Movimiento del sistema Tierra-Luna. Las mareas.

Supongamos un sistema aislado de dos partículas interactuantes. Sobre la partícula de masa MT actúa la fuerza de atracción F21, y sobre la partícula de masa ML actúa al fuerza F12. Ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario. La ecuación del movimiento es

μ d 2 r d t 2 =G m 1 m 2 r 2 r ^

Siendo r el vector posición de la Luna respecto de la Tierra, r=rL-rT. Para resolver este problema de un solo cuerpo, necesitamos únicamente hallar el vector r en función del tiempo.

Donde μ se denomina masa reducida del sistema de dos partículas

1 μ = 1 m 1 + 1 m 2

El movimiento relativo de dos partículas sometidas únicamente a su interacción mutua es equivalente al movimiento, respecto de un observador inercial, de una partícula de masa igual a la reducida y bajo una fuerza igual a la de interacción.

Sistema aislado formado por la Tierra y la Luna

Supongamos un sistema aislado formado por la Tierra y la Luna en órbita circular alrededor de su centro de masa. La posición del centro de masas se calculará de acuerdo con la siguiente relación

MTrT=MLrL

r=rT+rL

La posición del centro de masas está más cerca de la masa mayor.

r T = M L M T + M L d

El movimiento de los dos cuerpos celestes es equivalente al movimiento de una partícula de masa reducida μ, bajo la acción de la fuerza F que describe la interacción mutua, la fuerza de atracción entre dos masas separadas una distancia r=rT+rM

Si dicha partícula describe un movimiento circular de radio r, su aceleración es ω2·r. La segunda ley de Newton se escribe.

μ ω 2 r=G M T M L r 2

El periodo P es

P 2 = 4 π 2 r 3 G( M L + M T )

Una vez determinado el movimiento relativo, es decir, el radio r que describe la partícula de masa reducida μ, el movimiento de cada una de las partículas es el siguiente:

Cuando la masa de una de las partículas es muy grande comparada con la de la otra, el centro de masas coincide aproximadamente con el centro de la primera partícula. Supondremos que la segunda se mueve alrededor de un centro fijo de fuerzas. Por ejemplo, un satélite artificial que describe una órbita alrededor de la Tierra.

Ejemplo:

Calcular la masa de la Luna conocidos los datos siguientes:

De la fórmula del periodo P, se despeja la masa de la Luna ML=3.73·1022 kg

El valor correcto es 7.34·1022 kg. Nuestro cálculo se basa en un modelo simplificado, que no tiene en cuenta el efecto del Sol sobre el periodo de la Luna, las perturbaciones de otros planetas, y la no esfericidad de la Tierra. La órbita de la Luna no es circular aunque el resultado (tercera ley de Kepler) es válido también para órbitas elípticas.

Hemos mostrado que, en un sistema formado por dos cuerpos que interaccionan de acuerdo con la ley de la Gravitación Universal, conocido el periodo P y la separación r entre ambos (por ejemplo, un sistema binario de estrellas) se puede calcular a partir de la tercera ley de Kepler, la masa combinada m1+m2 de los dos cuerpos.

Actividades

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La masa de del cuerpo de color amarillo m1 es fija, se puede cambiar la masa del cuerpo azul. La distancia entre los dos cuerpos permanece fija e igual a una unidad de longitud. Se ha establecido un sistema de unidades tal que el G·m1=1. El periodo se calcula entonces, mediante la siguiente fórmula

P 2 = 4 π 2 (1+ m 2 / m 1 )

Considerar el caso de que ambos cuerpos tienen la misma masa.

Deformación de la capa de agua que rodea a la Tierra

Se utilizan coordenadas polares (r,θ) para determinar el estado de un punto P cercano a la superficie de la Tierra tomando como referencia (eje X) la recta que une el centro de la Tierra y de la Luna cuyos centros distan d. C es la posición del centro de masas del sistema de dos partículas, la distancia entre el centro de la Tierra y el centro de masas es l= M L d M L + M T . Finalmente, R es el radio de la Tierra

Las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m situada en P son:

Las tres fuerzas dependen de la posición del punto P.

La fuerza centrífuga es proporcional al radio x de la circunferencia que describe la partícula de masa m

Calculamos la energía potencial correspondiente a esta fuerza, sabiendo que el trabajo de una fuerza conservativa es igual a la diferencia entre el valor inicial y el valor final de una función Ep(x) que solamente depende del radio x

1 2 ( m ω 2 x )dx =( 1 2 m ω 2 x 1 2 )( 1 2 m ω 2 x 2 2 ) E p (x)= 1 2 m ω 2 x 2

Hemos demostrado en páginas anteriores, que la energía potencial correspondiente a la fuerza de atracción GMm/r2 es -GMm/r

La energía potencial Ep de una partícula de masa m situada en el punto P cercano a la superficie de la Tierra se compone de la suma de tres términos:

E p (r,θ)=G M L m r L G M T m r 1 2 m ω 2 r 1 2

Relacionamos rL y r1 con r y θ

r L 2 = r 2 + d 2 2rdcosθ r 1 2 = r 2 + l 2 2rlcosθ

El radio r es pequeño en comparación con la distancia d entre el centro de la Tierra y la Luna

Como el cociente x=r/d es pequeño, hacemos la siguiente aproximación

1 r L = 1 d 1+ x 2 2xcosθ 1 d ( 1+xcosθ+ 1 2 x 2 ( 3 cos 2 θ1 ) )

syms a x; %a es cosθ
>> taylor(1/sqrt(1+x^2-2*a*x),x,0,'order',3)
ans =((3*a^2)/2 - 1/2)*x^2 + a*x + 1

Teniendo en cuenta que la partícula de masa reducida μ describe un movimiento circular uniforme de radio d con velocidad angular ω. La energía potencial por unidad de masa m, Ep/m se escribe

E p (r,θ) m =G M L d ( 1+ r d cosθ+ 1 2 r d 2 2 ( 3 cos 2 θ1 ) )G M T r 1 2 G ( M L + M T ) d 3 ( r 2 + l 2 2rlcosθ )

Eliminamos los términos constantes, ya que la energía potencial está definida salvo una constante aditiva, que es la que nos sirve para establecer el nivel cero de energía potencial

E ' p (r,θ) m =G M L d ( r d cosθ+ 1 2 r 2 d 2 ( 3 cos 2 θ1 ) )G M T r 1 2 G ( M L + M T ) d 3 ( r 2 2r M L d M L + M T cosθ )

Simplificando

E ' p (r,θ) m =G M L 1 2 r 2 d 3 ( 3 cos 2 θ1 )G M T 1 r 1 2 G( M L + M T ) r 2 d 3

El punto P está en las proximidades de la superficie de la Tierra

La última aproximación, consiste en suponer que el punto P está muy cerca de la superficie de la Tierra, de modo que r=R+h, siendo R el radio de la Tierra y h la altura de la deformación de la capa esférica uniforme de agua que rodea a la Tierra, h<<R. Hacemos las siguientes aproximación:

1 r = 1 R+h = 1 R ( 1+ h R ) 1 1 R ( 1 h R )

La expresión de la energía potencial, después de eliminar los términos constantes se reduce a

E ' p (r,θ) m =G M L 1 2 r 2 d 3 ( 3 cos 2 θ1 )G M T 1 R +G M T h R 2 1 2 G( M L + M T ) r 2 d 3

Como r2R2+2Rh. Pero Rh/d3 es muy pequeño, ya que h<<R y R<<d

E' ' p (r,θ) m =G M L 1 2 R 2 d 3 ( 3 cos 2 θ1 )+G M T h R 2

Dado que la superficie de la capa de agua es una superficie equipotencial, Ep(r,θ) tiene que tener el mismo valor en todos los puntos P de dicha superficie. Se deberá de cumplir que

G M T h R 2 =G M L 1 2 R 2 d 3 ( 3 cos 2 θ1 ) h= 1 2 ( M L M T )R ( R d ) 3 ( 3 cos 2 θ1 )

h es la altura de la deformación de la capa esférica uniforme de agua que rodea a la Tierra

Los valores más grandes de h se producen para θ=0 y θ=π en la dirección que une la Luna y y la Tierra

h máx =( M L M T )R ( R d ) 3

Mientras que los valores más pequeños se producen para θ=π/2 y 3π/2, en la dirección perpendicular a la recta que une el centro de la Tierra y de la Luna

h mín = 1 2 ( M L M T )R ( R d ) 3

La diferencia de alturas es

Δh= h máx h mín = 3 2 ( M L M T )R ( R d ) 3 =0.5337m

G=6.67*10^-11;
d=384.4*10^6;
MT=5.98*10^24;
ML=7.34*10^22;
R=6.37*10^6;
h=@(x) ML*R^4*(3*cos(x).^2-1)/(2*MT*d^3);
fplot(h,[0,2*pi])
set(gca,'XTick',0:pi/2:2*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('h')
title('Altura de marea')

Referencias

Problema de la XXVII Olimpiada Internacional de Física. Oslo, 1996