mezcla, la presión de vapor P_v se reduce, una parte del vapor inicial n_v se condensa.

${\displaystyle n_v=\frac{P_{v}V}{RT}}$

El número de moles de vapor que se ha condensado es la diferencia

${\displaystyle n=\frac{P_{v0}{V}_0}{R{T}_0}-\frac{P_{v}V}{RT}}$

El calor generado en la condensación será

${\displaystyle Q=nL=\frac{L}{R}\left(\frac{P_{v0}{V}_0}{T_0}-\frac{P_{v}V}{T}\right)}$

Donde L=43 509 J/mol es el valor de la entalpía de vaporización

Como el proceso de expansión es rápido, la mezcla aire-vapor no tiene tiempo de intercambiar calor con el medio ambiente a través de las paredes del recipiente

La presión de vapor viene dada por la fórmula de Clausius-Clapeyron

${\displaystyle P_v=P_{v_0}\exp \left(\frac{L}{R}\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}\right)\right)}$

Sustituimos la presión parcial de vapor P_v en la expresión del calor generado en la condensación

${\displaystyle Q=\frac{L}{R}{P}_{v0}\left(\frac{V_0}{T_0}-\exp \left(\frac{L}{R}\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}\right)\right)\frac{V}{T}\right)}$

Proceso politrópico

Entre el estado inicial y final se produce un proceso politrópico de índice β que vamos a determinar

${\displaystyle \begin{array}{l}p{V}^{\beta }=p_0{V}_0^{\beta }\\ p{\left(\frac{nRT}{p}\right)}^{\beta }=p_0{\left(\frac{nR{T}_0}{p_0}\right)}^{\beta }\\ p^{1-\beta }{T}^{\beta }=p_0^{1-\beta }{T}_0^{\beta }\\ \frac{p}{p_0}={\left(\frac{T_0}{T}\right)}^{\beta /(1-\beta )}\\ \frac{V}{T}=\frac{nR}{p}=\frac{nR}{p_0}{\left(\frac{T_0}{T}\right)}^{\beta /(\beta -1)}\end{array}}$

El número n de moles de la mezcla (aire+vapor) no permence constante ya que una parte del vapor inicial se condensa. Si esta parte es pequeña, en comparación con el número total de moles, se podría considerar que n es casi constante.

En un proceso politrópico, el calor Q es

${\displaystyle \begin{array}{l}Q=n{c}_{\beta }\left(T-T_0\right)=-n{c}_{\beta }\Delta T\\ c_{\beta }=\frac{R}{\gamma -1}\frac{\beta -\gamma }{\beta -1}\end{array}}$

Determinación del índice β

Introduciendo V/T, la expresión del calor generado en la condensación es

${\displaystyle \begin{array}{l}Q=\frac{L}{R}{P}_{v0}\left(\frac{nR}{p_0}-\exp \left(\frac{L}{R}\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}\right)\right)\frac{nR}{p_0}{\left(\frac{T_0}{T}\right)}^{\beta /(\beta -1)}\right)\\ Q=n\frac{P_{v0}}{p_0}L\left(1-\exp \left(\frac{L}{R}\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}\right)\right){\left(\frac{T_0}{T}\right)}^{\beta /(\beta -1)}\right)\\ Q=n\frac{P_{v0}}{p_0}L\left(1-\exp \left(\frac{L}{R{T}_0}\left(1-\frac{T_0}{T_0-\Delta T}\right)\right){\left(\frac{T_0}{T_0-\Delta T}\right)}^{\beta /(\beta -1)}\right)\\ Q=n\frac{P_{v0}}{p_0}L\left(1-\exp \left(-\frac{L}{R{T}_0}\left(\frac{x}{1-x}\right)\right){\left(1-x\right)}^{-\beta /(\beta -1)}\right),x=\frac{\Delta T}{T_0}\end{array}}$

Dado que las temperaturas inicial y final son próximas, T=T₀-ΔT, con ΔT<<T₀, desarrollamos en serie tomando el término en ΔT

Utilizamos la función taylor de MATLAB, se omite la constante delante del paréntesis, las variables x es ΔT/T₀, b es β y a es L/(RT₀)

>> syms x b a;
>> y=1-exp(-a*x/(1-x))*(1-x)^(-b/(b-1));
>> taylor(y,x,0,'order',2)
ans =x*(a - b/(b - 1))

${\displaystyle Q\approx n\left\{\frac{P_{v0}}{p_0}\frac{L}{T_0}\left(\frac{L}{R{T}_0}-\frac{\beta }{\beta -1}\right)\right\}\Delta T}$

Comparamos con el calor del proceso politrópico

${\displaystyle Q=-n\left\{\frac{R}{\gamma -1}\frac{\beta -\gamma }{\beta -1}\right\}\Delta T}$

Despejamos el índice β

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{P_{v0}}{p_0}\frac{L}{T_0}\left(\frac{L}{R{T}_0}-\frac{\beta }{\beta -1}\right)=-\frac{R}{\gamma -1}\frac{\beta -\gamma }{\beta -1}\\ \beta =\frac{{\left(\frac{L}{R{T}_0}\right)}^2\frac{P_{v0}}{p_0}\left(\gamma -1\right)+\gamma }{\left(\frac{L}{R{T}_0}\right)\frac{P_{v0}}{p_0}\left(\gamma -1\right)\left(\frac{L}{R{T}_0}-1\right)+1}\end{array}}$

Si no hay vapor o la presión es muy pequeña, P_v0≈0, entonces β=γ el proceso es adiabático

Creamos un script para calcular el índice β dada la presión inicial p₀ en atmósferas. Datos

• Presión atmosférica, 1.013·10⁵ N/m²
• Temperatura ambiente, T₀=19 °C=292 K
• Presión de vapor a esta temperatura, P_v0=2 198 Pa
• Indice adiabático de un gas ideal, γ=1.4
• Constante de los gases, R=8.3143 J/(K·mol)
• Calor de vaporización, L=43 509 J/mol

gamma=1.4; %índice adiabático
L=43509; %calor de vaporización J/mol
T0=292; %temperatura inicial
Pv=2.1983e3;%presión de vapor
R=8.3143; %constante de los gases 
for p=[4.8,4.4,4.0,3.6,3.2] %presión en atmósferas
    P0=p*1.013e5;
    beta=(Pv*L^2*(gamma-1)/(R^2*T0^2*P0)+gamma)/(1+Pv*L*(gamma-1)*
(L/(R*T0)-1)/(R*P0*T0));
    disp([p,beta])
end

    4.8000    1.2793
    4.4000    1.2724
    4.0000    1.2647
    3.6000    1.2560
    3.2000    1.2461

Son similares a la tercera columna de la tabla I del artículo de Romanelli, pág. 764

Referencias

Polytropic process in a closed system. tec-science (07/11/2021)

Yu-Han Ma. Simple realization of the polytropic process with a finite-sized reservoir. Am. J. Phys. 91 (7), July 2023. pp. 555-558

Alejandro Romanelli, Italo Bove, Federico González Madina. Air expansion in a water rocket. Am. J. Phys. 81 (10), October 2013, pp. 762-766