Producción de entropía en la conducción del calor
Consideremos una varilla de longitud L y sección A perfectamente aislada, hecha de una material de conductividad térmica K. Los extremos están conectados a un foco caliente a la temperatura constante Ta y a un foco frío a la temperatura Tb
Estado transitorio
En una varilla metálica, el calor fluye desde las regiones donde la temperatura es más alta hacia las regiones en la que es más baja. La ley de Fourier establece que el flujo de calor J (energía por unidad de área y unidad de tiempo es proporcional al gradiente de temperatura.
donde K se denomina conductividad térmica del material

Sea una varilla de longitud L y área de la sección transversal A, con una distribución de temperatura no uniforme a lo largo del eje X, desde x=0 hasta x=L. La varilla está hecha de un material de densidad ρ, calor específico c y conductividad térmica K.
Vamos a considerar un trozo de varilla de longitud Δx, entre x y x+Δx. En un intervalo de tiempo Δt, entra calor por su sección izquierda J(x)A·Δt y sale calor por su sección derecha J(x+Δx)A·Δt. La variación de entropía en este elemento diferencial de la varilla es
La variación de entropía de la varilla en el intervalo de tiempo entre t y t+Δt es
La variación de entropía de los focos en el intervalo de tiempo entre t y t+Δt
La producción de entropía de la varilla, (dS/dt)b es
La producción de entropía de los focos, (dS/dt)f es
Evolución de las temperaturas en cada punto de la varilla
La temperatura en cualquier punto de la varilla x, en un instante t, se compone de la suma de un término proporcional a x y de una serie rápidamente convergente que describe el estado transitorio.
Sea una varilla hecha de cobre de
- Longitud, L= 50 cm
- Sección, A=1 cm2
- Densidad, ρ=8900 kg/m3
- Calor específico, c=390 J/(kg·K)
- Conductividad térmica, K=389.6 W/(m·K)
- Temperartura del foco caliente, Ta=373 K
- Temperartura del foco frío, Tb=293 K
- Temperartura inicial de la varillla, T0=293 K
Definimos una función que calcula, la temperatura de un punto x de la varilla en el instante t
function T=temperatura(t, x) if(t==0) T=T0; return; end k=zeros(2,1); k(1)=2*(2*T0-(Ta+Tb))/pi; k(2)=2*(Tb-Ta)/pi; cte=pi^2/(alfa*L^2); T=Ta+(Tb-Ta)*x/L; n=0; v=1; while(v>0.01) for j=1:2 n=n+1; v=exp(-cte*n^2*t); T=T+v*k(j)*sin(pi*n*x/L)/n; end end end
Una serie infinita tenemos que interrumpirla en algún término de acuerdo con algún criterio. Un posible criterio sería que la exponencial
sea menor que un valor prefijado, por ejemplo 0.01.
Representamos la evolución de la temperatura en los puntos x de la varilla en varios instantes t
function varilla Ta=373; %temperatura en el extremo izquierdo Tb=293; %temperatura en el extremo derecho T0=293; %temperatura inicial de la varilla rho=8900; %densidad c=390; %calor específico K=389.6; %conductividad térmica alfa=rho*c/K; %Coeficiente, 1/alfa del aluminio L=0.5; % longitud de la varilla hold on xx=linspace(0,L,100); T=zeros(1,length(xx)); axis([0 0.5 18 100]); for t=[10 100 500,1000] i=1; for x=xx T(i)=temperatura(t,x); i=i+1; end plot(xx,T-273,'displayName',num2str(t)); end title('Evolución de la temperatura de una varilla') xlabel('x') ylabel('T') legend('-DynamicLegend','location','northeast') grid on hold off function T=temperatura(t, x) if(t==0) T=T0; return; end k=zeros(2,1); k(1)=2*(2*T0-(Ta+Tb))/pi; k(2)=2*(Tb-Ta)/pi; cte=pi^2/(alfa*L^2); T=Ta+(Tb-Ta)*x/L; n=0; v=1; while(v>0.01) for j=1:2 n=n+1; v=exp(-cte*n^2*t); T=T+v*k(j)*sin(pi*n*x/L)/n; end end end end
Observamos que el estado estacionario se va estableciendo, aproximadamante a partir de t=500 s
Calculamos la derivada primera y segunda respecto de x de la función T(x,t)
Definimos dos funciones, una que calcula la derivada primera y otra la segunda de la función T(x,t) respecto de x
function T=primera(t, x) k=zeros(2,1); k(1)=2*(2*T0-(Ta+Tb)); k(2)=2*(Tb-Ta); cte=pi^2/(alfa*L^2); T=(Tb-Ta)/L; n=0; v=1; while(v>0.01) for j=1:2 n=n+1; v=exp(-cte*n^2*t); T=T+v*k(j)*cos(pi*n*x/L)/L; end end end function T=segunda(t, x) k=zeros(2,1); k(1)=2*(2*T0-(Ta+Tb))*pi; k(2)=2*(Tb-Ta)*pi; cte=pi^2/(alfa*L^2); T=0; n=0; v=1; while(v>0.01) for j=1:2 n=n+1; v=exp(-cte*n^2*t); T=T-v*k(j)*sin(pi*n*x/L)*n/L^2; end end end
Estado estacionario
El estado estacionario está caracterizado, por temperaturas fijas a lo largo de la varilla que van disminuyendo linealmente
El flujo de calor J∞=K(Ta-Tb)/L es constante. Los elementos diferenciales de la varilla no acumulan calor, por lo que no contribuyen a la producción de entropía (dS/dt)b=0
En la unidad de tiempo, se transfiere a través de la varilla una cantidad de calor JA del foco caliente al foco frío. Como el foco frío absorbe calor, su entropía aumenta, JA/Tb. Al mismo tiempo, como el foco caliente pierde calor su variación de entropía es -JA/Ta
Como Ta>Tb, la variación de entropía del sistema formado por la varilla y los dos focos es positivo
Cálculo de la producción dS/dt de entropía
Representamos la produción de entropía
- de la varilla, (dS/dt)b
- de los focos, (dS/dt)f
- la suma de ambos términos
en función del tiempo t.
function varilla_1 Ta=373; %temperatura en el extremo izquierdo Tb=293; %temperatura en el extremo derecho T0=293; %temperatura inicial de la varilla rho=8900; %densidad c=390; %calor específico K=389.6; %conductividad térmica alfa=rho*c/K; %Coeficiente, 1/alfa del aluminio L=0.5; % longitud de la varilla A=1e-4; %sección, 1 cm^2 tt=20:5:1000; entropia_varilla=zeros(1,length(tt)); entropia_focos=zeros(1,length(tt)); i=1; for t=tt f=@(x) segunda(t,x)./temperatura(t,x); entropia_varilla(i)=K*A*integral(f,0,L); entropia_focos(i)=K*A*(primera(t,0)/Ta-primera(t,L)/Tb); i=i+1; end plot(tt,entropia_varilla, 'r', tt, entropia_focos, 'b',tt, (entropia_varilla+entropia_focos),'k'); entropia_fin=K*A*(Ta-Tb)^2/(L*Ta*Tb); %estado estacionario line([0,t],[entropia_fin, entropia_fin],'color','k','lineStyle','--') title('Evolución de la entropía') legend('varilla','focos','total','Location','best') ylim([-0.05,0.05]) xlabel('t') ylabel('dS/dt') grid on function T=temperatura(t, x) if(t==0) T=T0; return; end k=zeros(2,1); k(1)=2*(2*T0-(Ta+Tb))/pi; k(2)=2*(Tb-Ta)/pi; cte=pi^2/(alfa*L^2); T=Ta+(Tb-Ta)*x/L; n=0; v=1; while(v>0.01) for j=1:2 n=n+1; v=exp(-cte*n^2*t); T=T+v*k(j)*sin(pi*n*x/L)/n; end end end function T=primera(t, x) %derivada primera k=zeros(2,1); k(1)=2*(2*T0-(Ta+Tb)); k(2)=2*(Tb-Ta); cte=pi^2/(alfa*L^2); T=(Tb-Ta)/L; n=0; v=1; while(v>0.01) for j=1:2 n=n+1; v=exp(-cte*n^2*t); T=T+v*k(j)*cos(pi*n*x/L)/L; end end end function T=segunda(t, x) %derivada segunda k=zeros(2,1); k(1)=2*(2*T0-(Ta+Tb))*pi; k(2)=2*(Tb-Ta)*pi; cte=pi^2/(alfa*L^2); T=0; n=0; v=1; while(v>0.01) for j=1:2 n=n+1; v=exp(-cte*n^2*t); T=T-v*k(j)*sin(pi*n*x/L)*n/L^2; end end end end
En la figura, observamos que la producción de entropía en la varilla tiende a cero (curva de color rojo), la producción de entropía de los focos tiende hacia el valor en el estado estacionario (azul). La producción de entropía es la suma de ambas contribuciones dS/dt>0 (negro). La línea horizontal a trazos de color negro, nos proporciona el valor de la producción de entropía en el estado estacionario (dS/dt)∞
La producción de entropía en los focos (dS/dt)f al principio es negativa, ya que el foco caliente cede calor para calentar la varilla y llega muy poco al foco frío. Se puede comprobar en el código J(0) es al principio muy grande y J(L) es pequeño
Para calcular la variación de entropía entre dos instantes, basta hacer la integral
Utilizamos la función
... entropia=trapz(tt, entropia_varilla+entropia_focos); disp(entropia) ...
5.3239
Referencias
Enrique N. Miranda. Entropy production in a heat conduction problem. Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 38, nÂș 4, e4303 (2016). https://www.scielo.br/j/rbef/i/2016.v38n4/