El motor de Stirling

El reverendo Robert Stirling inventó el motor que lleva su nombre y lo patentó en 1816.

Es un motor de combustión externa frente a los tradicionales motores gasolina o diesel de combustión interna que mueven los vehículos. El motor opera con una fuente de calor externa que puede ser solar y un sumidero de calor, la diferencia de temperaturas entre ambas fuentes debe ser grande.

En el proceso de conversión del calor en trabajo, el motor de Stirling alcanza un rendimiento superior a cualquier otro motor real, acercándose hasta el máximo posible del motor ideal de Carnot. En la práctica está limitado, por que el gas con el que trabaja es no ideal, es inevitable el rozamiento en los distintos componentes que se mueven, etc.

En la fotografía se muestra un motor Stirling activado por energía solar que disponemos en la Escuela de Ingeniería de Eibar. Disponemos también de un motor hecho con un cilindro de vidrio transparente accionado por el calor de la combustión del alcohol

Ciclo de Stirling teórico

Un motor ideal de Stirling consta de cuatro procesos termodinámicos, tal como se muestran en la figura en un diagrama presión-volumen.

Supongamos n moles de un gas ideal encerrado en un recipiente con un émbolo que se puede desplazar. El gas experimenta los siguientes procesos:

Proceso 1→2: Es una expansión isotérmica a la temperatura T₁, desde el volumen inicial V₁ al volumen final V₂.

Variación de energía interna, ΔU₁₂=0

El gas realiza un trabajo W₁₂ y por tanto, tiene que absorber una cantidad igual de energía del foco caliente para mantener su temperatura constante.

$Q_{12} = W_{12} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} p \cdot d V = \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{n R T_{1}}{V} \cdot d V = n R T_{1} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}$

Proceso 2→3: Es un proceso isócoro o a volumen constante.

El trabajo realizado es nulo W₂₃=0

El gas ideal cede calor disminuyendo su energía interna y por tanto, su temperatura

$Δ U_{23} = Q_{23} = n c_{v} (T_{2} - T_{1}) = - n c_{v} (T_{1} - T_{2})$

Proceso 3→4: El gas se comprime a la temperatura constante T₂, desde el volumen inicial V₂ al volumen final V₁. Como el gas está a baja presión, el trabajo necesario para comprimirlo es menor que el que proporciona durante el proceso de expansión.

Variación de energía interna, ΔU₃₄=0

Se realiza un trabajo W₃₄ sobre el gas y por tanto, tiene que ceder una cantidad igual de calor del foco frío para mantener su temperatura constante.

$Q_{34} = W_{34} = \int_{V_{2}}^{V_{1}} p \cdot d V = \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{n R T_{2}}{V} \cdot d V = n R T_{2} \ln \frac{V_{1}}{V_{2}} = - n R T_{2} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}$

Proceso 4→1: Es un proceso isócoro o a volumen constante.

El trabajo realizado es nulo W₄₁=0

El gas ideal absorbe calor aumentando su energía interna y por tanto, su temperatura

$Δ U_{41} = Q_{41} = n c_{v} (T_{1} - T_{2})$

Ciclo completo

Variación de energía interna

ΔU= ΔU₁₂+ ΔU₂₃+ ΔU₃₄+ ΔU₄₁=-nc_v(T₁-T₂)+ nc_v(T₁-T₂)=0

Como cabía esperar de un proceso cíclico reversible de un gas ideal.

El trabajo realizado por el gas es

$W = W_{12} + W_{34} = n R (T_{1} - T_{2}) \ln \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{m}{M} R (T_{1} - T_{2}) \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}$

donde m es la masa del gas, M es su peso molecular y R es la constante de los gases cuyo valor es 8.3143 J/(K·mol).

Por ejemplo, Hidrógeno H₂, M=2 g, Helio He, M=4 g, N₂, M=28 g

El trabajo se puede incrementar de varias maneras:

Aumentando la diferencia de temperaturas T₁-T₂ entre el foco caliente y el foco frío
Aumentando el valor del cociente V₂/V₁, la razón de comprensión del gas.
Eligiendo un gas cuya peso molécular M sea pequeño. Una misma masa m de gas produce mayor trabajo tiene menor peso molecular M.

El regenerador

Motor de Stirling. Edimburgo, 7 de enero 2017

El motor de Stirling dispone de un dispositivo denominado regenerador. Actúa como un sistema que almacena energía en cada ciclo. El calor se deposita en el regenerador cuando el gas se desplaza desde el foco caliente hacia el foco frío disminuyendo su temperatura. Cuando el gas se desplaza desde el foco frío hacia el foco caliente el regenerador suministra energía al gas aumentado su temperatura.

En el proceso 2→3, se trasfiere el gas a volumen constante hacia al foco frío, el gas deposita el calor en el regenerador, disminuyendo su temperatura.

En el proceso 4→1, se trasfiere el gas a volumen constante hacia al foco caliente, el gas retira el calor depositado en el regenerador, aumentando su temperatura. A medida que la temperatura se incrementa la presión del gas se incrementa, y el sistema vuelve a su estado inicial.

Por tanto, debido al papel del regenerador, el calor absorbido en el ciclo completo no es

$Q_{a b s} = Q_{12} + Q_{41} = n R T_{1} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}} + n c_{v} (T_{1} - T_{2})$

sino

$Q_{a b s} = Q_{12} = n R T_{1} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}$

Como se ha mencionado, el regenerador conduce internamente el calor cedido en el proceso 2→3 para que se absorba en el proceso 4→1, tal como se muestra en la figura

El rendimiento del ciclo es

$η = \frac{W}{Q_{a b s}} = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}} = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$

que es el mismo que obtuvimos para el motor ideal de Carnot

Ejemplo.

Sea n moles de un gas ideal diatómico (c_v=5R/2), los focos fío y caliente está a la temperaturas T₂=300 K y T₁=450 K, la presión y el volumen inicial del gas son respectivamente, p₁=15 atm y V₁=4 l, el gas se expande hasta duplicar su volumen V₂=8 l.

El número de moles de gas es

$p_{1} V_{1} = n R T_{1} n R = \frac{15 \cdot 4}{450} = \frac{2}{15} atm·l/K$

En la tabla se proporcionan los datos de la presión, volumen y temperatura de cada vértice del ciclo

Vértice	p (atm)	V (l)	T (K)
1	15	4	450
2	7.5	8	450
3	5	8	300
4	10	4	300

En la siguiente tabla se proporcionan los resultados del trabajo, calor y variación de energía interna.

Proceso	Calor Q(atm·l)	Trabajo W(atm·l)	V. energía interna, ΔU
1→2	60·ln2	60·ln2	0
2→3	-50	0	-50
3→4	-40·ln2	-40·ln2	0
4→1	50	0	50
Ciclo completo		20·ln2	0

Se absorbe 60·ln2 atm·l de calor del foco caliente durante la expansión isotérmica 1→2

Se cede 40·ln2 atm·l de calor al foco frio durante la compresión isotérmica 3→4 del gas

Internamente, el motor de Stirling recicla el calor cedido 50 atm·l en el proceso isócoro 2→3 para emplearlo en el proceso isócoro 4→2 , mediante el denominado regenerador.

El rendimiento del ciclo es

$η = \frac{W}{Q_{a b s}} = \frac{20 \cdot \ln 2}{60 \cdot \ln 2} = \frac{1}{3} η = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}} = 1 - \frac{300}{450} = \frac{1}{3}$

Actividades

Se introduce

La temperatura del foco caliente T₁ y del foco frío T₂, en los controles de edición Temperatura

El volumen inicial del gas V₁ y el volumen final del gas V₂, en los controles de edición Volumen.

La presión p₁ inicial del gas, en el control de edición titulado Presión.

Se supone que el gas ideal es diatómico, H₂, N₂, etc. De modo que su calor específico a volumen constante es $c_{v} = \frac{5}{2} R \frac{atm·l}{K·mol}$

Se pulsa el botón titulado Empieza

El programa calcula

La presión en los vértices p₂, p₃ y p₄ en atm
El trabajo W
El calor absorbido Q_abs
El calor cedido Q_ced en atm·l

Temperatura A: Temperatura B:
Volumen A: Volumen B:
Presión: