El problema de dos cuerpos
Consideremos ahora un sistema aislado formado por dos cuerpos: un cuerpo de masa m1 y otro cuerpo de masa m2 bajo la acción de la fuerza de atracción mutua.
Por la tercera ley de Newton la fuerza con que atrae el cuerpo 1 al 2 es igual y de sentido contrario a la fuerza con que atrae el cuerpo 2 al 1.
Cada cuerpo se mueve bajo la fuerza de atracción mutua
Restamos miembro a miembro las dos ecuaciones diferenciales
Obtenemos una única ecuación diferencial que describe el movimiento de un cuerpo de masa reducida μ bajo la acción de la fuerza de atracción entre los dos cuerpos
Las posiciones del centro de masas (c.m.) y de cada una de las partículas vienen dadas por las siguientes expresiones
De modo similar, obtenemos la velocidad del c.m. y de cada una de las partículas
Siendo la velocidad relativa de las partículas
Escribimos la energía cinética en términos de la velocidad del c.m. Vcm y la velocidad relativa de las partículas v
La energía relativa al c.m. es
El momento angular respecto del origen O vale
El momento angular relativo al c.m. es
En el sistema de referencia del centro de masa el problema de dos cuerpos se reduce al problema de un solo cuerpo de masa μ, bajo la acción de la fuerza de atracción mutua entre las dos partículas. La energía y el momento angular se escriben en coordenadas polares
Eliminamos el tiempo e integramos para obtener la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares
Seguimos los mismos pasos que en la página previa Ecuación de la trayectoria y obtenemos
Para una órbita elíptica, ε<1, calculamos el semieje mayor a y el semieje menor b, y a continuación el periodo P
En el caso del sistema aislado formado por la Tierra cuya masa es 5.98·1024 kg y un satélite artificial, la masa de la Tierra es muchísimo mayor que la del satélite. Consideraremos la Tierra como un centro fijo de fuerzas
En el caso del sistema Tierra-Sol, la masa del Sol es 1.98·1030 kg, la distancia entre el centro de la Tierra y del Sol es 149.6·109 m. La posición del centro de masa del sistema medido desde el centro del Sol es
Que está en el interior del Sol cuyo radio es 696·106 m. Consideraremos el Sol como un centro fijo de fuerzas.
Ejemplo

Estudiamos el sistema aislado formado por dos partículas de la misma masa m, separadas inicialmente una distancia r0. La primera masa está inicialmente en reposo en el origen, la velocidad inicial de la segunda es v0.
Vamos a determinar las trayectorias de las partículas bajo la acción de su interacción mutua.
Movimiento del centro de masas
La posición del centro de masas es
La velocidad del centro de masas
Al ser un sistema aislado, el centro de masas se mueve con velocidad constante v0/2, a lo largo de la recta y=r0/2.
Movimiento relativo
La posición inicial relativa es
La velocidad inicial relativa es
La energía del sistema relativa al c.m. es
El momento angular del sistema relativo al c.m. es
La trayectoria es una cónica

El periodo es
El eje mayor a de la elipse es
Movimiento de las dos partículas

Conocido el movimiento del centro de masas y el movimiento relativo, determinamos la posición de cada una de las partículas
Escalas
Se definen las escalas de distancias y tiempos
La velocidad inicial (V=ρ/τ) en este sistema de unidades es
La ecuación de la trayectoria, dividiendo por r0
Para que la trayectoria sea una elipse, ε<1, la velocidad inicial V0<2
El semieje mayor de la elipse
El periodo
La posición inicial relativa de la segunda partícula en el instante τ=0 es, ρ=1. De la ecuación de la trayectoria
Dividiendo entre r0, obtenemos la posición de cada una de las partículas en este sistema de unidades
Ecuación de Kepler
Para determinar las posiciones de las partículas 1 y 2, precisamos relacionar el ángulo θ con el tiempo, τ, la denominada ecuación de Kepler, dado el tiempo τ calculamos el ángulo θ.
Dado el tiempo t calculamos el ángulo E, resolviendo la ecuación trascendente. Dado el ángulo E calculamos el ángulo θ. Expresamos la primera ecuación en el nuevo sistema de unidades
Representamos las trayectorias de las partículas para V0=1.5, que cumple V0<2
function dosCuerpos V0=1.5; %velocidad inicial d=V0^2/2; %parámetro ex=V0^2/2-1; %excentricidad a=2/(4-V0^2); %semieje mayor tt=linspace(0.05,10,200); x1=zeros(1, length(tt)); y1=zeros(1, length(tt)); x2=zeros(1, length(tt)); y2=zeros(1, length(tt)); i=1; for t=tt E=ecuacion(t); th=2*atan(sqrt((1+ex)/(1-ex))*tan(E/2)); r=d/(1+ex*cos(th)); x1(i)=V0*t/2-r*sin(th)/2; y1(i)=1/2-r*cos(th)/2; x2(i)=V0*t/2+r*sin(th)/2; y2(i)=1/2+r*cos(th)/2; i=i+1; end hold on plot(x1, y1) plot(x2, y2) hold off xlabel('x') ylabel('y') legend('1','2','location','best') grid on title('Trayectorias') function x0=ecuacion(t) Me=sqrt(2/a^3)*t; x0=Me-ex/2; %valor de partida while(1) x=x0-(x0-ex*sin(x0)-Me)/(1-ex*cos(x0)); if abs((x-x0)/x0)<1e-6 break; end x0=x; end end end
Representamos las trayectorias de las partículas para V0=1.3
Actividades
Se introduce
- La velocidad inicial adimensional V0<2, en el control titulado Velocidad inicial
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se observan las trayectorias de las dos partículas que forman el sistema aislado. El centro de masas, punto de color negro, se mueve con velocidad constante v0/2 a lo largo de la recta y=1/2
Trayectorias
En el sistema de referencia del centro de masas, las posiciones de los cuerpos celestes de masas m1 y m2 son
Donde θ es la posición angular, el vector unitario indica la dirección de la línea que une ambos cuerpos
Dibujamos las trayectorias relativas al CM de dos partículas de masas m1 y m2, de excentricidad ε, asignamos al parámetro d=1
Trayectorias elípticas, ε<1
m1=m2, ε=0.65
m2=1; %masas m1=m2; e=0.65; %excentricidad %trayectorias en el sistema CM th=1:360; radio=1./(1+e*cos(th*pi/180)); x1=radio.*cos(th*pi/180)*m2/(m1+m2); y1=radio.*sin(th*pi/180)*m2/(m1+m2); x2=-radio.*cos(th*pi/180)*m1/(m1+m2); y2=-radio.*sin(th*pi/180)*m1/(m1+m2); hold on plot(x1,y1) plot(x2,y2) plot(0,0,'o','markersize',6, 'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r') %posiciones for pos=60:60:360 line([x1(pos),x2(pos)],[y1(pos),y2(pos)],'lineStyle','--', 'color','k') plot(x1(pos),y1(pos),'o','markersize',4, 'markeredgecolor', 'k', 'markerfacecolor','k') plot(x2(pos),y2(pos),'o','markersize',4,'markeredgecolor', 'k','markerfacecolor','k') end hold off legend('m_1','m_2') axis equal axis off
m1=2m2, ε=0.65
Cambiamos la segunda línea de código
El centro de masas está en el origen y se trazan las trayectorias elípticas de los dos cuerpos y se señalan sus posiciones para un ángulo dado θ. La línea que une ambas posiciones pasa por el c.m. y se cumplirá que m1r1=m2r2. Como m1 es el doble que m2, la distancia del centro de masas al primer cuerpo r1, será la mitad que r2
Trayectorias hiperbólicas, ε>1
m1=m2, ε=1.2
m2=1; %masas m1=m2; e=1.2; %excentricidad %trayectorias en el sistema CM th=1:acosd(-1/e)-5; radio=1./(1+e*cos(th*pi/180)); x1=radio.*cos(th*pi/180)*m2/(m1+m2); y1=radio.*sin(th*pi/180)*m2/(m1+m2); x2=-radio.*cos(th*pi/180)*m1/(m1+m2); y2=-radio.*sin(th*pi/180)*m1/(m1+m2); hold on plot(x1,y1,'r') plot(x2,y2,'b') plot(x1,-y1,'r') plot(x2,-y2,'b') plot(0,0,'o','markersize',6,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r') %posiciones for pos=[10, 60,120, 130,140] line([x1(pos),x2(pos)],[y1(pos),y2(pos)],'lineStyle','--', 'color','k') plot(x1(pos),y1(pos),'o','markersize',4,'markeredgecolor', 'k','markerfacecolor','k') plot(x2(pos),y2(pos),'o','markersize',4,'markeredgecolor', 'k','markerfacecolor','k') end legend('m_1','m_2', 'location','best') hold off axis off axis equal
Sistema aislado formado por la Tierra y la Luna
Supongamos un sistema aislado formado por la Tierra y la Luna en órbita circular alrededor de su centro de masa. La posición del centro de masas se calculará de acuerdo con la siguiente relación

MTrT=MLrL
r=rT+rL
La posición del centro de masas está más cerca de la masa mayor.

El movimiento de los dos cuerpos celestes es equivalente al movimiento de una partícula de masa reducida μ, bajo la acción de la fuerza F que describe la interacción mutua, la fuerza de atracción entre dos masas separadas una distancia r=rT+rM
Si dicha partícula describe un movimiento circular de radio r, su aceleración es ω2·r. La segunda ley de Newton se escribe.
El periodo P es
Una vez determinado el movimiento relativo, es decir, el radio r que describe la partícula de masa reducida μ, el movimiento de cada una de las partículas es el siguiente:
La Tierra de masa MT describe un movimiento circular de radio alrededor del c.m de periodo P.
La Luna de masa ML describe un movimiento circular de radio alrededor del c.m y del mismo periodo.
Cuando la masa de una de las partículas es muy grande comparada con la de la otra, el centro de masas coincide aproximadamente con el centro de la primera partícula. Supondremos que la segunda se mueve alrededor de un centro fijo de fuerzas. Por ejemplo, un satélite artificial que describe una órbita alrededor de la Tierra.
En un sistema formado por dos cuerpos que interaccionan de acuerdo con la ley de la Gravitación Universal, conocido el periodo P y la separación r entre ambos (por ejemplo, un sistema binario de estrellas) se puede calcular a partir de la tercera ley de Kepler, la masa combinada m1+m2 de los dos cuerpos.
Representamos las órbitas circulares de la Tierra y de la Luna alrededor del centro de masas, suponiendo que es un sistema aislado. Tomamos el radio de la Tierra como unidad de longitud
- Radio de la Tierra, RT=6.37·106 m
- Distancia Tierra-Luna, r=3.84·108 m
- Masa de la Tierra, MT=5.98·1024 kg
- Masa de la Luna, ML=7.34·1022 kg
ML=7.349e22; %masa Luna MT=5.98e24; %masa Tierra RT=6.37e6; %radio Tierra r=384.4e6; %distancia Tierra-Luna rT=ML*r/(RT*(MT+ML)); %distancia del centro de la Tierra al centro de masas rL=r/RT-rT; %distancia del centro de la Luna al centro de masas hold on t=(1:360)*pi/180; x1=cos(t); y1=sin(t); fill(x1,y1,'c') fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t),[0,2*pi],'b'); fplot(@(t) rT+rT*cos(t), @(t) rT*sin(t),[0,2*pi]) fplot(@(t) rT+rL*cos(t), @(t) rL*sin(t),[0,2*pi]) plot(rT,0,'ko','markersize',3,'markerfacecolor','k') plot(0,0,'bo','markersize',3,'markerfacecolor','b') hold off grid on axis equal % xlim([-1,3]) %para ver la órbita circular de la Tierra xlabel('x/R_T') ylabel('y/R_T') title('Movimiento alrededor del c.m.')
La Luna describe la órbita circular de radio rL=59.6·RT alrededor del centro de masas. La órbita circular de la Tierra no se ve a esta escala
Ampliamos la imagen en las proximidades del centro de la Tierra
El punto de color negro es el centro de masas que dista rT=0.7326·RT del centro de la Tierra. El círculo de color azul claro representa la Tierra de radio unidad. El centro de la Tierra descibe una órbita circular de radio rT alrededor del centro de masas
Actividades
Se introduce
- La relación de masas m2/m1 de las estrellas un número comprendido entre 1 y 10 en el control titulado Cociente masas m2/m1
Se pulsa el botón Nuevo.
La masa de del cuerpo de color amarillo m1 es fija, se puede cambiar la masa del cuerpo azul. La distancia entre los dos cuerpos permanece fija e igual a una unidad de longitud. Se ha establecido un sistema de unidades tal que el G·m1=1. El periodo se calcula entonces, mediante la siguiente fórmula
Considerar el caso de que ambos cuerpos tienen la misma masa.
Trayectorias hiperbólicas
Sean dos cuerpos celestes de masas m1 y m2 inicialmente muy alejados uno del otro. Supongamos que el cuerpo de masa m2 está inicialmente en reposo y el cuerpo de masa m1 se mueve con velocidad v0. La distancia entre la dirección de la velocidad del segundo cuerpo es b (denominado parámetro de impacto), tal como se muestra en la figura. Este problema es similar a la dispersión de una partícula cargada (partículo alfa) por un núcleo ligero. La fuerza de interacción entre cargas del mismo signo es repulsiva y entre dos cuerpos es atractiva
Calculemos los valores de Ecm y Lcm para una partícula proyectil de masa m1 con velocidad v0 y parámetro de impacto b, que se lanza contra un blanco inicialmente en reposo.
Los valores de E y L respecto del sistema de referencia fijo en el laboratorio son
La posición y la velocidad del centro de masas es
La energía y el momento angular en el S.R. del c.m. son
La ecuación de la trayectoria hiperbólica es (véase la justificación al final de la página titulada ' Trayectorias hiperbólicas')
El cambio en la dirección de la velocidad relativa es 2α-π, donde cos(α)=-1/ε
Movimiento del proyectil y del blanco en el S.R. del c.m.
Conocido r(θ) determinamos la trayectoria del proyectil y del blanco en el SR del c.m. Para ello, basta relacionar (posición del proyectil respecto del blanco) con (posición del proyectil respecto del c.m.) y con (posición del blanco respecto del c.m.) tal como hemos hecho al principio de esta página.
Las partículas antes y después de la interacción (cuando se encuentran suficientemente alejadas) tienen el mismo módulo de la velocidad,
su dirección ha cambiado tal como vemos en el programa interactivo al final de la página
Movimiento del proyectil y del blanco en el S.R. del Laboratorio
En el programa interactivo, vemos la trayectoria seguida por el proyectil (en azul) y por el blanco (en rojo) en el S.R. del Laboratorio, también se señala la posición del c.m mediante una cruz de color negro.
Como estamos estudiando un sistema aislado de dos partículas interactuantes, el centro de masas se mueve con velocidad constante.
donde x0cm, es la posición inicial del c.m.
Conocidas la posición del proyectil y del blanco respecto del c.m. y la posición del centro de masas, determinamos la posición del proyectil y del blanco en el S. R. del Laboratorio.
Como el proyectil y el blanco forman un sistema aislado, la energía cinética total antes y después del proceso de interacción se conserva.
Variación de la velocidad

El blanco se encuentra inicialmente en reposo y como resultado de la interacción se mueve. Para que se conserve la energía, el proyectil habrá de experimentar una disminución de su velocidad y energía cinética. Por tanto, como consecuencia del proceso de interacción hay una transferencia de energía del proyectil (partícula 1) al blanco (partícula 2).
La velocidad relativa no cambia de módulo, pero cambia de dirección, la variación de velocidad relativa es
Calculamos la variación de velocidad de cada una de las partículas
La variación de velocidad relativa es
En un sistema aislado, el momento lineal se conserva, la velocidad del centro de masa permanece constante
Despejamos las variaciones de velocidad de cada una de las partículas
Actividades
Se introduce
- La energía cinética E de la partícula incidente, en el control titulado Energía.
- El parámetro de impacto b, en el control titulado P. impacto
- La masa de la partícula incidente m1 se ha fijado en la unidad
- La masa del blanco m2, en el control titulado Masa blanco.
Se elige entre dos posible opciones:
- El observador situado en el centro de masa (S.R. del c.m.)
- El observador fijo en el laboratorio (S.R. del Laboratorio)
Se pulsa en el botón titulado Nuevo.
El programa, traza las trayectorias de los dos cuerpos que interaccionan. El programa interactivo compara la velocidad inicial de la partícula con la velocidad final. En ambos casos se supone que las partículas están suficientemente alejadas para considerar que su interacción mutua es despreciable.
Observamos que en el S.R. de c.m. el proceso de interacción no cambia el módulo de la velocidad, aunque si cambia su dirección.
En el S.R. del laboratorio, la velocidad final del proyectil es menor que la inicial y el blanco incrementa su velocidad debido a la interacción. Por tanto, en este S.R. hay un cambio tanto en el módulo como en la dirección de la velocidad de la partícula incidente.
Referencias
C. Antón, J. L. Brun. Gravitational pocket billiards with Mathematica. Revista Mexicana de Física 55 (2) 168–175. Diciembre 2009
O. L. de Lange, J. Pierrus. Solved Problems in Classical Mechanics. Analytical and numerical solutions with comments. Oxford University Press (2010). Question 10.7, pp. 293-296