El problema de dos cuerpos

Consideremos ahora un sistema aislado formado por dos cuerpos: un cuerpo de masa m1 y otro cuerpo de masa m2 bajo la acción de la fuerza de atracción mutua.

Por la tercera ley de Newton la fuerza con que atrae el cuerpo 1 al 2 es igual y de sentido contrario a la fuerza con que atrae el cuerpo 2 al 1.

F 12 = F 21 r ^ =G m 1 m 2 r 2 r ^ r = r 1 r 2 r ^ = r r

Cada cuerpo se mueve bajo la fuerza de atracción mutua

m 1 d 2 r 1 d t 2 = F 12 m 2 d 2 r 2 d t 2 = F 21

Restamos miembro a miembro las dos ecuaciones diferenciales

F 12 m 1 F 21 m 2 = d 2 r 1 d t 2 d 2 r 2 d t 2 G m 1 m 2 r 2 r ^ ( 1 m 1 + 1 m 2 )= d 2 r d t 2 G m 1 m 2 r 2 r ^ =μ d 2 r d t 2 μ= m 1 m 2 m 1 + m 2

Obtenemos una única ecuación diferencial que describe el movimiento de un cuerpo de masa reducida μ bajo la acción de la fuerza de atracción entre los dos cuerpos

Las posiciones del centro de masas (c.m.) y de cada una de las partículas relativa al c.m. vienen dadas por las siguientes expresiones

R = m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 r 1 = R + m 2 m 1 + m 2 r r 2 = R m 1 m 1 + m 2 r

Derivando con respecto al tiempo obtenemos la velocidad del c.m. y de cada una de las partículas

V cm = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 v 1 = V cm + m 2 m 1 + m 2 v v 2 = V cm m 1 m 1 + m 2 v

Siendo la velocidad relativa v = v 1 v 2 de las partículas

Escribimos la energía cinética en términos de la velocidad del c.m. Vcm y la velocidad relativa de las partículas v

E k = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 1 2 ( m 1 + m 2 ) V cm 2 + 1 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 v 2

La energía total relativa al c.m. es

E cm = 1 2 μ v 2 G m 1 m 2 r

El momento angular respecto del origen O vale

L = r 1 × m 1 v 1 + r 2 × m 2 v 2 = ( R + m 2 m 1 + m 2 r )× m 1 ( V cm + m 2 m 1 + m 2 v )+( R m 1 m 1 + m 2 r )× m 2 ( V cm m 1 m 1 + m 2 v ) = R ×( m 1 + m 2 ) V cm + r × m 1 m 2 m 1 + m 2 v

El momento angular relativo al c.m. es

L cm = r ×μ v

En el sistema de referencia del centro de masa el problema de dos cuerpos se reduce al problema de un solo cuerpo de masa μ, bajo la acción de la fuerza de atracción mutua entre las dos partículas. La energía y el momento angular se escriben en coordenadas polares

E cm = 1 2 μ ( dr dt ) 2 + L cm 2 2μ r 2 G m 1 m 2 r L cm =μ r 2 dθ dt

Eliminamos el tiempo e integramos para obtener la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares

dθ dr = L cm μ r 2 2 μ ( E cm L cm 2 2μ r 2 + G m 1 m 2 r )

Seguimos los mismos pasos que en la página previa Ecuación de la trayectoria y obtenemos

1 r b 2a = c a + b 2 4 a 2 cosθ a= L cm 2 2μ b=G m 1 m 2 c= E cm r= d 1+εcosθ d= 2a b = L cm 2 μG m 1 m 2 ε= 1+ 4ac b 2 = 1+ 2 L cm 2 E cm μ ( G m 1 m 2 ) 2

Para una órbita elíptica, ε<1, calculamos el semieje mayor a y el semieje menor b, y a continuación el periodo P

2a= d 1+ε + d 1ε a= d 1 ε 2 = G m 1 m 2 2 E cm b= a 2 c 2 =a 1 ε 2 = a L cm μG m 1 m 2 P= 2πμab L cm = 2π μ a 3 2 G m 1 m 2 P 2 = 4 π 2 G( m 1 + m 2 ) a 3

En el caso del sistema aislado formado por la Tierra cuya masa es 5.98·1024 kg y un satélite artificial, la masa de la Tierra es muchísimo mayor que la del satélite. Consideraremos la Tierra como un centro fijo de fuerzas

En el caso del sistema Tierra-Sol, la masa del Sol es 1.98·1030 kg, la distancia entre el centro de la Tierra y del Sol es 149.6·109 m. La posición del centro de masa del sistema medido desde el centro del Sol es

x c = 5.98· 10 24 ·149.6· 10 9 5.98· 10 24 +1.98· 10 30 =0.452· 10 6 m

Que está en el interior del Sol cuyo radio es 696·106 m. Consideraremos el Sol como un centro fijo de fuerzas.

Trayectorias de las cuerpos

En el sistema de referencia del centro de masas, las posiciones de los cuerpos celestes de masas m1 y m2 son

r 1 = m 2 m 1 + m 2 d 1+εcosθ r ^ r 2 = m 1 m 1 + m 2 d 1+εcosθ r ^

Donde θ es la posición angular, el vector unitario indica la dirección radial

Dibujamos la trayectorias elípticas relativas al CM de dos partículas de masas m2=2m1, y de excentricidad ε<1, asignamos al parámetro d=1

m1=1; %masas
m2=2*m1;
e=0.65; %excentricidad

%trayectorias en el sistema CM
th=1:360;
radio=1./(1+e*cos(th*pi/180));
x1=radio.*cos(th*pi/180)*m2/(m1+m2);
y1=radio.*sin(th*pi/180)*m2/(m1+m2);
x2=-radio.*cos(th*pi/180)*m1/(m1+m2);
y2=-radio.*sin(th*pi/180)*m1/(m1+m2);
hold on
plot(x1,y1)
plot(x2,y2)
plot(0,0,'o','markersize',6,'markerfacecolor','r') %centro masas

%posición de los cuerpos
pos=150;
line([x1(pos),x2(pos)],[y1(pos),y2(pos)],'lineStyle','--', 'color','k')
plot(x1(pos),y1(pos),'o','markersize',4,'markerfacecolor','k')
plot(x2(pos),y2(pos),'o','markersize',4,'markerfacecolor','k')
hold off
axis equal
grid on
legend('m_1','m_2')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectorias de dos cuerpos')

El centro de masas está en el origen y se trazan las trayectorias elípticas de los dos cuerpos y se señalan sus posiciones para un ángulo dado θ. La línea que une ambas posiciones pasa por el c.m. y se cumplirá que m1r1=m2r2. Como m1 es la mitad que m2, la distancia del centro de masas al primer cuerpo r1, será el doble que r2