El problema de dos cuerpos

Consideremos ahora un sistema aislado formado por dos cuerpos: un cuerpo de masa m1 y otro cuerpo de masa m2 bajo la acción de la fuerza de atracción mutua.

Por la tercera ley de Newton la fuerza con que atrae el cuerpo 1 al 2 es igual y de sentido contrario a la fuerza con que atrae el cuerpo 2 al 1.

F 12 = F 21 r ^ =G m 1 m 2 r 2 r ^ r = r 1 r 2 r ^ = r r

Cada cuerpo se mueve bajo la fuerza de atracción mutua

m 1 d 2 r 1 d t 2 = F 12 m 2 d 2 r 2 d t 2 = F 21

Restamos miembro a miembro las dos ecuaciones diferenciales

F 12 m 1 F 21 m 2 = d 2 r 1 d t 2 d 2 r 2 d t 2 G m 1 m 2 r 2 r ^ ( 1 m 1 + 1 m 2 )= d 2 r d t 2 G m 1 m 2 r 2 r ^ =μ d 2 r d t 2 μ= m 1 m 2 m 1 + m 2

Obtenemos una única ecuación diferencial que describe el movimiento de un cuerpo de masa reducida μ bajo la acción de la fuerza de atracción entre los dos cuerpos

Las posiciones del centro de masas (c.m.) y de cada una de las partículas vienen dadas por las siguientes expresiones

R = m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 r 1 = R + m 2 m 1 + m 2 r r 2 = R m 1 m 1 + m 2 r

Derivando con respecto al tiempo obtenemos la velocidad del c.m. y de cada una de las partículas

V cm = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 v 1 = V cm + m 2 m 1 + m 2 v v 2 = V cm m 1 m 1 + m 2 v

Siendo la velocidad relativa v = v 1 v 2 de las partículas

Escribimos la energía cinética en términos de la velocidad del c.m. Vcm y la velocidad relativa de las partículas v

E k = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 1 2 ( m 1 + m 2 ) V cm 2 + 1 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 v 2

La energía total relativa al c.m. es

E cm = 1 2 μ v 2 G m 1 m 2 r

El momento angular respecto del origen O vale

L = r 1 × m 1 v 1 + r 2 × m 2 v 2 = ( R + m 2 m 1 + m 2 r )× m 1 ( V cm + m 2 m 1 + m 2 v )+( R m 1 m 1 + m 2 r )× m 2 ( V cm m 1 m 1 + m 2 v ) = R ×( m 1 + m 2 ) V cm + r × m 1 m 2 m 1 + m 2 v

El momento angular relativo al c.m. es

L cm = r ×μ v

En el sistema de referencia del centro de masa el problema de dos cuerpos se reduce al problema de un solo cuerpo de masa μ, bajo la acción de la fuerza de atracción mutua entre las dos partículas. La energía y el momento angular se escriben en coordenadas polares

E cm = 1 2 μ ( dr dt ) 2 + L cm 2 2μ r 2 G m 1 m 2 r L cm =μ r 2 dθ dt

Eliminamos el tiempo e integramos para obtener la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares

dθ dr = L cm μ r 2 2 μ ( E cm L cm 2 2μ r 2 + G m 1 m 2 r )

Seguimos los mismos pasos que en la página previa Ecuación de la trayectoria y obtenemos

1 r b 2a = c a + b 2 4 a 2 cosθ a= L cm 2 2μ b=G m 1 m 2 c= E cm r= d 1+εcosθ d= 2a b = L cm 2 μG m 1 m 2 ε= 1+ 4ac b 2 = 1+ 2 L cm 2 E cm μ ( G m 1 m 2 ) 2

Para una órbita elíptica, ε<1, calculamos el semieje mayor a y el semieje menor b, y a continuación el periodo P

2a= d 1+ε + d 1ε a= d 1 ε 2 = G m 1 m 2 2 E cm b= a 2 c 2 =a 1 ε 2 = a L cm μG m 1 m 2 P= 2πμab L cm = 2π μ a 3 2 G m 1 m 2 P 2 = 4 π 2 G( m 1 + m 2 ) a 3

En el caso del sistema aislado formado por la Tierra cuya masa es 5.98·1024 kg y un satélite artificial, la masa de la Tierra es muchísimo mayor que la del satélite. Consideraremos la Tierra como un centro fijo de fuerzas

En el caso del sistema Tierra-Sol, la masa del Sol es 1.98·1030 kg, la distancia entre el centro de la Tierra y del Sol es 149.6·109 m. La posición del centro de masa del sistema medido desde el centro del Sol es

x c = 5.98· 10 24 ·149.6· 10 9 5.98· 10 24 +1.98· 10 30 =0.452· 10 6 m

Que está en el interior del Sol cuyo radio es 696·106 m. Consideraremos el Sol como un centro fijo de fuerzas.

Trayectorias

En el sistema de referencia del centro de masas, las posiciones de los cuerpos celestes de masas m1 y m2 son

r 1cm = m 2 m 1 + m 2 d 1+εcosθ r ^ r 2cm = m 1 m 1 + m 2 d 1+εcosθ r ^

Donde θ es la posición angular, el vector unitario indica la dirección de la línea que une ambos cuerpos

Dibujamos las trayectorias relativas al CM de dos partículas de masas m1 y m2, de excentricidad ε, asignamos al parámetro d=1

Trayectorias elípticas, ε<1

Trayectorias hiperbólicas, ε>1

Sistema aislado formado por la Tierra y la Luna

Supongamos un sistema aislado formado por la Tierra y la Luna en órbita circular alrededor de su centro de masa. La posición del centro de masas se calculará de acuerdo con la siguiente relación

MTrT=MLrL

r=rT+rL

La posición del centro de masas está más cerca de la masa mayor.

r T = M L M T + M L d

El movimiento de los dos cuerpos celestes es equivalente al movimiento de una partícula de masa reducida μ, bajo la acción de la fuerza F que describe la interacción mutua, la fuerza de atracción entre dos masas separadas una distancia r=rT+rM

Si dicha partícula describe un movimiento circular de radio r, su aceleración es ω2·r. La segunda ley de Newton se escribe.

μ ω 2 r=G M T M L r 2

El periodo P es

P 2 = 4 π 2 r 3 G( M L + M T )

Una vez determinado el movimiento relativo, es decir, el radio r que describe la partícula de masa reducida μ, el movimiento de cada una de las partículas es el siguiente:

Cuando la masa de una de las partículas es muy grande comparada con la de la otra, el centro de masas coincide aproximadamente con el centro de la primera partícula. Supondremos que la segunda se mueve alrededor de un centro fijo de fuerzas. Por ejemplo, un satélite artificial que describe una órbita alrededor de la Tierra.

Ejemplo:

Calcular la masa de la Luna conocidos los datos siguientes:

De la fórmula del periodo P, se despeja la masa de la Luna ML=3.73·1022 kg

El valor correcto es 7.34·1022 kg. Nuestro cálculo se basa en un modelo simplificado, que no tiene en cuenta el efecto del Sol sobre el periodo de la Luna, las perturbaciones de otros planetas, y la no esfericidad de la Tierra. La órbita de la Luna no es circular aunque el resultado (tercera ley de Kepler) es válido también para órbitas elípticas.

Hemos mostrado que, en un sistema formado por dos cuerpos que interaccionan de acuerdo con la ley de la Gravitación Universal, conocido el periodo P y la separación r entre ambos (por ejemplo, un sistema binario de estrellas) se puede calcular a partir de la tercera ley de Kepler, la masa combinada m1+m2 de los dos cuerpos.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón Nuevo.

La masa de del cuerpo de color amarillo m1 es fija, se puede cambiar la masa del cuerpo azul. La distancia entre los dos cuerpos permanece fija e igual a una unidad de longitud. Se ha establecido un sistema de unidades tal que el G·m1=1. El periodo se calcula entonces, mediante la siguiente fórmula

P 2 = 4 π 2 (1+ m 2 / m 1 )

Considerar el caso de que ambos cuerpos tienen la misma masa.

Trayectorias hiperbólicas

Sean dos cuerpos celestes de masas m1 y m2 inicialmente muy alejados uno del otro. Supongamos que el cuerpo de masa m2 está inicialmente en reposo y el cuerpo de masa m1 se mueve con velocidad v0. La distancia entre la dirección de la velocidad del segundo cuerpo es b (denominado parámetro de impacto), tal como se muestra en la figura. Este problema es similar a la dispersión de una partícula cargada (partículo alfa) por un núcleo ligero. La fuerza de interacción entre cargas del mismo signo es repulsiva y entre dos cuerpos es atractiva

Calculemos los valores de Ecm y Lcm para una partícula proyectil de masa m1 con velocidad v0 y parámetro de impacto b, que se lanza contra un blanco inicialmente en reposo.

Los valores de E y L respecto del sistema de referencia fijo en el laboratorio son

L= m 1 v 0 bE= 1 2 m 1 v 0 2

La posición y la velocidad del centro de masas es

y cm = m 1 b m 1 + m 2 v cm = m 1 v 0 m 1 + m 2

La energía y el momento angular en el S.R. del c.m. son

E cm = 1 2 μ v 0 2 L cm =μ v 0 b ε= 1+ 2 L cm 2 E cm μ ( G m 1 m 2 ) 2 = 1+ v 0 4 b 2 G 2 ( m 1 + m 2 ) 2 d= L cm 2 μ( G m 1 m 2 ) = v 0 2 b 2 G( m 1 + m 2 )

La ecuación de la trayectoria hiperbólica es (véase la justificación al final de la página titulada ' Trayectorias hiperbólicas')

r= bp 1+cosθ+psinθ p= b v 0 2 G( m 1 + m 2 )

El cambio en la dirección de la velocidad relativa es 2α-π, donde cos(α)=-1/ε

Movimiento del proyectil y del blanco en el S.R. del c.m.

Conocido r(θ) determinamos la trayectoria del proyectil y del blanco en el SR del c.m. Para ello, basta relacionar r (posición del proyectil respecto del blanco) con r 1cm (posición del proyectil respecto del c.m.) y con r 2cm (posición del blanco respecto del c.m.) tal como hemos hecho al principio de esta página.

r 1cm = r 1 r cm = m 2 r m 1 + m 2 r 2cm = r 2 r cm = m 1 r m 1 + m 2

Las partículas antes y después de la interacción (cuando se encuentran suficientemente alejadas) tienen el mismo módulo de la velocidad,

v 1cm = m 2 m 1 + m 2 v 0

su dirección ha cambiado tal como vemos en el programa interactivo al final de la página

Movimiento del proyectil y del blanco en el S.R. del Laboratorio

En el programa interactivo, vemos la trayectoria seguida por el proyectil (en azul) y por el blanco (en rojo) en el S.R. del Laboratorio, también se señala la posición del c.m mediante una cruz de color negro.

Como estamos estudiando un sistema aislado de dos partículas interactuantes, el centro de masas se mueve con velocidad constante.

x cm = x 0cm + m 1 m 1 + m 2 v 0 ·t y cm = m 1 b m 1 + m 2

donde x0cm, es la posición inicial del c.m.

Conocidas la posición del proyectil r 1cm y del blanco r 2cm respecto del c.m. y la posición r cm del centro de masas, determinamos la posición del proyectil r 1 y del blanco r 2 en el S. R. del Laboratorio.

r 1 = r 1cm + r cm r 2 = r 2cm + r cm

Como el proyectil y el blanco forman un sistema aislado, la energía cinética total antes y después del proceso de interacción se conserva.

Variación de la velocidad

El blanco se encuentra inicialmente en reposo y como resultado de la interacción se mueve. Para que se conserve la energía, el proyectil habrá de experimentar una disminución de su velocidad y energía cinética. Por tanto, como consecuencia del proceso de interacción hay una transferencia de energía del proyectil (partícula 1) al blanco (partícula 2).

La velocidad relativa no cambia de módulo, pero cambia de dirección, la variación de velocidad relativa es

Δv =( v 0 cos( 2απ ) v 0 ) i ^ v 0 sin( 2απ ) j ^ { cos( 2απ )=12 cos 2 α=1 2 ε 2 sin( 2απ )=2sinαcosα= 2 ε 2 ε 2 1 Δv =2 v 0 ( 1+ v 0 4 b 2 G 2 ( m 1 + m 2 ) 2 ) 1 i ^ 2 v 0 3 b G( m 1 + m 2 ) ( 1+ v 0 4 b 2 G 2 ( m 1 + m 2 ) 2 ) 1 j ^

Calculamos la variación de velocidad de cada una de las partículas

La variación de velocidad relativa es

Δv = Δ v 1 Δ v 2

En un sistema aislado, el momento lineal se conserva, la velocidad del centro de masa permanece constante

V cm = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 m 1 Δ v 1 + m 2 Δ v 2 =0

Despejamos las variaciones de velocidad de cada una de las partículas

Δ v 1 = m 2 m 1 + m 2 Δv Δ v 2 = m 1 m 1 + m 2 Δv

Actividades

Se introduce

Se elige entre dos posible opciones:

Se pulsa en el botón titulado Nuevo.

El programa, traza las trayectorias de los dos cuerpos que interaccionan. El programa interactivo compara la velocidad inicial de la partícula con la velocidad final. En ambos casos se supone que las partículas están suficientemente alejadas para considerar que su interacción mutua es despreciable.

Observamos que en el S.R. de c.m. el proceso de interacción no cambia el módulo de la velocidad, aunque si cambia su dirección.

En el S.R. del laboratorio, la velocidad final del proyectil es menor que la inicial y el blanco incrementa su velocidad debido a la interacción. Por tanto, en este S.R. hay un cambio tanto en el módulo como en la dirección de la velocidad de la partícula incidente.


Referencias

O. L. de Lange, J. Pierrus. Solved Problems in Classical Mechanics. Analytical and numerical solutions with comments. Oxford University Press (2010). Question 10.7, pp. 293-296