El problema de dos cuerpos

Consideremos ahora un sistema aislado formado por dos cuerpos: un cuerpo de masa m1 y otro cuerpo de masa m2 bajo la acción de la fuerza de atracción mutua.

Por la tercera ley de Newton la fuerza con que atrae el cuerpo 1 al 2 es igual y de sentido contario a la fuerza con que atrae el cuerpo 2 al 1.

F 12 = F 21 r ^ =G m 1 m 2 r 2 r ^ r= r 1 - r 2 r ^ = r r vector unitario

Cada cuerpo se mueve bajo la fuerza de atracción mutua

m 1 d 2 r 1 d t 2 = F 12 m 2 d 2 r 2 d t 2 = F 21

Restamos miembro a miembro las dos ecuaciones diferenciales

F 12 m 1 F 21 m 2 = d 2 r 1 d t 2 d 2 r 2 d t 2 G m 1 m 2 r 2 r ^ ( 1 m 1 + 1 m 2 )= d 2 r d t 2 G m 1 m 2 r 2 r ^ =μ d 2 r d t 2 μ= m 1 m 2 m 1 + m 2

Obtenemos una única ecuación diferencial que describe el movimiento de un cuerpo de masa reducida μ bajo la acción de la fuerza de atracción entre los dos cuerpos

Las posiciones del centro de masas (c.m.) y de cada una de las partículas relativa al c.m. vienen dadas por las siguientes expresiones

R= m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 r 1 =R+ m 2 m 1 + m 2 r r 2 =R m 1 m 1 + m 2 r

Derivando con respecto al tiempo obtenemos la velocidad del c.m. y de cada una de las partículas

V cm = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 v 1 = V cm + m 2 m 1 + m 2 v v 2 = V cm m 1 m 1 + m 2 v

Siendo la velocidad relativa v=v1-v2 de las partículas

Escribimos la energía cinética en términos de la velocidad del c.m. Vcm y la velocidad relativa de las partículas v

E k = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 1 2 ( m 1 + m 2 ) V cm 2 + 1 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 v 2

La energía total relativa al c.m. es

E cm = 1 2 μ v 2 G m 1 m 2 r

El momento angular L respecto del origen O vale

L= r 1 × m 1 v 1 + r 2 × m 2 v 2 = ( R+ m 2 m 1 + m 2 r )× m 1 ( V cm + m 2 m 1 + m 2 v )+( R m 1 m 1 + m 2 r )× m 2 ( V cm m 1 m 1 + m 2 v ) =R×( m 1 + m 2 ) V cm +r× m 1 m 2 m 1 + m 2 v

El momento angular Lcm relativo al c.m. es

L cm =r×μv

En el sistema de referencia del centro de masa el problema de dos cuerpos se reduce al problema de un solo cuerpo de masa μ, bajo la acción de la fuerza de atracción mutua entre las dos partículas. La energía y el momento angular se escriben en coordenadas polares

E cm = 1 2 μ ( dr dt ) 2 + L cm 2 2μ r 2 G m 1 m 2 r L cm =μ r 2 dθ dt

Eliminamos el tiempo e integramos para obtener la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares

dθ dr = L cm μ r 2 2 μ ( E cm L cm 2 2μ r 2 + G m 1 m 2 r )

Seguimos los mismos pasos que en la página previa Ecuación de la trayectoria y obtenemos

1 r b 2a = c a + b 2 4 a 2 cosθ a= L cm 2 2μ b=G m 1 m 2 c= E cm r= d 1+εcosθ d= 2a b = L cm 2 μG m 1 m 2 ε= 1+ 4ac b 2 = 1+ 2 L cm 2 E cm μ ( G m 1 m 2 ) 2

Para una órbita elíptica, ε<1, calculamos el semieje mayor a y el semieje menor b, y a continuación el periodo P

2a= d 1+ε + d 1ε a= d 1 ε 2 = G m 1 m 2 2 E cm b= a 2 c 2 =a 1 ε 2 = a L cm μG m 1 m 2 P= 2πμab L cm = 2π μ a 3 2 G m 1 m 2 P 2 = 4 π 2 G( m 1 + m 2 ) a 3

Ejemplo

En el caso del sistema aislado formado por la Tierra cuya masa es 5.98·1024 kg y un satélite artificial, la masa de la Tierra es muchísimo mayor que la del satélite. Consideraremos la Tierra como un centro fijo de fuerzas

En el caso del sistema Tierra-Sol, la masa del Sol es 1.98·1030 kg, la distancia entre el centro de la Tierra y del Sol es 149.6·109 m. La posición del centro de masa del sistema medido desde el centro del Sol es

x c = 5.98· 10 24 ·149.6· 10 9 5.98· 10 24 +1.98· 10 30 =0.452· 10 6 m

Que está en el interior del Sol cuyo radio es 696·106 m. Consideraremos el Sol como un centro fijo de fuerzas.